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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:52 So 03.01.2010 | | Autor: | jboss |
| Aufgabe | Zeigen Sie für $z ˜in [mm] \IC$ [/mm] folgende Ungleichungen:
[mm] $|e^z [/mm] - 1| [mm] \le e^{|z|} [/mm] - 1 [mm] \le |z|\cdot e^{|z|}$ [/mm] |
Hallo,
also mein Lösungsansatz ist folgender.
Zuallererst möchte ich zeigen: [mm] $|e^z [/mm] - 1| [mm] \le e^{|z|} [/mm] - 1$
Hierzu habe ich zuerst die Dreiecksungleichung benutzt und anschließend mit der Potenzreihenentwicklung der Exponentialfunktion gearbeitet. Jedoch erhalte ich am Ende leider nicht ganz das gewünschte Ergebnis :-(
[mm] \begin{matrix}
|e^z + 1| &\le& |e^z| + 1 \\
\ &=& \left|\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^k}{k!}\right| + 1 \\
\ &\le& \summe_{k=0}^{\infty} \left|\bruch{z^k}{k!}\right| + 1 \\
\ &=& \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{|z^k|}{k!} + 1 \\
\ &=& \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{|z|^k}{k!} + 1 \\
\ &=& e^{|z|} + 1
\end{matrix}
[/mm]
Auch bei der zweiten Ungleichung habe ich leider ein Problem. Hier wieder mein Ansatz:
[mm] \begin{matrix}
e^{|z|} - 1 &=& \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{|z|^k}{k!} - 1 \\
\ &=& \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{|z|^k}{k!} + 1 - 1 \\
\ &\le& \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{|z|^k}{k!}
\end{matrix}
[/mm]
Somit habe ich die lästige 1 eliminiert. Ich denke bis hierhin ist auch alles soweit korrekt. Nun muss ich irgendwie noch $|z|$ als Faktor hier unterbringen. Habe mir jetzt eine Abschätzung überlegt die zum Ziel führt, jedoch meiner Meinung nach für $|z| < 1$ nicht erfüllt ist.
[mm] \begin{matrix}
\dots &\le& \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{|z|^k}{k!} \\
\ &\le& \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{|z|^{k+1}}{k!} \\
\ &=& |z|\cdot \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{|z|^k}{k!}
\end{matrix}
[/mm]
Wo liegt mein Denkfehler?
Viele Grüße
Jakob
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> Zeigen Sie für [mm]z ˜in \IC[/mm] folgende Ungleichungen:
> [mm]|e^z - 1| \le e^{|z|} - 1 \le |z|\cdot e^{|z|}[/mm]
> Hallo,
> also mein Lösungsansatz ist folgender.
> Zuallererst möchte ich zeigen: [mm]|e^z - 1| \le e^{|z|} - 1[/mm]
>
> Hierzu habe ich zuerst die Dreiecksungleichung benutzt und
> anschließend mit der Potenzreihenentwicklung der
> Exponentialfunktion gearbeitet. Jedoch erhalte ich am Ende
> leider nicht ganz das gewünschte Ergebnis :-(
>
> [mm]\begin{matrix}
|e^z \red{+} 1| &\le& |e^z| + 1 \\
\
\ &=& \left|\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^k}{k!}\right| + 1 \\
\ &\le& \summe_{k=0}^{\infty} \left|\bruch{z^k}{k!}\right| + 1 \\
\ &=& \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{|z^k|}{k!} + 1 \\
\ &=& \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{|z|^k}{k!} + 1 \\
\ &=& e^{|z|} + 1
\end{matrix}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Hier gehst du ja gar nicht von dem gegebenen Term
(mit Minuszeichen !) aus ...
> Auch bei der zweiten Ungleichung habe ich leider ein
> Problem. Hier wieder mein Ansatz:
>
> [mm]\begin{matrix}
e^{|z|} - 1 &=& \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{|z|^k}{k!} - 1 \\
\ &=& \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{|z|^k}{k!} + 1 - 1 &\qquad\text{\green{[ok]}}\\
\ &\le& \red{\summe_{k=0}^{\infty}} \bruch{|z|^k}{k!}&\qquad\text{\red{[???]}}
\end{matrix}[/mm]
>
> Somit habe ich die lästige 1 eliminiert.
Du hast aber den damit erreichten Vorteil gleich
wieder weggeschmissen, indem du wieder einen
Summanden mit k=0 dazunimmst ...
> Ich denke bis
> hierhin ist auch alles soweit korrekt. Nun muss ich
> irgendwie noch [mm]|z|[/mm] als Faktor hier unterbringen. Habe mir
> jetzt eine Abschätzung überlegt die zum Ziel führt,
> jedoch meiner Meinung nach für [mm]|z| < 1[/mm] nicht erfüllt
> ist.
>
>
> [mm]\begin{matrix}
\dots &\le& \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{|z|^k}{k!} \\
\ &\le& \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{|z|^{k+1}}{k!} \\
\ &=& |z|\cdot \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{|z|^k}{k!}
\end{matrix}[/mm]
>
> Wo liegt mein Denkfehler?
Ab dem Term [mm] $\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{|z|^k}{k!} [/mm] + 1 - 1$ (Zeile mit dem [mm] $\qquad\text{\green{[ok]}}$)
[/mm]
sollte es so weiter gehen:
$\ =\ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{|z|^k}{k!}$
[/mm]
$\ =\ [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{|z|^{i+1}}{(i+1)!}$
[/mm]
$\ =\ [mm] |z|*\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{|z|^i}{(i+1)!}$
[/mm]
$\ [mm] \le\ |z|*\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{|z|^i}{i\,!}$
[/mm]
$\ =\ [mm] |z|\cdot e^{|z|}$
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:50 So 03.01.2010 | | Autor: | jboss |
Hallo Al-Chwarizmi,
danke für deine Hilfe. Habe nochmal an der ersten Ungleichung gearbeitet. Mein Ergebnis sieht nun wie folgt aus:
[mm]
\begin{matrix}
|e^z - 1| &=& \left|\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{z^k}{k!}\right| \\
\ &\le& \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{|z|^k}{k!} \\
\ &=& \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{|z|^k}{k!} - 1 \\
\ &=& e^{|z|} - 1
\end{matrix}
[/mm]
Viele Grüße
Jakob
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> Hallo Al-Chwarizmi,
> danke für deine Hilfe. Habe nochmal an der ersten
> Ungleichung gearbeitet. Mein Ergebnis sieht nun wie folgt
> aus:
[mm]
\begin{matrix}
|e^z - 1| &=& \left|\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{z^k}{k!}\right| \\
\ &\le& \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{|z|^k}{k!} \\
\ &=& \red{\left(}\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{|z|^k}{k!}\red{\right)} - 1 \\
\ &=& e^{|z|} - 1
\end{matrix}
[/mm]
> Viele Grüße
> Jakob
Hallo Jakob,
das sieht nun gut aus. Der Deutlichkeit halber habe ich
noch das rote Klammerpaar eingefügt. Und ebenfalls der
Deutlichkeit zuliebe kannst du den allerersten Schritt
noch aufteilen:
$\ [mm] |e^z [/mm] - 1|\ =\ [mm] \left|\left(\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^k}{k\,!}\right)-\,\frac{z^0}{0\,!}\,\right|\ [/mm] =\ [mm] \left|\,\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{z^k}{k\,!}\,\right|$
[/mm]
LG Al-Chw.
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