Unklarheit komplexe Potenzen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Di 29.07.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
im Zuge der Bearbeitung einer Übungsaufgabe ist mir eine Unklarheit aufgefallen, wo ich meine bisherigen Kenntnisse und einen Lösungshinweis nicht in Einklang bringen kann.
I.A. ist ja das Potenzgesetz
[mm] (a*b)^r=a^r*b^r [/mm] (*)
im Komplexen nicht gültig. Bisher ging ich stets davon aus, dass dies dann ebenso auf
[mm] \left ( \frac{a}{b} \right )^r= \frac{a^r}{b^r} [/mm] (**)
zutrifft.
Die Aufgabe, um die es geht, heißt so:
Man löse die Gleichung
(z-1)^10=z^10
indem man zunächst durch z^10 dividiert und anschließend
[mm] w=\bruch{z-1}{z}
[/mm]
substituiert (wobei zu beachten ist, dass hier nicht alle 10 Einheitswurzeln zu Lösungen der Augangsgleichung führen, da diese streng genommen 9. Grades ist).
Ich habe die Aufgabe mit diesem Hinweis gelöst bekommen und auch per CAS meine Lösungen überprüft. Was mir nicht ganz klar ist: weshalb darf man das tun bzw. weshalb funktioniert das?
Kann es sein, dass man (*) und (**) auf Grund der Mehrdeutigkeit der komplexen Wurzelfunktion von rechts nach links anwenden darf, nur nicht umgekehrt?
Vielen Dank im Voraus für jede Antwort.
Gruß, Diophant
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Hallo,
10 ist eine natürliche Zahl.
Für jede natürliche Zahl gilt
[mm] $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$ [/mm] z.B. in jeder abelschen Gruppe [mm] $(G,\cdot)$ [/mm] wie es bspw. [mm] $(\mathbb [/mm] C^*, [mm] \cdot [/mm] )$ eine ist.
Die Probleme beginnen erst bei rationalen Exponenten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:25 Di 29.07.2014 | | Autor: | Diophant |
Moin,
> Hallo,
>
> 10 ist eine natürliche Zahl.
> Für jede natürliche Zahl gilt
> [mm](a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n[/mm] z.B. in jeder abelschen Gruppe
> [mm](G,\cdot)[/mm] wie es bspw. [mm](\mathbb C^*, \cdot )[/mm] eine ist.
>
> Die Probleme beginnen erst bei rationalen Exponenten.
Vielen Dank! Das beantwortet meine Frage, und da hätte ich selbst draufkommen können. Aber manchmal übersieht man die gerade die einfachsten Dinge...
Beste Grüße, Diophant
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