Unitäre/orthogonale Gruppe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:28 So 22.04.2007 | | Autor: | kittie |
| Aufgabe | ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Bild Nr. None (fehlt/gelöscht)] |
Hallo liebe Mathe-fans,
bin neu hier, und wollte fragen ob mir jemand bei der Bewältigung dieser Aufgabe helfen, die Definitionen der unitären Gruppe und der orthogonalen Gruppe kenne ich, nur weiß ich hier nicht wie ich die Eigenschaft [mm] g^t*g=Einheitsmatrix [/mm] benutzen muss damit's vernünftige rauskommt.
Schon bei Aufgabe eins komm ich nicht weiter....kann ich das nicht einfach Hinschreiben:
Die Matrix C mit den Einträgen [mm] c_{i,j}=a{i,j}+i*b_{i,j} \in \IC [/mm] und da alle [mm] a_{i,j} [/mm] sowie alle [mm] b_{i,j} \in \IR [/mm] sind gilt C= A+i*B mit a,b [mm] \in M_n(\IR)??
[/mm]
Kann mir kaum vorstellen, dass díe Aufgabe so tiefsinnig oder schwer ist,aber leider scheine ich nicht von alleine drauf zu kommen...
Daher ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen!!!
Viele liebe Grüße, die kittie
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:08 So 22.04.2007 | | Autor: | kichel |
ich denke du kannst das sehr wohl so hinschreiben. Könntest ja noch erwähnen, dass dies daraus folgt wie man Matrizen addiert. Der Rest ist ähnlich nur mit Multiplikation. Einfach anwenden und ausrechnen. Da X in U gilt X*X = E = (A+iB)*(A+iB) = (At - iBt)(A+iB) = AAt + BBt + i(AtB - BtA) => AtB - BtA = 0 und AAt + BBt = E. Willst du nun zeigen, dass Phi(X) in O2n ist rechne das Produkt von Phi(X)tPhi(x) aus und vergleich die Einträge der Matrix mit den obigen Aussagen. Bei der letzten ebenfalls einfach ausrechnen. Zuerst zeigen Phi(XY) = Phi(X)Phi(Y) und danach zeigen Phi(X) = 0 => x = 0.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:23 So 22.04.2007 | | Autor: | kittie |
hallo, danke für die Hilfe, habs verstanden.
Nur noch eine kurze Frage:
Woher weißt du dass:
>Da X in U gilt X*X = E =
> (A+iB)*(A+iB) = (At - iBt)(A+iB) = AAt + BBt + i(AtB - BtA)
> =>AtB - BtA = 0 und AAt + BBt = E.
viele Grüße, kittie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:18 So 22.04.2007 | | Autor: | kichel |
Auf beiden seiten stehen Matrizen. Wenn man die einzelnen Einträge
der obigen Matrizengleichung betrachtet. So lauten diese z.B. für den Eintrag (1,1) :
1 = c11 + id11 wobei du c11 und d11 durch Eintragweise ausrechnen der obigen Matrizengleichung erhälst ( ist aber hier nicht wichtig). Der punkt ist, dass der Imaginärteil auf der rechten Seite auf jeden fall verschwinden also d11 = 0. Dann siehst du das c11 = 1 ist. Machst du das für jeden Eintrag dann zeigt sich die Wahrheit der Matrizengleichung.
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