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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:27 Do 01.01.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Ungleichungen
a) Für x [mm] \in (0,\infty), \alpha \in [/mm] (0,1) gilt [mm] x^{\alpha} [/mm] - [mm] \alpha [/mm] x [mm] \leq [/mm] 1 - [mm] \alpha
[/mm]
c) Für a,b [mm] \in (0,\infty) [/mm] und p,q [mm] \in (1,\infty) [/mm] mit [mm] \frac{1}{p} [/mm] + [mm] \frac{1}{q}=1 [/mm] gilt : ab [mm] \leq \frac{1}{p} a^p [/mm] + [mm] \frac{1}{q}b^q [/mm] |
Hallo,
könnt ihr mir hier weiterhelfen?
Hinweis: Ich soll in a) die Funktion f(x)= [mm] x^\alpha [/mm] - [mm] {\alpha} [/mm] x betrachten und die Taylorentwicklung bis zur ersten Ordnung.
Hab ihr eine passende Idee?
Über Hilfe und Ansätze wäre ich dankbar!
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:14 Fr 02.01.2009 | | Autor: | abakus |
> Beweisen Sie folgende Ungleichungen
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> a) Für x [mm]\in (0,\infty), \alpha \in[/mm] (0,1) gilt [mm]x^{\alpha}[/mm] -
> [mm]\alpha[/mm] x [mm]\leq[/mm] 1 - [mm]\alpha[/mm]
>
> c) Für a,b [mm]\in (0,\infty)[/mm] und p,q [mm]\in (1,\infty)[/mm] mit
> [mm]\frac{1}{p}[/mm] + [mm]\frac{1}{q}=1[/mm] gilt : ab [mm]\leq \frac{1}{p} a^p[/mm]
> + [mm]\frac{1}{q}b^q[/mm]
> Hallo,
>
> könnt ihr mir hier weiterhelfen?
>
> Hinweis: Ich soll in a) die Funktion f(x)= [mm]x^\alpha[/mm] -
> [mm]{\alpha}[/mm] x betrachten und die Taylorentwicklung bis zur
> ersten Ordnung.
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> Hab ihr eine passende Idee?
Ja. Mache die Taylorentwicklung.
Gruß Abakus
> Über Hilfe und Ansätze wäre ich dankbar!
>
> Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:35 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Also für mein Taylorpolynom gilt:
f(x)= [mm] x^\alpha [/mm] - [mm] \alpha [/mm] x
f'(x)= [mm] \alpha*x^{\alpha-1}- \alpha
[/mm]
[mm] T_(1,1)=\frac{1^\alpha - \alpha}{0!} *(x-1)^0 [/mm] + [mm] \frac{(\alpha*1 ^ {\alpha-1} - \alpha)}{1!} (x-1)^1 [/mm] = [mm] 1^\alpha [/mm] - [mm] \alpha *(x-1)^0 [/mm] = [mm] 1^\alpha -\alpha
[/mm]
Hmm... ich komme irgendwie nicht weiter...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:12 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bodo!
Nicht so sparsam  ... berechne noch ein / zwei Glieder der Reihe.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Sa 03.01.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
f''(x)= [mm] \frac{\alpha(\alpha-1)x^{\alpha - 2}}{2!}(x-1)^2
[/mm]
T_(1,1)= [mm] \frac{x^\alpha - \alpha x}{0!}(x-1)^0 [/mm] = [mm] \frac{(\alpha x^{\alpha -1}- \alpha)}{1!}(x-1)^2 [/mm] + [mm] \frac{\alpha(\alpha-1)x^{\alpha-2}}{2!}(x-1)^2
[/mm]
x=1
[mm] \frac{1^\alpha - \alpha}{0!}(x-1)^0 [/mm] = [mm] \frac{(\alpha 1^{\alpha -1}- \alpha)}{1!}(x-1)^2 [/mm] + [mm] \frac{\alpha(\alpha-1)1^{\alpha-2}}{2!}(x-1)^2
[/mm]
[mm] =1^\alpha -\alpha +\frac{\alpha(\alpha-1) }{2} (x-1)^2
[/mm]
= 1 - [mm] \alpha +\frac{\alpha^2 -\alpha}{2} (x^2-2x+1)
[/mm]
Aber was bringt mir das jetzt alles?
Ich versteh denn Sinn darin nicht...
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 Sa 03.01.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> f''(x)= [mm]\frac{\alpha(\alpha-1)x^{\alpha - 2}}{2!}(x-1)^2[/mm]
>
> T_(1,1)= [mm]\frac{x^\alpha - \alpha x}{0!}(x-1)^0[/mm] =
> [mm]\frac{(\alpha x^{\alpha -1}- \alpha)}{1!}(x-1)^2[/mm] +
> [mm]\frac{\alpha(\alpha-1)x^{\alpha-2}}{2!}(x-1)^2[/mm]
>
> x=1
>
> [mm]\frac{1^\alpha - \alpha}{0!}(x-1)^0[/mm] = [mm]\frac{(\alpha 1^{\alpha -1}- \alpha)}{1!}(x-1)^2[/mm]
> + [mm]\frac{\alpha(\alpha-1)1^{\alpha-2}}{2!}(x-1)^2[/mm]
>
> [mm]=1^\alpha -\alpha +\frac{\alpha(\alpha-1) }{2} (x-1)^2[/mm]
> = 1
> - [mm]\alpha +\frac{\alpha^2 -\alpha}{2} (x^2-2x+1)[/mm]
>
> Aber was bringt mir das jetzt alles?
> Ich versteh denn Sinn darin nicht...
Deine ursprüngliche Taylorentwicklung bis zum 1. Grad war GLEICH [mm] 1-\alpha.
[/mm]
Du musst ja aber zeigen, dass etwas GRÖßER als [mm] 1-\alpha. [/mm] ist. Also musst du die Taylorentwicklung fortführen und zeigen, dass die Summe der restlichen Glieder größer als Null ist. Du warst wieder etwas zu geizig und hast nur das nächste Folgenglied der Taylorentwicklung angegeben. Da die Summanden der Entwicklung aber abwechselnd positiv und negativ sind, musst du schon wenigstens noch einen weiteren Summanden ausrechnen und zeigen, dass auch mit diesem negativen Summanden der Gesamtzuwachs größer Null ist.
Gruß Abakus
>
> Grüße
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 Mo 05.01.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo,
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> f''(x)= [mm]\frac{\alpha(\alpha-1)x^{\alpha - 2}}{2!}(x-1)^2[/mm]
>
> T_(1,1)= [mm]\frac{x^\alpha - \alpha x}{0!}(x-1)^0[/mm] =
> [mm]\frac{(\alpha x^{\alpha -1}- \alpha)}{1!}(x-1)^2[/mm] +
> [mm]\frac{\alpha(\alpha-1)x^{\alpha-2}}{2!}(x-1)^2[/mm]
>
> x=1
>
> [mm]\frac{1^\alpha - \alpha}{0!}(x-1)^0[/mm] = [mm]\frac{(\alpha 1^{\alpha -1}- \alpha)}{1!}(x-1)^2[/mm]
> + [mm]\frac{\alpha(\alpha-1)1^{\alpha-2}}{2!}(x-1)^2[/mm]
>
> [mm]=1^\alpha -\alpha +\frac{\alpha(\alpha-1) }{2} (x-1)^2[/mm]
> = 1
> - [mm]\alpha +\frac{\alpha^2 -\alpha}{2} (x^2-2x+1)[/mm]
Hallo,
also hätte ich für die dritte ableitung:
[mm] f'''(x)=\alpha(\alpha -2)(\alpha -1)x^{\alpha-3}
[/mm]
[mm] T_(1,1)\frac{1^\alpha - \alpha}{0!}(x-1)^0 [/mm] + [mm] \frac{(\alpha 1^{\alpha -1}- \alpha)}{1!}(x-1)^2 [/mm] + [mm] \frac{\alpha(\alpha-1)1^{\alpha-2}}{2!}(x-1)^2 +\frac{\alpha(\alpha -2)(\alpha -1)1^{\alpha-3}}{6} (x-1)^3
[/mm]
= [mm] 1^\alpha [/mm] - [mm] \alpha +0+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}(x-1)^2 [/mm] + [mm] \frac{\alpha^3 +2}{6}(x-1)^3 [/mm]
der vorletzte Term und der Letzte sind immer positiv...
Wie weiter? Oder bin ich jetzt fertig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 Di 06.01.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Ok,
jetzt, habe ich noch eine andere aufgabe dazu,
Für a,b [mm] \el (0,\infty) [/mm] und [mm] \alpha [/mm] , [mm] \beta \el [/mm] (0,1) mit [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] =1 gilt: [mm] a^\alpha b^\beta \le \alpha [/mm] a + [mm] \beta [/mm] b
Als Tipp haben wir bekommen, dass man die Lösung von der vorigen Aufgabe dazu verwenden kann.
Ich habe das aber so gemacht und frage nun, ob man dass so machen kann.
[mm] a^\alpha b^\beta [/mm] = [mm] e^{ln(a^\alpha)} e^{ln(b^\beta)} [/mm]
= [mm] e^{\alpha ln(a) + \beta ln(b)} \le \alpha e^{(ln(a))} [/mm] + [mm] \beta e^{(ln(b))} [/mm] = [mm] \alpha [/mm] a + [mm] \beta [/mm] b
Bitte um Rückmeldung! Danke und Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:29 Di 06.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.Hast du dasselbe Frage nicht schon in nem anderen forum mit demselben Lösungsansatz gestellt?
2. der erste Teil ist so noch falsch!
warum entwickelst du Taylor um x=1
T(1) ist dann immer f(1)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Di 06.01.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
dann kann ich doch anstatt der 1 einfach das x einsetzen?
Ich habe das einfach mit 1 gemacht, da ich dann eben sehe in wie weit ich einen Zuwachs bekomme. Die Ungleich soll ja für [mm] \le [/mm] 1 - [mm] \alpha [/mm] gelten.
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 Di 06.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum entwickelst du um x=1? und dann einsetzen die entwicklungsstelle gibt dir die fkt an der Stelle sonst nichts.
da kannst du auch gleich 1 in die fkt einsetzen.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:34 Di 06.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das ganze ist falsch! warum entwickelst du um 1?
und warum setzest du dan für x=1 ein? An der Entwicklungsstelle ist T immer gleich f.
Aber solange du hier ohne es zu sagen in 2 foren rumfragst mag ich nicht mehr sagen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:39 Di 06.01.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Wieso frage ich hier in 2 Foren herum?
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:00 Di 06.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Weil im matheplanet die gleiche frage und mit genau den falschen Ansätzen usw. steht!
Gruss leduart
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