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| Aufgabe | Gegeben sei die Matrix
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gibt es eine unitäre Matrix S [mm] \in M(3,3;\C) [/mm] so dass [mm] \overline{S}^{T} [/mm] AS eine Diagonalmatrix ist? Wenn ja, geben Sie eine solche unitäre Matrix an |
Aufgrund der Fragestellung bin ich davon ausgegangen, dass es eine solche Matrix gibt. Allerdings kann ich selbige nicht wirklich bestimmen, da ich nicht genau weiß, was ich rechnen muss, um S zu erhalten.
Ich würde erst die Eigenwerte- und vektoren von A ausrechnen. Dann mit dem Gram-Schmidt-Verfahren orthonormalisieren. Diese sind dann die Spalten der Matrix S. Ist das richtig so?
Als Eigenwert habe ich
3, 3i ; 3i
Als Eigenvektoren
( i ; 1 ; 0 )
( -i ; 0 ; 1 )
( i; -1 ; 1 )
Jetzt bin ich mir auch wegen dem orthonormalisieren unsicher.
Oder kann mir jemand einen anderen/richtigen Ansatz liefern? Vielleicht auch mit Vergleichsergebnissen, damit ich weiß, ob ich richtig gerechnet habe?
Liebe Grüße
Rebecca
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Gegeben sei die Matrix
> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Gibt es eine unitäre Matrix S [mm]\in M(3,3;\C)[/mm] so dass
> [mm]\overline{S}^{T}[/mm] AS eine Diagonalmatrix ist? Wenn ja, geben
> Sie eine solche unitäre Matrix an
> Aufgrund der Fragestellung bin ich davon ausgegangen, dass
> es eine solche Matrix gibt. Allerdings kann ich selbige
> nicht wirklich bestimmen, da ich nicht genau weiß, was ich
> rechnen muss, um S zu erhalten.
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> Ich würde erst die Eigenwerte- und vektoren von A
> ausrechnen. Dann mit dem Gram-Schmidt-Verfahren
> orthonormalisieren. Diese sind dann die Spalten der Matrix
> S. Ist das richtig so?
>
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> Als Eigenwert habe ich
> 3, 3i ; 3i
> Als Eigenvektoren
zu 3i:
> ( i ; 1 ; 0 )
> ( -i ; 0 ; 1 )
zu 3:
> ( i; -1 ; 1 )
Jetzt stellt man fest, daß [mm] \vektor{i\\-1\\1} [/mm] orthogonal zu den beiden anderen ist.
Das einzige, was zu tun bleibt, ist, daß Du die Beiden EVen zu 3i orthogonalisierst, entweder indem Du Gram-Schmidt verwendest, oder indem Du Dir überlegst, für welche r,s [mm] r\vektor{i\\1\\0}+s\vektor{-1\\0\\1} [/mm] orthogonal ist zu [mm] \vektor{i\\1\\0}.
[/mm]
Am Ende normierst Du noch Deine drei vektoren, und damit steht Deine unitäre Matrix.
Gruß v. Angela
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