Ungleichung zeigen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:08 Do 12.01.2012 | | Autor: | Pia90 |
Hallo zusammen,
ich benötige nochmal eure Hilfe und zwar soll ich zeigen, dass für alle x [mm] \in \IR [/mm] gilt [mm] |(1+\bruch{x}{n})^n| \le [/mm] exp(|x|).
Irgendwie stehe ich aber im moment total auf dem Schlauch und weiß gar nicht so genau, wie ich anfangen soll...
Aus dem letzten Jahr (was ich allerdings ja nicht verwenden darf), weiß ich, dass [mm] e^x [/mm] der grenzwert von [mm] (1+\bruch{x}{n})^n [/mm] ist... Könnte ich das nicht im Grunde zeigen? Aber dann stört mich immer noch der Betrag...
Würde mich freuen, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte!
Viele Grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 Do 12.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Beweisen kannst du das nur, wenn du irgendeine def von [mm] e^x [/mm] verwendest. a) die exponentialreihe,
b) f'=f mit f(0)=1
[mm] c)e^x=lim [/mm] dein audruck, dann musst du aber zeigen dass er monoton wächst, der im also die kleinst obere Schranke.
welche def von exp(x) du verwenden darfst hängt von er vorlesung bis jetzt ab.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Do 12.01.2012 | | Autor: | Pia90 |
Danke erstmal für die schnelle Antwort!!!
> Hallo
> Beweisen kannst du das nur, wenn du irgendeine def von [mm]e^x[/mm]
> verwendest. a) die exponentialreihe,
> b) f'=f mit f(0)=1
> [mm]c)e^x=lim[/mm] dein audruck, dann musst du aber zeigen dass er
> monoton wächst, der im also die kleinst obere Schranke.
> welche def von exp(x) du verwenden darfst hängt von er
> vorlesung bis jetzt ab.
> gruss leduart
Möglichkeiten b) und c) fallen denke ich weg und am wahrscheinlichsten muss ich das ganze mit der Exponentialreihe zeigen...
Ich weiß u.a. folgendes:
- exp: [mm] \IR \to \IR [/mm] ist streng monton wachsend
- exp(x) > 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR
[/mm]
- [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IZ: exp(n)=e^n [/mm] mit [mm] e=\limes_{k\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{k})^k
[/mm]
Aber ich muss zugeben, dass mich das auch nicht so ganz weiterbringt...
Grade kommt mir aber die Idee, dass ich vielleicht mit der binomischen Formel etwas anfangen könnte... Kann das sein?
Viele Grüße!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Do 12.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
exponentialreihe und bin. formel sind vielversprechend.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Do 12.01.2012 | | Autor: | Pia90 |
Ok, also ein Vorschlag meinerseits, wär super, wenn mir jemand sagt, ob das so stimmt oder was ich verbessern müsste:
[mm] |(1+\bruch{x}{n})^n| [/mm] = [mm] |\summe_{k=0}^{n} \vektor{x \\ y} (\bruch{x}{n})^k| [/mm] = | [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{n!}{k!(n-k)!} \cdot (\bruch{x}{n})^k| [/mm] = | [mm] \summe_{k=0}^n \bruch{1}{k!} \cdot \bruch{n(n-1) \cdot ... \cdot (n-k+1) \dot x \cdot x \cdot ... \cdot x}{n \cdot n \cdot ... \cdot n}| \le \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!} \cdot [/mm] |x| [mm] \le [/mm] exp(|x|)
Wäre das so korrekt gezeigt?
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Hallo Pia90,
> Ok, also ein Vorschlag meinerseits, wär super, wenn mir
> jemand sagt, ob das so stimmt oder was ich verbessern
> müsste:
>
> [mm]|(1+\bruch{x}{n})^n|[/mm] = [mm]|\summe_{k=0}^{n} \vektor{x \\ y} (\bruch{x}{n})^k|[/mm]
> = | [mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{n!}{k!(n-k)!} \cdot (\bruch{x}{n})^k|[/mm]
> = | [mm]\summe_{k=0}^n \bruch{1}{k!} \cdot \bruch{n(n-1) \cdot ... \cdot (n-k+1) \dot x \cdot x \cdot ... \cdot x}{n \cdot n \cdot ... \cdot n}| \le \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!} \cdot[/mm]
> |x| [mm]\le[/mm] exp(|x|)
>
Da fehlen meines Erachtens ein paar Zwischenschritte:
[mm]| \summe_{k=0}^n \bruch{1}{k!} \cdot \bruch{n(n-1) \cdot ... \cdot (n-k+1) \cdot x \cdot x \cdot ... \cdot x}{n \cdot n \cdot ... \cdot n}| \le \summe_{k=0}^n \bruch{1}{k!} \cdot \bruch{n(n-1) \cdot ... \cdot (n-k+1) \cdot }{n \cdot n \cdot ... \cdot n}\vmat{x \cdot x \cdot ... \cdot x}[/mm]
[mm]=\summe_{k=0}^n \bruch{1}{k!} \cdot \bruch{n(n-1) \cdot ... \cdot (n-k+1) \cdot }{n \cdot n \cdot ... \cdot n}\vmat{x^{n}}=\summe_{k=0}^n \bruch{1}{k!} \cdot \bruch{n(n-1) \cdot ... \cdot (n-k+1) \cdot }{n \cdot n \cdot ... \cdot n}\vmat{x}^{n}}\le \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!} \cdot \vmat{x}^{n}[/mm]
> Wäre das so korrekt gezeigt?
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:36 Do 12.01.2012 | | Autor: | Pia90 |
Vielen Dank!
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