Untergruppe GL(n) < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
ich habe eine kurze Frage, die ich auch nach Recherche nicht beantworten kann.
Und zwar sind zu der allgemeinen linearen Gruppe GL(n) - Menge aller regulären Matrizen - verschiedene Untergruppen geläufig:
SL(n) Spezielle lineare Gruppe: Matrizen mit Determinante 1
O(n) Orthogonale Gruppe: Orthogonale Matrizen mit Determinante +1 oder -1
SO(n) Spezielle Orthogonale Gruppe: Orthogonale Matrizen mit Determinante +1
Ich gehe doch recht in der Annahme, dass
die Matrizen mit Determinante +1 oder -1
auch eine Untergruppe von GL(n) bilden, oder? Hat diese Gruppe einen speziellen Namen oder ist sie so unbrauchbar, dass sie keinen Namen bekommen hat?
Vielen Dank und viele Grüße
Skorpinus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:11 Di 21.01.2014 | | Autor: | hippias |
> Hallo zusammen,
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> ich habe eine kurze Frage, die ich auch nach Recherche
> nicht beantworten kann.
> Und zwar sind zu der allgemeinen linearen Gruppe GL(n) -
> Menge aller regulären Matrizen - verschiedene Untergruppen
> geläufig:
>
> SL(n) Spezielle lineare Gruppe: Matrizen mit Determinante
> 1
> O(n) Orthogonale Gruppe: Orthogonale Matrizen mit
> Determinante +1 oder -1
> SO(n) Spezielle Orthogonale Gruppe: Orthogonale Matrizen
> mit Determinante +1
>
> Ich gehe doch recht in der Annahme, dass
>
> die Matrizen mit Determinante +1 oder -1
>
> auch eine Untergruppe von GL(n) bilden, oder?
Ja, sie bilden eine Gruppe.
> Hat diese
> Gruppe einen speziellen Namen
Meines wissens ist sie nicht benannt...
> oder ist sie so unbrauchbar,
> dass sie keinen Namen bekommen hat?
... aber vielleicht wird sie nach Dir benannt, wenn Du ihren Nutzen aufdeckst.
> Vielen Dank und viele Grüße
> Skorpinus
Es ist ja generell so, dass [mm] $GL_{K}(V)/SL_{K}(V)$ [/mm] isomorph zur multiplikativen Gruppen des Koerpers ist. Man koennte also [mm] $SL_{K}(V)$ [/mm] um jede Untergruppe des Koerpers erweitern, nicht nur [mm] $\{-1,1\}$.
[/mm]
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Hallo,
> Hallo zusammen,
>
> ich habe eine kurze Frage, die ich auch nach Recherche
> nicht beantworten kann.
> Und zwar sind zu der allgemeinen linearen Gruppe GL(n) -
> Menge aller regulären Matrizen - verschiedene Untergruppen
> geläufig:
>
> SL(n) Spezielle lineare Gruppe: Matrizen mit Determinante
> 1
> O(n) Orthogonale Gruppe: Orthogonale Matrizen mit
> Determinante +1 oder -1
> SO(n) Spezielle Orthogonale Gruppe: Orthogonale Matrizen
> mit Determinante +1
>
> Ich gehe doch recht in der Annahme, dass
>
> die Matrizen mit Determinante +1 oder -1
>
> auch eine Untergruppe von GL(n) bilden, oder?
Wie schon gesagt wurde: ja, und man überlegt sich das leicht mit dem Produktsatz für Determinanten.
> Hat diese
> Gruppe einen speziellen Namen oder ist sie so unbrauchbar,
> dass sie keinen Namen bekommen hat?
Nein, aber sie hat vor allem im Fall n=2 eine geometrische Bedeutung: eine 2x2-Matrix mit det=1 ist eine lineare Abbildung mit der zusätzlichen Eigenschaft, dass sie flächentreu ist. Das müsste im Fall det=-1 wenn mich nicht alles täsucht auch noch gelten. Also hätte die Gruppe für den Fall n=2 eben genau diese Bedeutung: es wäre die Menge der flächentreuen linearen* Abbildungen im [mm] \IR^2.
[/mm]
*Was natürlich bedeutet, dass Verschiebungen ausgeschlossen sind, denn der Koordinaatenursprung muss auf sich selbst abgebildet werden. Das relativiert natürlich die geometrische Bedeutung wiederum deutlich.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:53 Do 23.01.2014 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Nein, aber sie hat vor allem im Fall n=2 eine geometrische
> Bedeutung: eine 2x2-Matrix mit det=1 ist eine lineare
> Abbildung mit der zusätzlichen Eigenschaft, dass sie
> flächentreu ist. Das müsste im Fall det=-1 wenn mich
> nicht alles täsucht auch noch gelten.
ja, das gilt.
> Also hätte die
> Gruppe für den Fall n=2 eben genau diese Bedeutung: es
> wäre die Menge der flächentreuen linearen* Abbildungen im
> [mm]\IR^2.[/mm]
Das gilt auch fuer $n [mm] \neq [/mm] 2$; das folgt aus dem allgemeinen ![[]](/images/popup.gif) Transformationssatz fuer Integrale, da die Jacobimatrix einer linearen Abbildung gerade ihrer Darstellungsmatrix entspricht. (Dann spricht man natuerlich nicht mehr von flaechentreu, sondern volumentreu, da es ja um das $n$-dimensionale Volumen geht.)
> *Was natürlich bedeutet, dass Verschiebungen
> ausgeschlossen sind, denn der Koordinaatenursprung muss auf
> sich selbst abgebildet werden. Das relativiert natürlich
> die geometrische Bedeutung wiederum deutlich.
Die allgemeinen affin-linearen flaechentreuen Abbildungen erhaelt man, indem man noch eine Verschiebung hinzuaddiert. (Ebenso fuer alle $n$.) Ganz so stark ist die Einschraenkung also auch wieder nicht 
LG Felix
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