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Ungleichungen: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:55 Mo 19.09.2005
Autor: Ciyoberti

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen !
Ich habe es wieder geschaft, hab mir so eine Ungleichung gefunden bei dem ich am Ende wieder nichts mehr kapiere [keineahnung]
Ich hoffe jemand hat wieder die Zeit mir etwas zu helfen wie bis jetzt immer der Fall war [anbet].
Als Lösung muss ich x [mm] \le\bruch{-3}{2} [/mm] und -1<x [mm] \le2 [/mm] bekommen.
[mm] \bruch{2x+5}{2x-1} \ge2x-1 [/mm]
1.Fall :    x+1>0 [mm] \gdw [/mm] x>-1
[mm] \bruch{2x+5}{2x-1} \ge2x-1 [/mm]
[mm] \gdw2x+5 \ge(2x-1)(x+1) [/mm]
[mm] \gdw2x+5 \ge2 x^{2}+x-1 [/mm]
[mm] \gdw2 x^{2}-x-6 \le0 [/mm]
[mm] \gdw x^{2}-\bruch{1}{2}x-3 \le0 [/mm]
mit p,q-Formel bekommen  [mm] x_{1}=2 [/mm] und  [mm] x_{2} =\bruch{-3}{2} [/mm]  vom  [mm] f(x)=x^{2}-\bruch{1}{2}x-3 [/mm]
Wie mache ich jetzt weiter
x>-1  [mm] \wedge [/mm] x [mm] \le2 \Rightarrow [/mm] -1<x [mm] \le2 [/mm]  ist ja richtig.
x>-1  [mm] \wedge [/mm] x [mm] \le-\bruch{3}{2} \Rightarrow [/mm] leere Menge
muss ich jetzt weiter mit dem 2.Fall rechnen
2.Fall : x <-1  [mm] \to x^{2}-\bruch{1}{2}x-3 \ge0 [/mm]
wenn ich denn letzte Schritt nicht mache und weiter mit
x <-1 [mm] \wedge [/mm] x [mm] \le -\bruch{3}{2} [/mm] rechne bekomme ich

x <-1 [mm] \wedge [/mm] x [mm] \le -\bruch{3}{2} \Rightarrow [/mm] x [mm] \le -\bruch{3}{2} [/mm]
Das kann aber doch nicht richtig sein oder
Außerdem, wenn ich als 1.Fall nicht die x+1>0 [mm] \gdw [/mm] x>-1 nehme sonder x+1<0 [mm] \gdw [/mm] x<-1 bekomme ich ja völlig andere Ergebniss. Nämlich [mm] -\bruch{3}{2} \le [/mm] x <-1
Wie lautet die Schlußsatz, kann mir bitte jemand verraten. [hot]


        
Bezug
Ungleichungen: umgekehrte Ungleichung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:24 Mo 19.09.2005
Autor: Roadrunner

Hallo Ciyoberti!



> [mm]\bruch{2x+5}{2x-1} \ge2x-1[/mm]

Deinem folgendem Rechenweg nach, meinst Du aber folgendes, oder?

[mm]\bruch{2x+5}{\red{x+1}} \ \ge \ 2x-1[/mm]



> 1.Fall :    x+1>0 [mm]\gdw[/mm] x>-1
> [mm]\bruch{2x+5}{2x-1} \ge2x-1[/mm]
> [mm]\gdw2x+5 \ge(2x-1)(x+1)[/mm]
>  
> [mm]\gdw2x+5 \ge2 x^{2}+x-1[/mm]
> [mm]\gdw2 x^{2}-x-6 \le0[/mm]
> [mm]\gdw x^{2}-\bruch{1}{2}x-3 \le0[/mm]
>  
> mit p,q-Formel bekommen  [mm]x_{1}=2[/mm] und  [mm]x_{2} =\bruch{-3}{2}[/mm]  
> vom  [mm]f(x)=x^{2}-\bruch{1}{2}x-3[/mm]

[daumenhoch]


> Wie mache ich jetzt weiter
> x>-1  [mm]\wedge[/mm] x [mm]\le2 \Rightarrow[/mm] -1<x [mm]\le2[/mm]  ist ja richtig.

[ok]


> x>-1  [mm]\wedge[/mm] x [mm]\le-\bruch{3}{2} \Rightarrow[/mm] leere Menge

[notok] Hier muss es heißen:

$x>-1 \ \ [mm] \wedge [/mm] \ \ x \ [mm] \red{\ge} [/mm] \ [mm] -\bruch{3}{2} [/mm] \ \ \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ \ \ x \ [mm] \ge [/mm] \ -1$


[mm] $\Rightarrow$ [/mm] Gesamtlösungsmenge für den 1. Fall:

[mm] $L_1 [/mm] \ = \ [mm] \left\{ \ x\in\IR \ \left| \ -1 < x \le 2 \ \right\}$ Und nun sollte es mit dem 2. Fall zusammen auch hinhauen mit der Musterlösung, oder? Gruß vom Roadrunner [/mm]
Bezug
                
Bezug
Ungleichungen: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:39 Mo 19.09.2005
Autor: Ciyoberti

Hallo Roadrunner ! Ich danke dir vielmals :-)
Ich habe es versucht vielleicht ist es richtig aber verstanden habe ich es nicht. Ich kriege die richtige Lösung , weil ich den Lösung kenne.
2. Fall x <-1
x <-1  [mm] \wedge [/mm] x [mm] \ge2 \Rightarrow [/mm] leere Menge
x <-1  [mm] \wedge [/mm] x [mm] \le-\bruch{3}{2} \Rightarrow [/mm] x [mm] \le-\bruch{3}{2} [/mm]
z.B. an der Stelle wo du mich Korregiert hast.
[notok] Hier muss es heißen:

$x>-1 \ \ [mm] \wedge [/mm] \ \ x \ [mm] \red{\ge} [/mm] \ [mm] -\bruch{3}{2} [/mm] \ \ \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ \ \ x \ [mm] \ge [/mm] \ -1$

Du nimmst als erstens x [mm] \le2 [/mm]  dann x [mm] \ge-\bruch{3}{2} [/mm]
Weshalb drehst du die Ungleicheitszeichen ? Weil das [mm] x_{2} [/mm]  ein minus Vorzeichen hat oder wie ?  :-)
Es muss doch nach irgendeinem Regel gehen oder ?. Dies ist mir im Moment ein Rätsel. Alles kommt mir wie ein Puzzel. Dreh es so lange wie es passt. [verwirrt]
Ich habe noch so ein ähnliche Aufgabe gefunden. Ich versuche die Gemeinsamkeiten von der beiden Aufgaben zu finden.
Ich würde mich tierisch freuen wenn jemand mit wieder ein kurzen Tip geben würde.
Ich danke nochmals an Allen die mir bis jetzt geholfen haben.

Bezug
                        
Bezug
Ungleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:07 Di 20.09.2005
Autor: Julius

Hallo Ciyoberti!

Ich mache es dir einmal vor:

Du warst im Fall $x>-1$ und hattest (nach Faktorisierung) die Ungleichung

$(x-2) [mm] \cdot [/mm] (x + [mm] \frac{3}{2}) \le [/mm] 0$

zu lösen. Das Produkt zweier Zahlen ist genau dann nicht-positiv, wenn genau einer der beiden Faktoren nicht-positiv und der andere nicht-negativ ist ($ab [mm] \le [/mm] 0 [mm] \quad \Rightarrow \quad (a\le [/mm] 0 [mm] \wedge [/mm] b [mm] \ge [/mm] 0) [mm] \vee [/mm] (a [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \wedge [/mm] b [mm] \le [/mm] 0)$). Du erhältst also die beiden Unterfälle:

Fall 1.1 $x>-1$, $x [mm] \ge [/mm] 2$, $x [mm] \le -\frac{3}{2}$ [/mm]

Dieser Fall ist aber unmöglich und liefert die leere Menge als Lösungsmenge.

Fall 1.2 $x>-1$, $x [mm] \le [/mm] 2$, $x [mm] \ge -\frac{3}{2}$ [/mm]

Dieser Fall führt auf die Lösungsmenge $L=(-1,2]$.

Liebe Grüße
Julius
Bezug
                                
Bezug
Ungleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:08 Di 20.09.2005
Autor: Ciyoberti

Danke Julius !
Danke danke danke [lichtaufgegangen]
Ich glaube ich kann jetzt alle solche Aufgaben lösen. Ich habe keinen Angst [happy]
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