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| Aufgabe | Bestimmen Sie alle x [mm] \in \IR [/mm] für die gilt:
a) [mm] 3x^2 [/mm] + 6x - 8 > 1 |
Manchmal steht man auf dem Schlauch, sodass man die einfachsten Dinge nich hinbekommt :D
Also ich hab erstmal umgeform und komme auf:
[mm] 3x^2 [/mm] + 6x - 9 > 0 | :3
[mm] x^2 [/mm] + 2x - 3 > 0
Nullstellen bestimmt: [mm] x_0_1 [/mm] = 1 ; [mm] x_0_2 [/mm] = -3
So und wenn ich mir den Graphen von [mm] x^2 [/mm] + 2x - 3 betrachte, dann ist der ja von -3 bis 1 im Negativen. Heißt das, dass ich bei der Ungleichung in diesem Bereich das Relationszeichen umkehren muss?
Und bestimmt ich die Lösungsmenge, indem ich jetzt die Fälle 1) x < -3 2) x [mm] \in [/mm] (-3 , 1 ] 3) x > 1 betrachte?
Danke euch!
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Hallo,
du hast da was nicht ganz verstanden. Aber dazu weiter unten.
> Bestimmen Sie alle x [mm]\in \IR[/mm] für die gilt:
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> a) [mm]3x^2[/mm] + 6x - 8 > 1
>
> Also ich hab erstmal umgeform und komme auf:
>
> [mm]3x^2[/mm] + 6x - 9 > 0 | :3
> [mm]x^2[/mm] + 2x - 3 > 0
Ja, das ist auf jeden Fall gut.
> Nullstellen bestimmt: [mm]x_0_1[/mm] = 1 ; [mm]x_0_2[/mm] = -3
Die sind richtig, aber das ist sehr, sehr unelegant. Man sollte bei einer quadratischen Ungleichung mit der quadratischen Ergänzung arbeiten, dann sind auch die Fallunterscheidungen einfacher einzusehen.
> So und wenn ich mir den Graphen von [mm]x^2[/mm] + 2x - 3 betrachte,
> dann ist der ja von -3 bis 1 im Negativen. Heißt das, dass
> ich bei der Ungleichung in diesem Bereich das
> Relationszeichen umkehren muss?
Nein, denn damit bastelst du dir eine neue Ungleichung. 
> Und bestimmt ich die Lösungsmenge, indem ich jetzt die
> Fälle 1) x < -3 2) x [mm]\in[/mm] (-3 , 1 ] 3) x > 1 betrachte?
Jetzt zu dem, was ich anfangs schrieb: die Lösungsmenge besteht aus allen x-Werten, welche die Ungleichung erfüllen. Das tun aber gewisse Werte, die du schon bestimmt hast, nicht. Ist der Groschen gefallen?
Gruß, Diophant
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Naja der Groschen ist leider noch nicht gefallen. =)
Abgesehen von der quadratischen Ergänzung und mal mit meiner Variante, setze ich doch dann meine Nullstellen einfach mal in die Ausgangsgleichung ein oder? Also setze ich in die Ungleichung [mm] 3x^2 [/mm] + 6x - 8 > 1 [mm] x_0_1 [/mm] und [mm] x_0_2 [/mm] ein?!
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Hallo,
> Naja der Groschen ist leider noch nicht gefallen. =)
> Abgesehen von der quadratischen Ergänzung und mal mit
> meiner Variante, setze ich doch dann meine Nullstellen
> einfach mal in die Ausgangsgleichung ein oder?
Wozu soll das gut sein?
Du hast offensichtlich (noch, aus der Schule?) die irrige Meinung, dass es ausreicht, irgendein Schema runterzurechnen. Bei Ungleichungen muss man mehr denken, als rechnen. Nochmals:
- Das Schaubild der entsprechenden Parabel verläuft zwischen -3 und 1 unterhalb der x-Achse. Liegt dieses (offene) Intervall dann in der Lösungsmenge?
- [mm] x_1=-3 [/mm] und [mm] x_2=1 [/mm] sind Nullstellen der Parabel. Ist Null eine positive Zahl? Gehören damit die Nullstellen zur Lösungsmenge der Ungleichung oder nicht?
- Was bleibt als Lösungsmenge übrig?
Fragen über Fragen.
Gruß, Diophant
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Ok, also ich hab sowieso gemerkt, dass aus der Schule ziemlich viel Mist hängen geblieben ist... ;) Aber damit muss ich wohl nun langsam klar kommen...
Ich muss ja nur die x [mm] \in \IR [/mm] in der Lösungsmenge zusammenfasse, die größer als 1 sind.
Das heißt, dass das gesamte offene Intervall von -3 bis 1 wegfällt, da ja dort der x Wert unter eins ist.
Und auch die Nullstellen zählen in die Lösungsmenge nicht rein.
Kann das sein, dass die Lösungsmenge = (1, [mm] \infty [/mm] ] ist?
Denn die Ungleichung ist ja erfüllt, für alle x > 1 ?!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 So 04.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ok, also ich hab sowieso gemerkt, dass aus der Schule
> ziemlich viel Mist hängen geblieben ist... ;) Aber damit
> muss ich wohl nun langsam klar kommen...
>
> Ich muss ja nur die x [mm]\in \IR[/mm] in der Lösungsmenge
> zusammenfasse, die größer als 1 sind.
> Das heißt, dass das gesamte offene Intervall von -3 bis 1
> wegfällt, da ja dort der x Wert unter eins ist.
> Und auch die Nullstellen zählen in die Lösungsmenge nicht
> rein.
>
> Kann das sein, dass die Lösungsmenge = (1, [mm]\infty[/mm] ] ist?
Nein. Die lösungsmenge ist (1, [mm]\infty[/mm] ] [mm] \cup [/mm] (- [mm] \infty, [/mm] -3)
Edit: natürlich so: (1, [mm]\infty[/mm] ) [mm] \cup [/mm] (- [mm] \infty, [/mm] -3)
FRED
> Denn die Ungleichung ist ja erfüllt, für alle x > 1 ?!
>
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 08:26 Mo 05.11.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo FRED,
hinter dem Unendlich hier
> Nein. Die lösungsmenge ist (1, [mm]\infty[/mm] ] [mm]\cup[/mm] (- [mm]\infty,[/mm]
sollte eine runde Klammer stehen.
Morgendliche Grüße,
Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:24 Mo 05.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Hier, der vollständigkeit halber, mal der Ansatz mit quadrat. Ergänzung:
$ [mm] 3x^2 [/mm] + 6x - 8 > 1$
[mm] 3x^2+6x-8
[/mm]
[mm] =3\cdot(x^{2}+6x)-8
[/mm]
[mm] =3\cdot(x^{2}+2\cdot [/mm] 3x)-8
[mm] =3\cdot(x^{2}+2\cdot 3x+3^{2}-3^{2})-8
[/mm]
[mm] =3\cdot((x+3)^{2}-3^{2})-8
[/mm]
[mm] =3\cdot((x+3)^{2}-9)-8
[/mm]
[mm] =3(x+3)^{2}-35
[/mm]
DAmit wird aus
$ [mm] 3x^2 [/mm] + 6x - 8 > 1$
die Ungleichung
$ [mm] 3(x+3)^{2}-35 [/mm] > 1$
Marius
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