Ungleichung mit minimum < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:09 Mo 03.12.2012 | | Autor: | mbra771 |
| Aufgabe | Seien x,xo,y,yo [mm] \in [/mm] R, und sei [mm] \varepsilon>0 [/mm] vorgegeben. Beweisen Sie:
1. Wenn [mm] \left | x-xo \right [/mm] |< [mm] \frac{\varepsilon }{2} [/mm] ist, und [mm] \left | y-yo \right [/mm] |< [mm] \frac{\varepsilon }{2} [/mm]
dann gilt: [mm] \left | x+y-\left ( xo+yo \right ) \right [/mm] |< [mm] \varepsilon
[/mm]
2. Wenn gilt: [mm] \left | x-xo \right [/mm] |< [mm] min\left ( 1,\frac{\varepsilon }{2\left ( \left | yo \right | +1\right )}\right [/mm] ) und gilt: [mm] \left | y-yo \right [/mm] |< [mm] \frac{\varepsilon }{2\left ( \left | xo \right | +1\right )}
[/mm]
Dann gilt: [mm] \left | xy-xoyo \right [/mm] |< [mm] \varepsilon [/mm] |
Unteraufgabe 1 war kein Problem. Bei der Teilaufgabe 2 habe ich aber so meine Probleme.
Ich hab jetzt schon länger an der Aufgabe gerechnet und ich habe dabei zwei Ideen:
1. Ich finde erst heraus was das [mm] min\left ( 1,\frac{\varepsilon }{2\left (\left | yo \right | +1\right )}\right [/mm] ) ist.
Ich habe dann eine Annahme formuliert, also das 1 größer ist als der Bruch ist und versucht einen Widerstruch zu finden. Dabei habe ich darauf gehofft, daß [mm] \varepsilon [/mm] plötzlich kleiner als 0 wäre. Das hat aber irgendwie nicht geklappt.
2. Ich kann nicht zeigen was genau das Minimum ist, so rechne ich mit dem geometrischem Mittel von 1 und dem Bruch. Da hab ich auch lange versucht die ungleichungen zusammenzufassen, aber so richtig geht auch das nicht auf.
Ich wäre froh, wenn mir jemand sagen könnte, ob einer der Ansätze so richtig ist.
Wie ich unten aufführe habe ich meine Aufgabe auch bei Matheboard gepostet, wabei ich aber jetzt gesehen habe, daß ich mich dort vertippt hatte. Hier stimmt aber jetzt soweit alles.
Vielen Dank,
Micha
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=508091]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:33 Mo 03.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Seien x,xo,y,yo [mm]\in[/mm] R, und sei [mm]\varepsilon>0[/mm] vorgegeben.
> Beweisen Sie:
>
> 1. Wenn [mm]\left | x-xo \right[/mm] |< [mm]\frac{\varepsilon }{2}[/mm] ist,
> und [mm]\left | y-yo \right[/mm] |< [mm]\frac{\varepsilon }{2}[/mm]
>
> dann gilt: [mm]\left | x+y-\left ( xo+yo \right ) \right[/mm] |<
> [mm]\varepsilon[/mm]
>
>
> 2. Wenn gilt: [mm]\left | x-xo \right[/mm] |< [mm]min\left ( 1,\frac{\varepsilon }{2\left ( \left | yo \right | +1\right )}\right[/mm]
> ) und gilt: [mm]\left | y-yo \right[/mm] |< [mm]\frac{\varepsilon }{2\left ( \left | xo \right | +1\right )}[/mm]
>
> Dann gilt: [mm]\left | xy-xoyo \right[/mm] |< [mm]\varepsilon[/mm]
> Unteraufgabe 1 war kein Problem. Bei der Teilaufgabe 2
> habe ich aber so meine Probleme.
>
> Ich hab jetzt schon länger an der Aufgabe gerechnet und
> ich habe dabei zwei Ideen:
>
> 1. Ich finde erst heraus was das [mm]min\left ( 1,\frac{\varepsilon }{2\left (\left | yo \right | +1\right )}\right[/mm]
> ) ist.
Gar nicht. Brauchst Du auch nicht.
>
> Ich habe dann eine Annahme formuliert, also das 1 größer
> ist als der Bruch ist und versucht einen Widerstruch zu
> finden. Dabei habe ich darauf gehofft, daß [mm]\varepsilon[/mm]
> plötzlich kleiner als 0 wäre. Das hat aber irgendwie
> nicht geklappt.
>
>
> 2. Ich kann nicht zeigen was genau das Minimum ist, so
> rechne ich mit dem geometrischem Mittel von 1 und dem
> Bruch. Da hab ich auch lange versucht die ungleichungen
> zusammenzufassen, aber so richtig geht auch das nicht auf.
>
> Ich wäre froh, wenn mir jemand sagen könnte, ob einer der
> Ansätze so richtig ist.
> Wie ich unten aufführe habe ich meine Aufgabe auch bei
> Matheboard gepostet, wabei ich aber jetzt gesehen habe,
> daß ich mich dort vertippt hatte. Hier stimmt aber jetzt
> soweit alles.
> Vielen Dank,
> Micha
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> [http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=508091]
Es ist
[mm] |xy-x_0y_0| [/mm] = [mm] |xy-xy_0+xy_0-x_0y_0|=|x(y-y_0)+y_0(x-x_0)| \le |x|*|y-y_0|+|y_0|*|x-x_0| \le |x|\bruch{\varepsilon}{2(|x_0|+1)}+|y_0|*|\bruch{\varepsilon}{2(|y_0|+1)}
[/mm]
Nun verwende noch: |x| [mm] =|x-x_0+x_0| \le |x-x_0|+|x_0| \le 1+|x_0|
[/mm]
Jetzt Du.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:45 Mo 03.12.2012 | | Autor: | mbra771 |
Ok, erst ein mal vielen Dank für die Antwort. Ich brauch dafür jetzt einen Augenblick um deine Aussage anzusehen. Ich melde mich gleich dann DANKE
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:18 Mo 03.12.2012 | | Autor: | mbra771 |
Erst ein mal: Dein Ansatz, also der erste Teil ist echt beeindruckend  ))
Beim zweiten Teil verstehe ich nicht, warum [mm] \left | x-xo \right [/mm] | + [mm] \left | xo \right |\leq 1+\left | xo \right [/mm] | sein muß. Das bedeutet, doch, daß [mm] \left | x-xo \right [/mm] | [mm] \geq [/mm] 1 sein muß. Das kann ich gerade nicht aus der Aufgabe herauslesen.
Es sagt doch keiner, daß .....
AHHHHHHHHH, klar, Minimum !!!! Natürlich der kleinste wert ist größer. Dann muß es natürlich auch für den größeren Wert gelten.
Manno, manchmal fällt der Groschen echt in Pfennigen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:04 Mo 03.12.2012 | | Autor: | mbra771 |
Hallo Forum und besonders FRED!
Vielen vielen Dank. Hab´s hinbekommen.
Habe in der rechten Seite der Ungleichung den Betrag von X durch 1+Betrag von xo ausgetauscht. Dann kann man wunderbar kürzen und dann schön zeigen, daß Epsilon echt größer ist als die linke Seite. Dann in der linken Seite ausklammern und dann einen Betrag wegfallen lassen und schwups geht alles auf.
@FRED, wie bist du auf diese Umformung gekommen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mo 03.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Forum und besonders FRED!
>
> Vielen vielen Dank. Hab´s hinbekommen.
>
> Habe in der rechten Seite der Ungleichung den Betrag von X
> durch 1+Betrag von xo ausgetauscht. Dann kann man wunderbar
> kürzen und dann schön zeigen, daß Epsilon echt größer
> ist als die linke Seite. Dann in der linken Seite
> ausklammern und dann einen Betrag wegfallen lassen und
> schwups geht alles auf.
>
> @FRED, wie bist du auf diese Umformung gekommen?
Du meinst auf das :
[mm] $|xy-x_0y_0|= |xy-xy_0+xy_0-x_0y_0|=|x(y-y_0)+y_0(x-x_0)| [/mm] $ ?
Das ist schon fast "Folklore" ! Und nicht von mir.
Diesen "Trick " benutzt man oft bei Produkten.
z.B.: Sind [mm] (x_n) [/mm] und [mm] (y_n) [/mm] konvergente Folgen mit den Grenzwerten [mm] x_0 [/mm] bzw. [mm] y_0, [/mm] so gilt:
(*) [mm] $|x_ny_n-x_0y_0|= |x_ny_n-x_ny_0+x_ny_0-x_0y_0|=|x_n(y_n-y_0)+y_0(x_n-x_0)| \le |x_n|*|y_n-y_0|+|y_0|*|x_n-x_0|$ [/mm]
Wenn man nun noch beachtet, das [mm] (x_n) [/mm] beschränkt ist, so folgt aus (*):
[mm] (x_ny_n) [/mm] konvergiert gegen [mm] x_0y_0.
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:06 Mo 03.12.2012 | | Autor: | mbra771 |
Auf jeden Fall vielen Dank. Tja, das ein oder andere muss man einfach mal gesehen haben.
Ich hab jetzt eine schöne in sich schlüssige logische Beweisführung gebildet.
Vielen Dank
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