Ungleichungen lösen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1.)Zeige dass gilt: |x + 1/x| >= 2
2.)Zeige, für welche x gilt: x*(2-x) > 1 + |x| |
Wie löst man diese Aufgaben?
zu 1.) Hätte ich versucht, durch Beweis des Gegenteils, also nicht "größergleich" sondern "kleiner als" zu zeigen dass man zu einem Widerspruch kommt, was aber nicht passiert.
zu 2.) Hier hätte ich versucht rumzurechnen, aber das endet immer in einem Disaster..
EDIT: Fehler in der Aufgabenstellung zu Aufgabe 2!!! (2-x) ist korrekt, nicht (x-2)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:44 So 17.03.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> 2.)Zeige, für welche x gilt: x*(x-2) > 1 + |x|
> Wie löst man diese Aufgaben?
>
>
> zu 2.) Hier hätte ich versucht rumzurechnen, aber das
> endet immer in einem Disaster..
Beachte, dass gilt:
[mm]|x|=\begin{cases} x, & \mbox{fuer } x\ge0 \\
-x, & \mbox{fuer } x<0 \end{cases}[/mm]
Also mache eine Fallunterscheidung
Fall 1: [mm] x\ge0
[/mm]
Dann wird die Gleichung
[mm] x\cdot(x-2)>1+|x|
[/mm]
zu
[mm] x\cdot(x-2)>1+x
[/mm]
Fall 2: x<0
Dann wird die Gleichung
[mm] x\cdot(x-2)>1+|x|
[/mm]
zu
[mm] x\cdot(x-2)>1-x
[/mm]
Löse die beiden Entstehenden Ungleichungen nun wie üblich. Beachte aber die Falleinschränkungen.
Marius
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(In der Klammer steht bei dir (x-2), es heißt aber (2-x), nur zur Korrektur.)
1. Fall
$ [mm] x\cdot(2-x)>1+x [/mm] $
$2x - [mm] x^2 [/mm] > 1 + x$
[mm] $-x^2 [/mm] + x > 1$
$x [mm] \cdot [/mm] (-x + 1) > 1$
Okay, an der Stelle möchte ich argumentieren, dass ein Produkt dann größer als 1 ist, wenn a) beide Faktoren positiv/negativ und b) nicht beide Faktoren kleiner als 1 sind.
Für (-x+1) folgt, dass der Term größer als 0 sein muss.
$ -x+1 > 0$
$x < 1$
Da nun aber 0 < x < 1 ist das Produkt aus x * (-x + 1) nicht größer als 1.
So richtig dient das ganze aber nicht als eine Berechnung des Ergebnisses. VIelleicht kann mir da nochmal jemand einen Hinweis geben?
2. Fall
$ ...$
[mm] $x\cdot(-x [/mm] + 3) > 1$
Nun, selbiges wie oben: Beide Faktoren müssen positiv sein oder beide negativ. Da x jedoch negativ ist, heißt das, dass (-x + 3) auch negativ sein muss, also
$-x + 3 < 0$
$x > 3$
Was nicht sein kann, da ja x negativ ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:32 So 17.03.2013 | | Autor: | chrisno |
> (In der Klammer steht bei dir (x-2), es heißt aber (2-x),
> nur zur Korrektur.)
ja
> 1. Fall
sei im Folgenden x > 0
> [mm]x\cdot(2-x)>1+x[/mm]
> [mm]2x - x^2 > 1 + x[/mm]
> [mm]-x^2 + x > 1[/mm]
> [mm]x \cdot (-x + 1) > 1[/mm]
>
>
> Okay, an der Stelle möchte ich argumentieren, dass ein
> Produkt dann größer als 1 ist, wenn a) beide Faktoren
> positiv/negativ und b) nicht beide Faktoren kleiner als 1
> sind.
Das gelingt so nicht. 10 * 0,0001 = ....
Allerdings argumentierst Du auch anders.
Ein anderer Weg wäre:
[mm]-x^2 + x > 1[/mm]
[mm]x^2 - x < -1[/mm]
[mm]x^2 - x +1 < 0[/mm]
Das ist eine nach oben geöffnete Parabel. Die Frage ist, ob sie auch einen Abschnitt unterhalb der x-Achse hat. Das kannst Du prüfen, indem Du nach den Nullstellen suchst, also
[mm]x^2 - x +1 = 0[/mm] versuchst zu lösen.
>
Da fehlt etwas Text: da x > 0 vorausgesetzt wurde .....
> Für (-x+1) folgt, dass der Term größer als 0 sein muss.
> [mm]-x+1 > 0[/mm]
> [mm]x < 1[/mm]
und damit 0 < x < 1
>
> Da nun aber 0 < x < 1 ist das Produkt aus x * (-x + 1)
> nicht größer als 1.
Da musst Du noch genauer zeigen, dass auch 1-x < 1
das gelingt auch.
> So richtig dient das ganze aber nicht als eine Berechnung
> des Ergebnisses. VIelleicht kann mir da nochmal jemand
> einen Hinweis geben?
Das hängt ein wenig davon ab, wie streng mathematisch argumentiert werden soll. Im Wesentlichen ist Dein Weg in Ordnung.
>
>
> 2. Fall
sei im Folgenden x < 0
> [mm]...[/mm]
> [mm]x\cdot(-x + 3) > 1[/mm]
>
>
> Nun, selbiges wie oben: Beide Faktoren müssen positiv sein
> oder beide negativ. Da x jedoch negativ ist, heißt das,
> dass (-x + 3) auch negativ sein muss, also
> [mm]-x + 3 < 0[/mm]
> [mm]x > 3[/mm]
>
> Was nicht sein kann, da ja x negativ ist.
ja und damit gibt es kein x, dass die Ungleichung erfüllt.
Du musst auch noch den Fall x = 0 abhandeln. Das geht schnell.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 So 17.03.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> 1.)Zeige dass gilt: |x + 1/x| >= 2
>
> zu 1.) Hätte ich versucht, durch Beweis des Gegenteils,
> also nicht "größergleich" sondern "kleiner als" zu zeigen
> dass man zu einem Widerspruch kommt, was aber nicht
> passiert.
>
Auch hier mache wieder die Fallunterscheidung der Betragsfunktion.
Fall 1:
[mm] x+\frac{1}{x}\le0
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x\le-\frac{1}{x}
[/mm]
Das ist für alle x>0 erfüllt, die 0 ist eh außerhalb des Def-Bereiches
Für x>0 wird:
[mm] \left|x+\frac{1}{x}\right|\le2
[/mm]
zu
[mm] x+\frac{1}{x}\le2
[/mm]
Fall2: x<0:
Nun wird
[mm] \left|x+\frac{1}{x}\right|\le2
[/mm]
zu
[mm] -\left(x+\frac{1}{x}\right)\le2
[/mm]
Zeige, dass beide Aussagen nun wahr sind.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 So 17.03.2013 | | Autor: | fred97 |
Zu 1. Ohne Fallunterscheidung:
$|x + 1/x| [mm] \ge [/mm] 2 [mm] \gdw (x+1/x)^2 \ge [/mm] 4 [mm] \gdw x^2-2+1/x^2 \ge [/mm] 0.$
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:03 So 17.03.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Zu 1. Ohne Fallunterscheidung:
>
>
>
> [mm]|x + 1/x| \ge 2 \gdw (x+1/x)^2 \ge 4 \gdw x^2-2+1/x^2 \ge 0.[/mm]
>
> FRED
Dann sollte man aber auch noch den folgenden Tipp geben, die binomische Formel ist nämlich hier alles andere als offensichtlich 
[mm] \left(a+\frac{1}{a}\right)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot\frac{1}{a}+\left(\frac{1}{a}\right)^{2}=a^{2}+2+\frac{1}{a^{2}}
[/mm]
Marius
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Kurze Mitteilung meinerseits:
Erstmal vielen lieben Dank für diese unglaublich schnelle, kompetente und hilfreiche Antwort! (Die Aufgaben bearbeite ich eben nochmals und melde mich bei anstehenden Fragen noch einmal).
Zu dem Hinweis für Aufgabe 1; das Quadrieren hatte ich soweit versucht, allerdings die Binomische Formel nicht erkannt.. Der zusätzliche Hinweis ist daher sehr angenehm.
=> Welcher "Trick" lag hier dahinter, diese Formel zu erkennen? (Jetzt, wo ich es weiß, springt es fast schon ins Auge.. trotzdem, vorher war es eher unklar).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:50 So 17.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Zu 1. Ohne Fallunterscheidung:
>
>
>
> [mm]|x + 1/x| \ge 2 \gdw (x+1/x)^2 \ge 4 \gdw x^2-2+1/x^2 \ge 0.[/mm]
ich hätte das noch weiter gerechnet:
[mm] $$\iff x^4-2x^2+1 \ge [/mm] 0 [mm] \iff (x^2-1)^2 \ge 0\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:24 Mo 18.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > Zu 1. Ohne Fallunterscheidung:
> >
> >
> >
> > [mm]|x + 1/x| \ge 2 \gdw (x+1/x)^2 \ge 4 \gdw x^2-2+1/x^2 \ge 0.[/mm]
>
> ich hätte das noch weiter gerechnet:
Hallo Marcel,
ich habe auch weitergerechnet, aber Kartoffelchip sollte ja auch noch was tun...
Gruß FRED
> [mm]\iff x^4-2x^2+1 \ge 0 \iff (x^2-1)^2 \ge 0\,.[/mm]
>
> Gruß,
> Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:07 Mo 18.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Fred,
> > Hallo Fred,
> >
> > > Zu 1. Ohne Fallunterscheidung:
> > >
> > >
> > >
> > > [mm]|x + 1/x| \ge 2 \gdw (x+1/x)^2 \ge 4 \gdw x^2-2+1/x^2 \ge 0.[/mm]
>
> >
> > ich hätte das noch weiter gerechnet:
>
>
> Hallo Marcel,
>
> ich habe auch weitergerechnet, aber Kartoffelchip sollte ja
> auch noch was tun...
okay. Dann ist's gut, dass ich erst so spät was dazu geschrieben hatte. 
Nebenbei: Mit [mm] $...\,$ [/mm] wäre es mir klarer gewesen, dass da jmd. noch selbst
etwas tun sollte. ^^
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:38 Mo 18.03.2013 | | Autor: | fred97 |
Zu 2.:
$x*(2-x) > 1 + |x| [mm] \quad \gdw \quad -x^2+2x-1>|x| \quad \gdw \quad -(x-1)^2>|x|$
[/mm]
D.h.: die Ungleichung x*(2-x) > 1 + |x| gilt für kein(!) x.
FRED
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