Untergr. mit Ord Primteiler < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei G eine kommutative Gruppe mit [mm] ord(G)=\produkt_{i\in n}p_{i} [/mm] wobei [mm] p_{i}\in \IN [/mm] prim [mm] \forall i\in [/mm] n
Zeige: [mm] \forall i\in [/mm] n [mm] \exists \underbrace{H_{i}\subset G}_{Untergruppe}: ord(H_{i})=p_{i}
[/mm]
Hinw.: Wähle [mm] g\in G\backslash\{e\}. [/mm] Falls [mm] p_{i}\not|ord(G) [/mm] betrachte G/<g> |
Heyho!
Gilt p|ord(g), gibts nen Element mit ord(h)=p, also auch ne Untergruppe.
Wenn das aber nicht so ist...
Irgendwie kann ich mit dem Hinweis nichts anfangen...
Ich verstehe es nicht wirklich. Ich hab da wohl noch was zu gefunden.
Aus dem Satz von Lagrange folgt ja p|ord(G/<g>) und ord(G/<g>)<ord(G)
[mm] H_{1}:=G/ [/mm]
[mm] H_{i+1}:=G/H_{i} [/mm] (geht das überhaupt???)
Wie ich es jetzt weiter verstanden habe, soll man rekursiv vorgehen bis [mm] ord(H_{k})=p
[/mm]
Dann hat jedes Element die a Ordnung p. Dann steht da noch:
[mm] \exists g^{*}\in [/mm] G mit [mm] a=g^{*}*
[/mm]
[mm] \gdw a^{p}=(g^{*})^{p}*=e*
[/mm]
[mm] \Rightarrow \exists k\in \IN [/mm] mit [mm] g^{k}=(g^{*})^{p} [/mm] qed (warum ist es hier jetzt bewiesen???)
Ich kann damit nichts anfangen...
Aber ich habe noch eine alternative Möglichkeit gefunden, die mit dem Exponenten einer Gruppe arbeitet. [mm] exp(G):=min\{n\in \IN|x^{n}=e \forall x\in G\}
[/mm]
Jetzt soll gelten [mm] ord(G)|(exp(G))^{n} [/mm] für ein [mm] n\in \IN
[/mm]
[mm] \Rightarrow p|exp(G)=kgV(ord(g),g\in [/mm] G)
[mm] \Rightarrow \exists g\in [/mm] G mit p|ord(g)
... qed
Aber mir ist jetzt nicht offensichtlich, warum dabei die ganzen Folgerungen gelten...
Vielleicht ist es aber einfacher als die andere Methode???
Möge man sich entscheiden, was wohl einfacher ist.
Grüße
icarus89
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Do 06.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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