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| Aufgabe | Zeigen Sie folgende Ungleichung:
[mm] log(1+x)\le \bruch{x}{\wurzel{1+x}} [/mm] für x>0 |
Hallo,
Leider weiß ich nicht, wie ich das beweisen soll.
Ich würde eig. gern den Mittelwertsatz verwenden, aber dafür sieht das ganze mMn. recht unschön aus.
Hoffe mir kann jemand ne kleine Hilfestellung oder Tipp geben.
mfg
Albert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 Do 17.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie folgende Ungleichung:
> [mm]log(1+x)\le \bruch{x}{\wurzel{1+x}}[/mm] für x>0
> Hallo,
> Leider weiß ich nicht, wie ich das beweisen soll.
> Ich würde eig. gern den Mittelwertsatz verwenden, aber
> dafür sieht das ganze mMn. recht unschön aus.
Mach es trotzdem mit dem Mittelwertsatz.
Setze t:= [mm] \wurzel{1+x}.
[/mm]
Die Ungl. , die Du zeigen sollst ist dann äquivalent zu
$2log(t) [mm] \le \bruch{t^2-1}{t}$ [/mm] für t >1
FRED
>
> Hoffe mir kann jemand ne kleine Hilfestellung oder Tipp
> geben.
>
> mfg
>
> Albert
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Irgendwie kann ich damit nicht so viel anfangen, da ich nicht recht erkenn, was f(y) ist.
Der Mittelwertsatz ist ja so:
[mm] |f(x)-f(y)|=|f'(\gamma)|*|x-y|
[/mm]
Jetzt weiß ich nicht, wie ich diese Zeile
[mm]2log(t) \le \bruch{t^2-1}{t}[/mm] für t >1
darauf anwende.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 Do 17.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Irgendwie kann ich damit nicht so viel anfangen, da ich
> nicht recht erkenn, was f(y) ist.
>
> Der Mittelwertsatz ist ja so:
> [mm]|f(x)-f(y)|=|f'(\gamma)|*|x-y|[/mm]
Nein so ist der nicht ! Mach die Beträge alle weg !
>
> Jetzt weiß ich nicht, wie ich diese Zeile
> [mm]2log(t) \le \bruch{t^2-1}{t}[/mm] für t >1
>
> darauf anwende.
Betrachte [mm] f(t)=\bruch{t^2-1}{t}-2log(t)
[/mm]
Es ist f(1)=0. Zu zeigen ist: f(t) [mm] \ge [/mm] 0 für t>1
Also f(t)=f(t)-f(0) = .....
FRED
>
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[mm]f(t)=\bruch{t^2-1}{t}-2log(t)[/mm]
> Also f(t)=f(t)-f(0) = .....
also berechne ich f'(t).
Das ist
[mm] \bruch{(t-1)^2}{t^2}
[/mm]
nun gilt durch MWS
f(t)=f(t)-f(0) [mm] =\bruch{(t-1)^2}{t^2} [/mm] *t
[mm] =\bruch{(t-1)²}{t}
[/mm]
Es gilz (t-1)² ist für jedes t positiv und der Nenner ist durch Voraussetzung ebenfalls >0.
Also gilt [mm] f(t)=\bruch{(t-1)²}{t}\ge0
[/mm]
//Beweis Ende.
ISt das so korrekt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 Do 17.01.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo AlbertHerum,
> [mm]f(t)=\bruch{t^2-1}{t}-2log(t)[/mm]
>
> > Also f(t)=f(t)-f(0) = .....
> also berechne ich f'(t).
> Das ist
> [mm]\bruch{(t-1)^2}{t^2}[/mm]
Richtig! $f'(t)$ ist also positiv für t>1.
> nun gilt durch MWS
>
> f(t)=f(t)-f(0) [mm]=\bruch{(t-1)^2}{t^2}[/mm] *t
Hier wird es falsch. Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein [mm] $\tau\in(1; [/mm] t)$ mit
$f(t)-f(1) = [mm] f'(\tau)*(t-1) [/mm] > 0$
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:44 Do 17.01.2013 | | Autor: | Helbig |
> Es ist f(1)=0. Zu zeigen ist: f(t) [mm]\ge[/mm] 0 für t>1
>
> Also f(t)=f(t)-f(0) = .....
Hallo FRED,
Du meinst sicher f(t)=f(t)-f(1) = .....
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:37 Fr 18.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Es ist f(1)=0. Zu zeigen ist: f(t) [mm]\ge[/mm] 0 für t>1
> >
> > Also f(t)=f(t)-f(0) = .....
>
> Hallo FRED,
>
> Du meinst sicher f(t)=f(t)-f(1) = .....
Ja, danke
FRED
>
> Gruß,
> Wolfgang
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