Unstetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:25 Di 09.03.2010 | | Autor: | Ferolei |
| Aufgabe | Betrachte:
[mm] f(x)=\begin{cases} \sin(\bruch{1}{x}), & \mbox{für }x \not= 0 \\ 0, & \mbox{für }x=0 \end{cases} [/mm] |
Ich probiere da jetzt ne halbe Stunde dran rum :( Kann mir viell. jemand mal an der Darstellung hier helfen ? (da soll stehen, für x ungleich 0 , sin (1/x) und 0 für x=0)
Also meine Problem zu dieser Funktion ist, dass er in der Vorlesung erzählte, man würde glaube, dass sie stetig ist, sie es aber nicht ist.
Hat dann noch diese 2 Folgen angegeben:
[mm] a_n=\bruch{1}{\bruch{\pi}{2}+n*2\pi} [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n=0
[/mm]
[mm] b_n=\bruch{1}{\bruch{3}{2}\pi+n*2\pi} [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_n=0
[/mm]
Ich weiß es nicht, was er uns damit zeigen wollte. Es sieht ja aus, als sei der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert der gleiche...oder was macht er da?
Viele Grüße,
Ferolei
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:38 Di 09.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Euer prof hat euch schon den Unstetigkeitsbeweis geleifert.
beide Folgen sind Nullfolgen aber [mm] sin(1/a_n) [/mm] ist konstant =1, [mm] sin(1/b_n)=-1
[/mm]
Du siehst also dass in beliebiger Nähe zu 0 du immer wieder Werte +1 und -1 kriegst. (jeden anderen Wert zwischen -1 und +1 kannst du natürlich auch kriegen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Di 09.03.2010 | | Autor: | Ferolei |
Hallo leduart,
Ok, es wird mir klarer, aber noch nicht 100%-ig.
Also die Funktion sieht dann so aus, dass ich links und rechts vom Ursprung aus so ein ständiges Zick-Zack (oder Schwung rauf und runter) habe... das meinst du mit Wechsel zwischen +1 und -1 in Richtung 0 ?
Ist das dann die Unstetigkeit für 'jede' Stelle der Funktion ?
Ne, 0 haben wir ja nicht betrachtet.
Also es gilt für die beiden Folgen eben :
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_n [/mm] = 0 [mm] \not= \limes_{n\rightarrow\infty} f(a_n) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(b_n)
[/mm]
Könnte man das so schreiben ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Di 09.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die fkt ist brav stetig, an jeder Stelle [mm] x\ne0 [/mm] weil sie da die Komposition von 2 stetigen fkt. ist.
Deine Schreibweise ist schlecht.
Du hast lim [mm] f(a_n)=1, [/mm] lim [mm] f(b_n)=-1 [/mm] wobei [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] Nullfolgen sind.
Also ist die fkt. in 0 unstetig.
deine Schreibweise ist falsch!
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] $ = $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_n [/mm] $ = 0 $
kann man schreiben.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(a_n) [/mm] $ = $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(b_n) [/mm] $
ist falsch.
wegen f(0)=0 reicht schon eine der Folgen um Unstetigkeit zu zeigen. wenn du beide hast, sieht man, dass du auch durch ein anderes f(0) die fkt nicht stetig ergänzen kannst.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:42 Di 09.03.2010 | | Autor: | Ferolei |
Ok, jetzt habe ich es verstanden !
Vielen Dank !
Viele Grüße, Ferolei
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