Untere Grenze unbekannt < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hey Leute!
Bin eben grad auf euer tolles Forum gestoßen, und da wir morgen eine Klausur schreiben und Ich eine Frage immernoch nicht klären konnte, hoffe Ich das mir irgendjemand schnell dabei helfen kann.
Es geht um Aufgaben, bei denen die Untere Grenze unbekannt ist. Wenn dies der Fall ist, und die Aufgabenstellung mir aufgibt genau diese Unbekannte Grenze zu errechnen, wie mache Ich das dann? Ich habe hier mal eine Beispielaufgabe aus meinem Mathebuch (S.36 Nr.3c):
[mm] \integral_{a}^{4} [/mm] {t²-4 dx} = 9
Eine Schulkollegin meinte, man müsste dieses Problem irgendwie mit der pq-Formel angehen, aber Ich habe keinen Schimmer wie. Hoffe mir kann jemand helfen! Danke schonmal :)
Lg, Nils
PS: Irgendwie hab Ich noch nicht ganz raus wie Ich diese Aufgabe richtig als ganze Grafik darstellen kann mit dem Code.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Halli hallo!
> [mm]\integral_{a}^{4}[/mm] {t²-4 dx} = 9
Also im Prinzip ist es gar nicht so schwer!
Als erstes mußt du wissen, dass gilt:
[mm] \integral_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)
[/mm]
D.h. du bildest die Stammfunktion deiner Funktion f(x)! Dann setzt du die Grenzen in diese ein, also in deinem Fall für b die 4 und a bleibt a.
Nun hast du eine Gleichung mit einer Unbekannten, und kannst diese nach a auflösen! In deinem obigen Beispiel kommt am Ende tatsächlich die pg-Formel ins Spiel!
Aber versuch es doch erstmal selbst hinzubekommen!
Wenn du hängenbleibst, schreib einfach wo es hakt und wir helfen dir weiter!
Liebe Grüße
Ulrike
|
|
|
| |
|
Also. Ich hab prinzipiell dieselbe Überlegung gemacht, die du mir eben geposted hast. Mein Problem ist, dass beim Aufleiten doch eine weitere Unbekannte entsteht !
Die Ableitung von:
[mm] \integral_{a}^{4} [/mm] {t² - 4 dx}
ist doch:
F(x)= [mm]\bruch{1}{3}[/mm][mm]t^{3}[/mm] - 4x
Wenn Ich nun F(b) - F(a) anwende, erhalte Ich doch zwangsläufig diese Form:
([mm]\bruch{1}{3}[/mm][mm]4^{3}[/mm]- 4x) - ([mm]\bruch{1}{3}[/mm][mm]4^{a}[/mm]- 4x)
Dadurch hab Ich eine Rechnung mit 2 Unbekannten b und a. Wie löse Ich die denn auf?
|
|
|
| |
|
Ups, hab wohl eben das falsche angewählt *g* Sollte eigentlich ein Frageartikel sein.
Also, wie löse Ich die Rechnung mit den 2 Unbekannten dann weiter auf?
|
|
|
| |
|
Hallo Nils!
Stimmt, da hab ich was übersehen!
Also, irgendwo steckt da ein fehler in deiner Funktion!
Angenommen wir haben die Funktion [mm] t^{2}-4
[/mm]
Also entweder du leitest nach x auf, und erhälst [mm] t^{2}x-4x
[/mm]
oder aber nach t, dann erhälst du [mm] \bruch{1}{3}t^{3}-4t
[/mm]
Du hast da ein bißchen was durcheinander gebracht 
Somit hast du nun nämlich nur eine Unbekannte!
Ich weiß auch nicht recht was nun stimmt, da müßtest du nochmal in deinem Buch nachschauen, wie das Integral nun aussieht!
Liebe Grüße
Ulrike
|
|
|
| |
|
Uhhhh, Ich bin soooo dämlich. Was'n bekloppter Flüchtigkeitsfehler. Deine 2.te Lösung mit nur einer Unbekannten trifft zu. Ich hab übersehen, dass das Integral im Buch eigentlich so lautet:
[mm] \integral_{a}^{4} [/mm] {t²-4 dt}
Demnach is die Aufleitung nach t richtig, wobei Ich dann natürlich 4t hab und nich etwa 4x. Ich Trottel *gg* Ich denke jetzt krieg Ich's hin. Ich poste die Antwort + Rechenweg sobald Ich's aufm Zettel hinbekommen hab. Dasselbe funktioniert ja, nur für den Fall das mein Lehrer so tricky is, sicher auch mit der oberen Grenze.
Danke erstmal !!!
Lg Nils
PS: Wie gesagt, der (hoffentlich) richtige Rechenweg und die Lösung folgen noch.
|
|
|
| |
|
So, Ich denke Ich hab das ganze erfolgreich berechnet, aber Ich bekomme nicht das richtige Ergebnis (Ist im Buch vorgegeben). Hier mal meine Rechnung:
[mm] \integral_{a}^{4} [/mm] {t²-4 dt} = 9
Demnach ist: f(x)=t²-4
Und die Stammfunktion: F(x)=[mm]\bruch{1}{3}[/mm][mm] t^{3} [/mm] - 4t
So, Ich rechne also erstmal die untere Grenze a aus:
F(b) - F(a) = 9
([mm]\bruch{1}{3}[/mm][mm] 4^{3} [/mm] - 4*4) - ([mm]\bruch{1}{3}[/mm][mm] a^{3} [/mm] - 4*a) = 0
Jetzt löse Ich den ganzen Kram also weiter auf. (Ich hoffe Ich erinnere mich richtig und ich setz jetzt bei den Stammfunktionen statt meinen t's wirklich die Grenzen ein!)
([mm]\bruch{64}{3}[/mm]-16) - (3[mm]\bruch{2}{3}[/mm]a - 4a) = 0
(5[mm]\bruch{1}{3}[/mm]) - (3[mm]\bruch{2}{3}[/mm]a) = 0 | + 3[mm]\bruch{2}{3}[/mm]a
5[mm]\bruch{1}{3}[/mm] = 3[mm]\bruch{2}{3}[/mm]a | : 3[mm]\bruch{2}{3}[/mm]a
1[mm]\bruch{5}{11}[/mm] = a
Aber diese Lösung stimmt nicht. Denn bei dem gesamten soll ja 9 herauskommen. Irgendwo ist noch ein Fehler. Aber wo?
|
|
|
| |
|
Hallo Nils!
du hast dich verrechnet beim einsetzen der Grenze a! Es muß heißen
([mm]\bruch{64}{3}[/mm]-16) - [mm] (\bruch{1}{3}a^{3} [/mm] - 4a) = 9
Liebe Grüße
Ulrike
|
|
|
| |
|
([mm]\bruch{64}{3}[/mm] - 16) - ([mm]\bruch{1}{3}[/mm][mm] a^{3} [/mm] - 4a) = 9
Jetzt hab Ich eine schicke kubische Funktion, die Ich aber leider nicht weiter auflösen kann, da Ich keinen Plan hab, wie man eine kubische Funktion ableitet. Ich hab zwar eben wild rumprobiert, wie man das mit n-ten Wurzeln lösen könnte, aber das klappt im Endeffekt auch nicht. Ich würde mal ganz schwer vermuten, dass hier die bereits erwähnt pq-Formel benutzt werden muss, aber wie?
|
|
|
| |
|
Hallo Nils!
> ([mm]\bruch{64}{3}[/mm] - 16) - ([mm]\bruch{1}{3}[/mm][mm] a^{3}[/mm] - 4a) = 9
Als erstes solltest du diese Gleichung mal zu Ende umformen, alles nach links bringen, sowie alle Zahlen (also alles was kein a enthält) addieren bzw. subtrahieren!
Nun hast du eine Funktion dritten Grades!
Hier mußt du zunächst eine Nullstelle "raten" (kleiner Tip: die Nullstelle muß die Zahl (also die ohne a) des Polynoms teilen - das schränkt die Zahl der Möglichkeiten ein wenig ein)
Danach mußt du eine Polynomdivision durchführen (ich hoffe das hattet ihr schon)
Danach hast du nun eine Funktion zweiten Grades, auf die du die pq-Formel anwenden kannst!
Liebe Grüße
Ulrike
|
|
|
| |
|
Hey Ulrike :)
Also, das wir die Polynomdivision schon mal gemacht haben weiß Ich. Allerdings war das nicht im Matheunterricht. Wir haben damals zwecks dessen das wir das Newton-Verfahren in Informatik lernen sollten, einen Crashkurs in Polynomdivision bekommen, an den Ich mich nur noch ganz vage erinnere. Daher hab Ich keinen Plan wie Ich das lösen soll. Ich bin auch fast davon überzeugt, dass es eine einfachere Methode geben muss diese Aufgabe zu lösen, denn, unser Lehrer hätte uns sicherlich keine Aufgabe gegeben, die Wissen verlangt das wir nicht haben. Ausserdem wird die Polynomdivision im Buch selbst auch nie erwähnt, bzw. erst seeeehr viel später bei einem ganz anderen Kapitel der Mathematik. Gibt es wirklich keine andere Möglichkeit das zu lösen? Falls nein, wärst du evtl. so lieb, mir hierher zu posten wie Ich die Aufgabe mit der Polynomdivision löse und evtl. dazu nen kleinen Crashkurs wie selbige funktioniert? Ich bin übrigens grad auf diese Form hier gelangt (nach addieren, subtrahieren, etc.):
[mm]a^{3}[/mm] + a = -9
bzw.
[mm]a^{3}[/mm] + a + 9 = 0 (für die Polynomdivision?!)
|
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Polynomdivision
PQFormel