Untergruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:37 Mi 31.10.2012 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | Sei G eine beliebige Gruppe. Zeige oder überprüfe.
a) Wenn G Untergruppen [mm] H_1 [/mm] und [mm] H_2 [/mm] hat mit der Eigenschaft [mm] H_2 \subset H_1 \subset [/mm] G, dann ist auch [mm] H_2 [/mm] Untergruppe von [mm] H_1. [/mm]
b) Wenn [mm] H_1 [/mm] eine Untergruppe von G und [mm] H_2 [/mm] eine Untergruppe von [mm] H_1 [/mm] ist, dann ist auch [mm] H_2 [/mm] eine Untergruppe von G. |
Hallo,
wie gehe ich am besten vor um die beiden Aussagen zu beweisen? Helfen hier die Unterraumkriterien weiter (nicht-leer, abgeschlossen, Inverses)?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:54 Mi 31.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei G eine beliebige Gruppe. Zeige oder überprüfe.
> a) Wenn G Untergruppen [mm]H_1[/mm] und [mm]H_2[/mm] hat mit der Eigenschaft
> [mm]H_2 \subset H_1 \subset[/mm] G, dann ist auch [mm]H_2[/mm] Untergruppe
> von [mm]H_1.[/mm]
>
> b) Wenn [mm]H_1[/mm] eine Untergruppe von G und [mm]H_2[/mm] eine Untergruppe
> von [mm]H_1[/mm] ist, dann ist auch [mm]H_2[/mm] eine Untergruppe von G.
> Hallo,
>
> wie gehe ich am besten vor um die beiden Aussagen zu
> beweisen?
> Helfen hier die Unterraumkriterien
Du meinst siche "Untergruppenkriterien"
> weiter
> (nicht-leer, abgeschlossen, Inverses)?
Na klar helfen die.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Mi 31.10.2012 | | Autor: | Trikolon |
Klar, meinte natürlich das UnterGRUPPENkriterium
Naja, die erste Bedingung, dass [mm] H_2 [/mm] nicht-leer ist, folgt ja schon daraus, dass [mm] H_2 [/mm] ja auch Untergruppe von G ist und somit nicht-leer sein kann.
Mir ist aber nicht klar, wie ich die beiden anderen Bedingungen, also wenn h [mm] \in H_2 [/mm] ist, dann ist auch [mm] h^{-1} \in H_2 [/mm] und für h, k [mm] \in H_2 [/mm] , h*k [mm] \in H_2, [/mm] formal richtig beweisen soll...
Für Ansätze wäre ich dankbar...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:37 Mi 31.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Trikolon,
du bist also gerade bei Teil a)?
> Naja, die erste Bedingung, dass [mm]H_2[/mm] nicht-leer ist, folgt
> ja schon daraus, dass [mm]H_2[/mm] ja auch Untergruppe von G ist und
> somit nicht-leer sein kann muss.
Genau! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Mir ist aber nicht klar, wie ich die beiden anderen
> Bedingungen, also wenn h [mm]\in H_2[/mm] ist, dann ist auch [mm]h^{-1} \in H_2[/mm]
> und für h, k [mm]\in H_2[/mm] , h*k [mm]\in H_2,[/mm] formal richtig
> beweisen soll...
>
> Für Ansätze wäre ich dankbar...
Fangen wir mit der Abgeschlossenheit von [mm] $H_2$ [/mm] unter der Multiplikation von $*$ von [mm] $H_1$ [/mm] an: Das Wichtigste ist, sich klarzumachen, was $h*k$ eigentlich meint.
Wenn du zeigen willst, dass [mm] $H_2$ [/mm] Untergruppe von [mm] $H_1$ [/mm] ist, muss $*$ die Gruppenverknüpfung von [mm] $H_1$ [/mm] bezeichnen. Nennen wir zur Unterscheidung davon die Gruppenverknüpfung von G mal [mm] $\circ$.
[/mm]
Also [mm] $\circ\colon G\times G\to [/mm] G$ und [mm] $*\colon H_1\times H_1\to H_1$.
[/mm]
Die gute Nachricht: Die Verknüpfung $*$ ist nichts anderes als die Einschränkung der Verknüpfung [mm] $\circ$ [/mm] auf [mm] $H_1\times H_1$. [/mm] Es gilt also
[mm] $h*k=h\circ [/mm] k$ für alle [mm] $h,k\in H_1$.
[/mm]
Da [mm] $H_2$ [/mm] Untergruppe von [mm] $H_1$ [/mm] ist, gilt für alle [mm] $h,k\in H_2$ [/mm] auch [mm] $h\circ k\in H_2$. [/mm] Wegen [mm] $h*k=h\circ [/mm] k$ haben wir somit wie gewünscht [mm] $h*k\in H_2$ [/mm] für alle [mm] $h,k\in H_2$.
[/mm]
Die Abgeschlossenheit von [mm] $H_2$ [/mm] unter Inversenbildung in [mm] $H_1$ [/mm] geht ähnlich: Man hat bereits die Abgeschlossenheit von [mm] $H_2$ [/mm] unter Inversenbildung in G. Nutze nun, dass das Inverse von [mm] $h\in H_1$ [/mm] in [mm] $(H_1,*)$ [/mm] nichts anderes als das Inverse von $h$ in [mm] $(G,\circ)$ [/mm] ist.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 Fr 02.11.2012 | | Autor: | Trikolon |
Gut, also Teil a) ist mir jetzt klar. Bei b) hänge ich aber noch:
Es ist n.N. [mm] H_1 [/mm] UG von G und [mm] H_2 [/mm] UG von [mm] H_1.
[/mm]
z.z.: [mm] H_2 [/mm] UG von G.
a) [mm] H_2 [/mm] muss nicht-leer sein, da [mm] H_2 [/mm] UG von [mm] H_1 [/mm] ist
b) Abgeschlossenheit von [mm] H_2 [/mm] unter der Verknüpfung [mm] \circ [/mm] von G.
Da [mm] H_1 [/mm] UG von G ist, gilt für alle h,k [mm] \in H_1: [/mm] h [mm] \circ [/mm] k [mm] \in H_1
[/mm]
Da [mm] H_2 [/mm] UG von [mm] H_1 [/mm] ist, gilt für alle m,n [mm] \in H_2: [/mm] h * k [mm] \in H_2
[/mm]
Demzufolge muss für alle m,n [mm] \in H_2 [/mm] gelten: h [mm] \circ \in H_2.
[/mm]
Da * die Einschränkung der Verknüpfung [mm] \circ [/mm] auf [mm] H_1 [/mm] x [mm] H_1 [/mm] ist.
c) z.z.: Wenn k [mm] \in H_2, [/mm] so ist auch [mm] k^{-1} \in H_2.
[/mm]
Abgeschlossenheit von [mm] H_2 [/mm] unter der der Inversenbildung in G.
Das Inverse von h [mm] \in H_1 [/mm] in [mm] (H_1, [/mm] *) ist nichts anderes, als das Inverse von h in (G, [mm] \circ [/mm] )
Da [mm] H_2 [/mm] UG von [mm] H_1 [/mm] ist, gilt für alle k [mm] \in H_2, [/mm] dass auch [mm] k^{-1} \in H_2 [/mm] ist unter der Inversenbildung von [mm] H_1, [/mm] da aber * die Einschränkung der Verknüpfung [mm] \circ [/mm] auf [mm] H_1 [/mm] x [mm] H_1 [/mm] ist, ist auch die Abgeschlossenheit von [mm] H_2 [/mm] unter der Inversenbildung von G gewährleistet.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 Fr 02.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Bei b) hänge ich
> aber noch:
>
> Es ist n.N. [mm]H_1[/mm] UG von G und [mm]H_2[/mm] UG von [mm]H_1.[/mm]
>
> z.z.: [mm]H_2[/mm] UG von G.
>
> a) [mm]H_2[/mm] muss nicht-leer sein, da [mm]H_2[/mm] UG von [mm]H_1[/mm] ist
> b) Abgeschlossenheit von [mm]H_2[/mm] unter der Verknüpfung [mm]\circ[/mm]
> von G.
> Da [mm]H_1[/mm] UG von G ist, gilt für alle h,k [mm]\in H_1:[/mm] h [mm]\circ[/mm] k
> [mm]\in H_1[/mm]
> Da [mm]H_2[/mm] UG von [mm]H_1[/mm] ist, gilt für alle m,n [mm]\in H_2:[/mm]
> h * k [mm]\in H_2[/mm]
> Demzufolge muss für alle m,n [mm]\in H_2[/mm]
> gelten: h [mm]\circ \in H_2.[/mm]
> Da * die Einschränkung der
> Verknüpfung [mm]\circ[/mm] auf [mm]H_1[/mm] x [mm]H_1[/mm] ist.
>
> c) z.z.: Wenn k [mm]\in H_2,[/mm] so ist auch [mm]k^{-1} \in H_2.[/mm]
>
> Abgeschlossenheit von [mm]H_2[/mm] unter der der Inversenbildung in
> G.
> Das Inverse von h [mm]\in H_1[/mm] in [mm](H_1,[/mm] *) ist nichts anderes,
> als das Inverse von h in (G, [mm]\circ[/mm] )
> Da [mm]H_2[/mm] UG von [mm]H_1[/mm] ist, gilt für alle k [mm]\in H_2,[/mm] dass auch
> [mm]k^{-1} \in H_2[/mm] ist unter der Inversenbildung von [mm]H_1,[/mm] da
> aber * die Einschränkung der Verknüpfung [mm]\circ[/mm] auf [mm]H_1[/mm] x
> [mm]H_1[/mm] ist, ist auch die Abgeschlossenheit von [mm]H_2[/mm] unter der
> Inversenbildung von G gewährleistet.
Ich glaube, du meinst das Richtige!
Ich würde es folgendermaßen aufschreiben:
b) Seien [mm] $h,k\in H_2$. [/mm] Da [mm] $H_2$ [/mm] Untergruppe von [mm] $H_1$ [/mm] ist, folgt [mm] $h*k\in H_2$. [/mm] Wegen [mm] $h*k=h\circ [/mm] k$ somit [mm] $h\circ k\in H_2$.
[/mm]
c) Sei [mm] $k\in H_2$. [/mm] Bezeichne [mm] $\overline{k}$ [/mm] das Inverse von $k$ in [mm] $(H_1,*)$ [/mm] und [mm] $k^{-1}$ [/mm] das Inverse von $k$ in [mm] $(G,\circ)$. [/mm] Da [mm] $H_2$ [/mm] Untergruppe von [mm] $H_1$ [/mm] ist, gilt [mm] $\overline{k}\in H_2$. [/mm] Wegen [mm] $\overline{k}=k^{-1}$ [/mm] somit [mm] $k^{-1}\in H_2$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Fr 02.11.2012 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | | Gilt Analoges auch für Normalteiler? |
Ok, danke für die schnelle Antwort.
Wie ihr oben lesen könnte, geht die Aufgabe noch weiter...
Also nochmal konkret:
c) Wenn G Normalteiler [mm] N_1 [/mm] und [mm] N_2 [/mm] mit der Eigenschaft [mm] N_2 \subset N_1 \subset [/mm] G hat, dann ist auch [mm] N_2 [/mm] Normalteiler von [mm] N_1.
[/mm]
d)Wenn [mm] N_1 [/mm] Normalteiler von G und [mm] N_2 [/mm] Normalteiler von [mm] N_1 [/mm] ist, dann ist auch [mm] N_2 [/mm] Normalteiler von G.
Also z.B. [mm] N_2= [/mm] { id, (12)(34) } ist Normalteiler von [mm] N_1= [/mm] { id, (12)(34), (13)(24), (14)(23) } und [mm] N_1 [/mm] ist Normalteiler von [mm] G=A_4 [/mm] (alternierende Gruppe). Jetzt müsste ich für d) quasi prüfen, ob [mm] N_2 [/mm] Normalteiler von G ist, oder? Und das ist doch nicht der fall, oder?
Bei c) fällt mir ehrlich gesagt kein Gegenbeispiel ein, aber ich würde behaupten, dass das nicht gilt...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 Fr 02.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Also z.B. [mm]N_2=[/mm] { id, (12)(34) } ist Normalteiler von [mm]N_1=[/mm] {
> id, (12)(34), (13)(24), (14)(23) } und [mm]N_1[/mm] ist Normalteiler
> von [mm]G=A_4[/mm] (alternierende Gruppe). Jetzt müsste ich für d)
> quasi prüfen, ob [mm]N_2[/mm] Normalteiler von G ist, oder? Und das
> ist doch nicht der fall, oder?
Sehr schön! Tue genau das!
> Bei c) fällt mir ehrlich gesagt kein Gegenbeispiel ein,
> aber ich würde behaupten, dass das nicht gilt...
Doch. Prüfe direkt mit der Definition oder einer Charakterisierung eines Normalteilers nach, dass [mm] $N_2$ [/mm] als Normalteiler von G insbesondere Normalteiler von [mm] $N_1$ [/mm] ist. Dass [mm] $N_1$ [/mm] Normalteiler und nicht nur Untergruppe von G ist, benötigst du hier gar nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 So 04.11.2012 | | Autor: | Trikolon |
Also ich finde bei c) irgendwie kein gegenbeispiel , um die Aussage zu widerlegen. Beu mir ist U Normalteiler von [mm] A_4, [/mm] aber das kann ja nicht sein...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 So 04.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Also ich finde bei c) irgendwie kein gegenbeispiel , um die
> Aussage zu widerlegen. Beu mir ist U Normalteiler von [mm]A_4,[/mm]
> aber das kann ja nicht sein...
Sorry, falls ich das missverständlich ausgedrückt habe:
Die Aussage unter c) stimmt. Du kannst also gar kein Gegenbeispiel finden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 So 04.11.2012 | | Autor: | Trikolon |
Oh, sorry! Meinte natürlich d)!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 So 04.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Oh, sorry! Meinte natürlich d)!
Da hattest du doch schon ein Gegenbeispiel. Woran hakts?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 So 04.11.2012 | | Autor: | Trikolon |
Naja, bei dem gegebenen Beispiel finde ich keine Transposition, sodass ich zeigen kann , dass [mm] xux^{-1} \in [/mm] U ist mit [mm] X=A_4
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 So 04.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Naja, bei dem gegebenen Beispiel finde ich keine
> Transposition, sodass ich zeigen kann , dass [mm]xux^{-1} \in[/mm] U
> ist mit [mm]X=A_4[/mm]
Ich bin mir nicht sicher, ob ich richtig verstehe, wobei du gerade bist.
Du möchtest zeigen, dass [mm] $N_2=\{id,(12)(34)\}$ [/mm] kein Normalteiler von [mm] $G=A_4$ [/mm] ist?
Betrachte z.B. [mm] $u:=(12)(34)\in N_2$ [/mm] und [mm] $x:=(123)\in A_4$ [/mm] und zeige [mm] $xux^{-1}\not\in N_2$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 Mo 05.11.2012 | | Autor: | Trikolon |
Ok, klar, hatte bei d) nur einen Denkfehler.
zu c)die ganz allgemeine Definition ist ja: [mm] aha^{-1} \in [/mm] H fur alle a [mm] \in [/mm] G; h [mm] \in [/mm] H. Wieso folgt die Aussage dann schon direkt aus der Definition?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:57 Di 06.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> zu c)die ganz allgemeine Definition ist ja: [mm]aha^{-1} \in[/mm] H
> fur alle a [mm]\in[/mm] G; h [mm]\in[/mm] H. Wieso folgt die Aussage dann
> schon direkt aus der Definition?
[mm] $N_2$ [/mm] Normalteiler von $G$ bedeutet: [mm] $aha^{-1}\in N_2$ [/mm] für alle [mm] $a\in [/mm] G$, [mm] $h\in N_2$.
[/mm]
(Mit [mm] $aha^{-1}$ [/mm] ist hier Multiplikation und Inversenbildung in G gemeint.)
[mm] $N_2$ [/mm] Normalteiler von [mm] $N_1$ [/mm] bedeutet: [mm] $aha^{-1}\in N_2$ [/mm] für alle [mm] $a\in N_1$, $h\in N_2$.
[/mm]
(Mit [mm] $aha^{-1}$ [/mm] ist hier Multiplikation und Inversenbildung in [mm] $N_1$ [/mm] gemeint, aber dies stimmt mit [mm] $aha^{-1}$ [/mm] im Sinne von G überein.)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:02 Fr 02.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tobi,
> > Bei b) hänge ich
> > aber noch:
> >
> > Es ist n.N. [mm]H_1[/mm] UG von G und [mm]H_2[/mm] UG von [mm]H_1.[/mm]
> >
> > z.z.: [mm]H_2[/mm] UG von G.
> >
> > a) [mm]H_2[/mm] muss nicht-leer sein, da [mm]H_2[/mm] UG von [mm]H_1[/mm] ist
>
>
> > b) Abgeschlossenheit von [mm]H_2[/mm] unter der Verknüpfung [mm]\circ[/mm]
> > von G.
> > Da [mm]H_1[/mm] UG von G ist, gilt für alle h,k [mm]\in H_1:[/mm] h
> [mm]\circ[/mm] k
> > [mm]\in H_1[/mm]
> > Da [mm]H_2[/mm] UG von [mm]H_1[/mm] ist, gilt für alle m,n [mm]\in H_2:[/mm]
> > h * k [mm]\in H_2[/mm]
> > Demzufolge muss für alle m,n [mm]\in H_2[/mm]
> > gelten: h [mm]\circ \in H_2.[/mm]
> > Da * die Einschränkung der
> > Verknüpfung [mm]\circ[/mm] auf [mm]H_1[/mm] x [mm]H_1[/mm] ist.
> >
> > c) z.z.: Wenn k [mm]\in H_2,[/mm] so ist auch [mm]k^{-1} \in H_2.[/mm]
> >
> > Abgeschlossenheit von [mm]H_2[/mm] unter der der Inversenbildung in
> > G.
> > Das Inverse von h [mm]\in H_1[/mm] in [mm](H_1,[/mm] *) ist nichts
> anderes,
> > als das Inverse von h in (G, [mm]\circ[/mm] )
> > Da [mm]H_2[/mm] UG von [mm]H_1[/mm] ist, gilt für alle k [mm]\in H_2,[/mm] dass
> auch
> > [mm]k^{-1} \in H_2[/mm] ist unter der Inversenbildung von [mm]H_1,[/mm] da
> > aber * die Einschränkung der Verknüpfung [mm]\circ[/mm] auf [mm]H_1[/mm] x
> > [mm]H_1[/mm] ist, ist auch die Abgeschlossenheit von [mm]H_2[/mm] unter der
> > Inversenbildung von G gewährleistet.
> Ich glaube, du meinst das Richtige!
>
> Ich würde es folgendermaßen aufschreiben:
>
> b) Seien [mm]h,k\in H_2[/mm]. Da [mm]H_2[/mm] Untergruppe von [mm]H_1[/mm] ist, folgt
> [mm]h*k\in H_2[/mm]. Wegen [mm]h*k=h\circ k[/mm] somit [mm]h\circ k\in H_2[/mm].
>
> c) Sei [mm]k\in H_2[/mm]. Bezeichne [mm]\overline{k}[/mm] das Inverse von [mm]k[/mm]
> in [mm](H_1,*)[/mm] und [mm]k^{-1}[/mm] das Inverse von [mm]k[/mm] in [mm](G,\circ)[/mm]. Da
> [mm]H_2[/mm] Untergruppe von [mm]H_1[/mm] ist, gilt [mm]\overline{k}\in H_2[/mm].
> Wegen [mm]\overline{k}=k^{-1}[/mm]
vielleicht sollte man hier auch noch einmal an die Eindeutigkeit inverser
Elemente erinnern, um diese Gleichheit benutzen zu dürfen!
> somit [mm]k^{-1}\in H_2[/mm].
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 Fr 02.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Marcel,
> > c) Sei [mm]k\in H_2[/mm]. Bezeichne [mm]\overline{k}[/mm] das Inverse von [mm]k[/mm]
> > in [mm](H_1,*)[/mm] und [mm]k^{-1}[/mm] das Inverse von [mm]k[/mm] in [mm](G,\circ)[/mm]. Da
> > [mm]H_2[/mm] Untergruppe von [mm]H_1[/mm] ist, gilt [mm]\overline{k}\in H_2[/mm].
> > Wegen [mm]\overline{k}=k^{-1}[/mm]
>
> vielleicht sollte man hier auch noch einmal an die
> Eindeutigkeit inverser
> Elemente erinnern, um diese Gleichheit benutzen zu
> dürfen!
Naja, eigentlich steckt ja sogar noch etwas mehr Argumentation hinter dieser Gleichheit:
Zunächst muss man sich überlegen, dass die neutralen Elemente [mm] $e_1$ [/mm] von [mm] $H_1$ [/mm] und e von $G$ übereinstimmen. Das lasse ich jetzt mal aus.
[mm] $k^{-1}$ [/mm] liegt in [mm] $H_1$, [/mm] da [mm] $H_1$ [/mm] Untergruppe von G ist. Es gilt [mm] $k^{-1}*k=k^{-1}\circ k=e=e_1$ [/mm] und analog [mm] $k*k^{-1}=e_1$. [/mm] Nach Definition von [mm] $\overline{k}$ [/mm] als das Element [mm] $b\in H_1$ [/mm] mit [mm] $b*k=k*b=e_1$ [/mm] (und diese Definition war nur möglich wegen der von dir zitierten Eindeutigkeit inverser Elemente) gilt also [mm] $\overline{k}=k^{-1}$.
[/mm]
Ich gehe mal davon aus, dass diese ganze Argumentation in der Aufgabe nicht gefordert ist. Eigentlich hat man sich beim Nachweis, dass eine Untergruppe wieder eine Gruppe ist, ja schon diese Gedanken gemacht, wie das neutrale Element und die inversen Elemente in der Untergruppe aussehen.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:55 Fr 02.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tobi,
> Hallo Marcel,
>
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> > > c) Sei [mm]k\in H_2[/mm]. Bezeichne [mm]\overline{k}[/mm] das Inverse von [mm]k[/mm]
> > > in [mm](H_1,*)[/mm] und [mm]k^{-1}[/mm] das Inverse von [mm]k[/mm] in [mm](G,\circ)[/mm]. Da
> > > [mm]H_2[/mm] Untergruppe von [mm]H_1[/mm] ist, gilt [mm]\overline{k}\in H_2[/mm].
> > > Wegen [mm]\overline{k}=k^{-1}[/mm]
> >
> > vielleicht sollte man hier auch noch einmal an die
> > Eindeutigkeit inverser
> > Elemente erinnern, um diese Gleichheit benutzen zu
> > dürfen!
> Naja, eigentlich steckt ja sogar noch etwas mehr
> Argumentation hinter dieser Gleichheit:
>
> Zunächst muss man sich überlegen, dass die neutralen
> Elemente [mm]e_1[/mm] von [mm]H_1[/mm] und e von [mm]G[/mm] übereinstimmen. Das lasse
> ich jetzt mal aus.
ich bin auch schon davon ausgegangen, dass das bekannt ist/sein sollte.
Denn in Gruppen sind neutrale Elemente eindeutig, und eine Untergruppe
ist wieder selbst eine Gruppe. Damit ist man eigentlich fertig (wenn man
sich nochmal das klar macht, was Du auch gesagt hast: die Verknüpfung
auf der Untergruppe ist die Einschränkung...)!
> [mm]k^{-1}[/mm] liegt in [mm]H_1[/mm], da [mm]H_1[/mm] Untergruppe von G ist. Es gilt
> [mm]k^{-1}*k=k^{-1}\circ k=e=e_1[/mm] und analog [mm]k*k^{-1}=e_1[/mm]. Nach
> Definition von [mm]\overline{k}[/mm] als das Element [mm]b\in H_1[/mm] mit
> [mm]b*k=k*b=e_1[/mm] (und diese Definition war nur möglich wegen
> der von dir zitierten Eindeutigkeit inverser Elemente) gilt
> also [mm]\overline{k}=k^{-1}[/mm].
Das ist der eigentliche Punkt - ich habe halt nur "sehr knapp" drauf
aufmerksam machen wollen!
> Ich gehe mal davon aus, dass diese ganze Argumentation in
> der Aufgabe nicht gefordert ist.
Deswegen hätte ich diese kleine Begründung dazugeschrieben, wie ich
sie bei Dir angemerkt habe. Einfach nur, dass jmd., der das liest, weiß, dass
man sich schon entsprechende Gedanken gemacht hat!
> Eigentlich hat man sich
> beim Nachweis, dass eine Untergruppe wieder eine Gruppe
> ist, ja schon diese Gedanken gemacht, wie das neutrale
> Element und die inversen Elemente in der Untergruppe
> aussehen.
Das stimmt. Nichtsdestotrotz: Lieber eine kleine Bemerkung zu viel, als
eine zu wenig. 
Gruß,
Marcel
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