Unstetigkeitspunkte < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:43 So 23.01.2011 | | Autor: | Klempner |
| Aufgabe | Geben Sie alle Unstetigkeitsstellen der folgenden Funktionen an und bestimmen Sie an den Punkten die einseitigen Grenzwerte (eigentlich und uneigentliche).
a.) [mm] f_{1}: \IR \to \IR, D(f_{1})=\IR [/mm] mit [mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{2}{x}, & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 0 } \\ 0, & \mbox{für } \mbox{ x=0} \end{cases}
[/mm]
b.) [mm] f_{2}: \IR \to \IR, D(f_{2})=[0,2\pi] [/mm] mit [mm] f_{2}(x)= [/mm] sgn(cos(x)).
c.) [mm] f_{3}: \IR \to \IR, D(f_{3})=\IR [/mm] mit [mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{x^2-9x+14}{x^2+3x-10}, & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 2, x ungleich -5 } \\ 0, & \mbox{für } \mbox{ x=2, x=-5} \end{cases}
[/mm]
d.) Berechnen Sie [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f_{3}(x). [/mm] |
Ich habe hier einfach das Problem, dass ich mit der Schreibweise nicht wirklich viel anfangen kann. Sicher verstehe ich schon, wie die Funktion aussieht, aber das Rechnen fällt mir schwer.
Generell verstehe ich die Aufgabe so, dass eigentlich die Unstetigkeitsstellen doch schon gegeben sind, da die nicht definierten Bereiche schon immer ausgeschlossen sind. Stimmt das so?
Um zu schauen, ob man sie schließen kann, muss man ja den Grenzwert berechnen. Was heißt hier einseitig? Weil eigentlich müsste ich doch die GRenzwerte von beiden Seiten berechnen, um zu schauen, ob diese gleich sind.
Und nun noch eine Frage zur Rechnung. Ich kenne es so, dass ich bisher immer eine gebrochene Funktion hatte, deren Nenner und Zähler ich so mit den Unstetigkeitsstellen kürzen konnte, sodass ich dann den Grenzwert an der stelle berechnen konnte. Nur hier kann ich das ja nicht wirklich. Wenn ich die Funktion [mm] \bruch{2}{x} [/mm] habe, dann hab ich keine Ahnung, wie ich den Nenner wegbekommen kann. Bzw. eigentlich ist die Lücke ja auch schon mit 0 für x=0 gegeben.
Ihr merkt, ich komme nicht wirklich klar. Vielleicht kann mir jemand erklären, wie ich vorgehen muss und was mir die Angaben wirklich sagen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:57 So 23.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei f2 sind die Unstetigkeitsstellen nicht in der Def.
bei f1 musst du x von links und rechts gegen 0 gehen lassen, wohin strebt denn dan jeweils f1?
bei f2 an den 2 Unstetigkeitsstellen ebenfalls,
bei f3 kannst du bei einer Stelle (x=2) kürzen,und dann den GW bestimmen, bie der anderen ist es ähnlich wie bei f1, nähere dich -5 von links und rechts, dabei kannst du natürlich hier sowiedo durch x-2 kürzen.
Schreib auf, was du raushast und es wird sicher jemand ansehen.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:07 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Klempner |
So, habe ein bisschen herumgerechnet...
zu a.) Die Unstetigkeitsstelle ist hier bei 0. Kann ich das auf irgendeine Weise richtig begründen, oder reicht das, wenn man das rein aus Logik macht? Gerechnet habe ich nämlich nichts.
Habe dann die Grenzwerte gebildet:
[mm] \limes_{x\rightarrow\0^+} \bruch{2}{x}= -\infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\0^-} \bruch{2}{x}= +\infty
[/mm]
Auch das hab ich rein logisch aufgestellt. Kann man das auch mehr rechnerisch begründen? Weiß nur nicht, wie ich den Bruch erweitern könnte, sodass das x aus dem Nenner fällt.
Stimmt das so?
zu b.)
Unstetig sind die Stellen, wo die Signumfunktion Sprünge macht. Das wäre ja eigentlich nur bei 0 der Fall. Der Cosinus ist bei [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] 0. Also sind die Unstetigkeits stellen bei [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] und [mm] \bruch{3}{2} \pi.
[/mm]
Die Grenzwerte kann ich nicht wirklich bilden, weil ich nicht weiß, wie ich das rechnerisch zeigen soll?! Hoffe jemand weiß das...
zuc.)
Unstetigkeit bei 2 und -5.
auch hier logisch und nicht rechnerisch begründet. reicht das?
grenzwert bei 2 ist [mm] \bruch{-5}{7}. [/mm] richtig?
grenzwert bei [mm] \limes_{x\rightarrow\-5^+}=+\infty
[/mm]
grenzwert bei [mm] \limes_{x\rightarrow\-5^-}=-\infty
[/mm]
ich habe hier den bruch [mm] \bruch{(x-7)}{(x+5)} [/mm] auch nicht weiter bearbeitet, sondern bin auch nur aus Logik auf das Ergebnis gekommen. Weiß jemand, wie ich das rechnerisch noch nachvollziehen kann?
zu d.)
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{(x-7)}{(x+5)} [/mm] = [mm] \bruch{\infty}{\infty}= [/mm] 1
Stimmt das so?
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> So, habe ein bisschen herumgerechnet...
>
> zu a.) $ [mm] f_{1}: \IR \to \IR, D(f_{1})=\IR [/mm] $ mit $ [mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{2}{x}, & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 0 } \\ 0, & \mbox{für } \mbox{ x=0} \end{cases} [/mm] $
Hallo,
zunächst wollen wir einmal feststellen, daß die Einschränkung [mm] g_1:=\bruch{2}{x} [/mm] der Funktion [mm] f_1 [/mm] auf den Definitionsbereich [mm] \IR \\{0\} [/mm] stetig ist. (Warum eigentlich?)
Zu untersuchen ist hier lediglich die Stelle x=0.
> Die Unstetigkeitsstelle ist hier bei 0. Kann ich das
> auf irgendeine Weise richtig begründen,
Ja. Wir sind ja kein esoterischer Zirkel hier, sondern betreiben Mathematik. Oder versuchen es.
> oder reicht das,
> wenn man das rein aus Logik macht? Gerechnet habe ich
> nämlich nichts.
> Habe dann die Grenzwerte gebildet:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0^+} \bruch{2}{x}= -\infty[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0^-} \bruch{2}{x}= +\infty[/mm]
Genau andersrum. Oder ich versteh gerade Deine Schreibweise nicht.
Es ist auch für das, was wir herausfinden sollen, fast egal...
Stetigkeit: eine Funktion ist stetig an der Stelle a, wenn der Grenzwert [mm] \lim_{x\to a}f(x) [/mm] existiert und wenn gleichzeitig gilt [mm] \lim_{x\to a}f(x)=f(a), [/mm] wenn der Grenzwert also der Funktionswert ist.
Nun solltest Du sagen können, warum [mm] f_1 [/mm] an der Stelle x=0 nicht stetig ist.
>
> zu b.) $ [mm] f_{2}: \IR \to \IR, D(f_{2})=[0,2\pi] [/mm] $ mit $ [mm] f_{2}(x)= [/mm] $ sgn(cos(x)).
>
Ich muß mir das ganz in Ruhe abschnittweise aufschreiben, sonst bekomme ich keinen Überblick.
[mm] f_{2}(x)= sgn(cos(x))=\begin{cases} 1, & \mbox{für } 0\le x<\bruch{\pi}{2}\\0 , & \mbox{für } x=\bruch{\pi}{2}\\-1, & \mbox{für } \bruch{\pi}{2}
.
> Der
> Cosinus ist bei [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] 0. Also sind die
> Unstetigkeits stellen bei [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] und [mm]\bruch{3}{2} \pi.[/mm]
Ja.
Auf den 3 Teilintervallen ist die Funktion stetig, und kritisch sind nur die von Dir genannten "Nahtstellen".
>
> Die Grenzwerte kann ich nicht wirklich bilden, weil ich
> nicht weiß, wie ich das rechnerisch zeigen soll?! Hoffe
> jemand weiß das...
An der Stelle [mm] x=\bruch{\pi}{2} [/mm] ist der Grenzwert von links =1, der von rechts=-1.
Gibt es also einen Grenzwert ander Stelle [mm] x=\bruch{\pi}{2}? [/mm]
Und wenn es einen gibt: ist er gleich dem Funktionswert?
Die andere Stelle entsprechend.
>
> zu c.) $ [mm] f_{3}: \IR \to \IR, D(f_{3})=\IR [/mm] $ mit $ [mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{x^2-9x+14}{x^2+3x-10}, & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 2, x ungleich -5 } \\ 0, & \mbox{für } \mbox{ x=2, x=-5} \end{cases} [/mm] $
> Unstetigkeit bei 2 und -5.
> auch hier logisch und nicht rechnerisch begründet. reicht
> das?
Kommt darauf an, was man mit "logisch" im einzelnen meint...
Aber Du rechnest doch: Du berechnest Grenzwerte.
> grenzwert bei 2 ist [mm]\bruch{-5}{7}.[/mm] richtig?
Ja. Du solltest halt vorrechnen, wie Du es gefunden hast.
Und ist der Grenzwert an der Stelle x=2 nun gleich dem Funktionswert an dieser Stelle?
Also?
> grenzwert bei [mm]\limes_{x\rightarrow\-5^+}=+\infty[/mm]
> grenzwert bei [mm]\limes_{x\rightarrow\-5^-}=-\infty[/mm]
Auch hier hätte ich das wieder andersrum, aber ich glaube, es liegt nur daran, was Du mit den [mm] \pm [/mm] meinst und was ich.
Prinzipiell sind wir uns einig.
Und? Gibt es an der Stelle x=-5 einen Grenzwert?
Wenn ja: ist er gleich dem Funktionswert?
> ich habe hier den bruch [mm]\bruch{(x-7)}{(x+5)}[/mm] auch nicht
> weiter bearbeitet, sondern bin auch nur aus Logik auf das
> Ergebnis gekommen. Weiß jemand, wie ich das rechnerisch
> noch nachvollziehen kann?
Es reicht normalerweise, wenn Du schreibst [mm] \lim_{x\to -5}f_3(x)=lim_{x\to -5}\bruch{x-7}{x+5}= \infty, [/mm] denn [mm] (x-7)\to [/mm] -5, [mm] (x+5)\to [/mm] 0.
>
> zu d.)
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{(x-7)}{(x+5)}[/mm] =
> [mm]\bruch{\infty}{\infty}=[/mm] 1
>
> Stimmt das so?
Ja, aber ich würde das ausführlicher schreiben unter Verwendung von [mm] \bruch{(x-7)}{(x+5)}=\bruch{(x+5-12)}{(x+5)}=1+\bruch{(-12)}{(x+5)}.
[/mm]
So sieht man nämlich, wie man darauf kommt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:44 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Klempner |
Vielen lieben Dank, ihr habt mir wirklich sehr geholfen und habe wirklich das GEfühl alles besser verstanden zu haben. Danke!
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