Unitäre Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Fr 06.07.2007 | | Autor: | E-Storm |
| Aufgabe | | Beweise folgende Aussage: Eine Matrix A [mm] \in M_{n \times n}^\IC [/mm] ist (aufgefasst als Abbildung von [mm] V_{\IC}^n [/mm] nach [mm] V_{\IC}^n [/mm] ) genau dann unitär, wenn die Spalten eine Orthonormalbasis (des [mm] V_{\IC}^n [/mm] ) bilden. |
Also ich hab es folgendermaßen versucht zu zeigen.
=> Sei A eine ONB, dann gilt
Spaltenrang A = n = Rang A = Zeilenrang A => A invertierbar
Ich stelle erstmal A und A* auf.
A = [mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}} [/mm]
A* = [mm] \pmat{ \overline{a_{11}} & \overline{a_{21}} & ... & \overline{a_{n1}} \\ \overline{a_{12}} & \overline{a_{22}} & ... & \overline{a_{n2}} \\ ... & ... & ... & ... \\ \overline{a_{1n}} & \overline{a_{2n}} & ... & \overline{a_{nn}}} [/mm]
Nun A* * A = [mm] \pmat{ a^1 * \overline{a^1t} =|a^1|^2 = 1 & ... & 0 \\ a^2 * \overline{a^1t} = 0 & ... & ... \\ ... & ... & ... \\ 0 & ... & a^n * \overline{a^nt} } [/mm]
Bildet ja die Einheitsmatrix, reicht das für diesen Beweis??? Wie kann ich das begründen, dass das wirklich gilt???
Andere Seite:
<= Sei A [mm] \in M_{n \times n } [/mm] unitär mit [mm] {a^1, ... , a^n}
[/mm]
aus A unitär folgt : A invertierbar und A* = A^-1
Rang A = n => [mm] a^i [/mm] linear unabhängig.
Ahm ja wie müsste ich das hier weiter führen, damit der Beweis abgeschlossen ist???
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Es muss noch gezeigt werden, dass es nicht mehr Möglichkeiten gibt als die eine. Dazu nimmt man am besten eine andere Matrix deren Spalten nicht orthonomal zu anderen sind. Dann können schon mal die [mm]2,3,4,....,n[/mm] Spalten der Matrix [mm]A^{H}\cdot A[/mm] nicht [mm]0[/mm] sein(für alle wenn alle Spalten nicht orthogonal zueinander sind). Dann ist [mm]\mathrm{det}(A^{H}\cdot A[/mm]) [mm] \neq [/mm] 1 [/mm], also keine Einheitsmatrix, denn wenn [mm]A[/mm] eine unitäre Matrix sein soll, muss ja [mm]\mathrm{det}(A^{H})=\mathrm{det}(A^{-1})[/mm] gelten, aber da dies nicht der Fall ist, ist [mm]\mathrm{det}(A^{H})\neq \mathrm{det}(A^{-1})[/mm] und damit auch [mm]\mathrm{det}(A^{H}\cdot A[/mm]) [mm] \neq [/mm] 1 [/mm].
Im Prinzip reicht es, dass die [mm]2,3,4,....,n[/mm] Spalten der Matrix [mm]A^{H}\cdot A[/mm] nicht [mm]0[/mm] sind.
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