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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:27 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Jewgenij |
| Aufgabe | Beweisen sie folgende Ungleichung für [mm] x,y \in \IR [/mm]
[mm] 2 \wurzel{|xy|} \le |x| + |y| [/mm] |
Also ich habe die Aufgabe schon gelöst bin mir aber nicht sicher ob das so geht. Wenn jemand mein Lösung kurz durchsehen und ggf korrigieren könnte wäre das echt der absolute Knaller! Vielen Dank schonmal.
[mm] 2 [mm] \wurzel{\left| xy \right|} \le [/mm] |x| + |y|
[mm] \gdw [/mm] 4 |xy| [mm] \le [/mm] (|x| + [mm] |y|)^2
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 4 |xy| [mm] \le x^2 [/mm] + 2|xy| [mm] +y^2
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \le x^2 [/mm] - 2|xy| [mm] +y^2
[/mm]
Jetzt Fallunterscheidung:
1) x=0 oder y=0 [mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \le x^2 [/mm] bzw. [mm] y^2
[/mm]
2) x und y gleiches vorzeichen [mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \le x^2 [/mm] -2xy + [mm] y^2
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \le [/mm] (x - [mm] y)^2
[/mm]
3) x und y unterschiedl. Vorz. [mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \le x^2 [/mm] +2xy + [mm] y^2
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \le [/mm] (x + [mm] y)^2
[/mm]
So also ich bin mir jetzt nicht ganz sicher wegen den Folgepfeilen, damit der Beweis funktioniert müssen ja wirklich alle Pfeile in beide Richtungen zeigen.
Ist das hier richtig??
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> Beweisen sie folgende Ungleichung für [mm]x,y \in \IR[/mm]
>
> [mm]2 \wurzel{|xy|} \le |x| + |y|[/mm]
> [mm]2 \wurzel{\left| xy \right|} \le[/mm] |x| + |y|
[mm]\red{\gdw} 4 |xy| \le (|x + |y|)^2|[/mm]
Hallo,
EDIT:
Du benennst später ja selbst den wunden Punkt: der Äquivalenzpfeil stimmt nicht.
Vorschlag: starte mit der wahren Aussage [mm] 0\le (\wurzel{|x|}-\wurzel{|y|})^2,
[/mm]
damit ersparst Du Dir jegliche Fallunterscheidungen.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:35 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> > Beweisen sie folgende Ungleichung für [mm]x,y \in \IR[/mm]
> >
> > [mm]2 \wurzel{|xy|} \le |x| + |y|[/mm]
>
> > [mm]2 \wurzel{\left| xy \right|} \le[/mm] |x| + |y|
>
> [mm]\red{\gdw} 4 |xy| \le (|x + |y|)^2|[/mm]
>
>
> Hallo,
>
> Du benennst später ja selbst den wunden Punkt: der
> Äquivalenzpfeil stimmt nicht.
Warum nicht ? (abgesehen vom Tippfehler)
>
> Vorschlag: starte mit der wahren Aussage [mm]0\le (\wurzel{|x|}-\wurzel{|y|})^2.[/mm]
>
> Gruß v. Angela
>
Gruß Sax.
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> > > [mm]2 \wurzel{\left| xy \right|} \le[/mm] |x| + |y|
> >
> > [mm]\red{\gdw} 4 |xy| \le (|x + |y|)^2|[/mm]
> >
> >
> > Hallo,
> >
> > Du benennst später ja selbst den wunden Punkt: der
> > Äquivalenzpfeil stimmt nicht.
>
> Warum nicht ? (abgesehen vom Tippfehler)
Moin,
da war ich wohl übereifrig oder schlaftrunken.
Der Pfeil stimmt.
Danke für den Hinweis.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:28 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Jewgenij |
Hey Angela und Sax!
Danke dass ihr nochmal was dazu geschrieben habt!
Ich hatte inzwischen auch schon darüber nachgedacht und habe in einem Buch die Äquivalenz
[mm]
|a| \le |b| \gdw a^2 \le b^2
[/mm]
gefunden. Scheint also richtig zu sein woll?
EDIT:
Trotzdem ist dein Beweis natürlich schneller und einleuchtender
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