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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:38 So 02.12.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | | Es sei G eine Grupe und H [mm] \le [/mm] G: Beweisen Sie a H [mm] a^{-1} \le [/mm] G und a H [mm] a^{-1} \cong [/mm] H für alle a [mm] \in [/mm] G |
Hallo ihr lieben,
Dachte an eine Abbildung [mm] \phi_a [/mm] : H -> G
h-> a h [mm] a^{-1} [/mm]
Ich komme nicht drauf wie ich das zeigen soll. Helfen hier die Isomorphissätze=? Ich weiß es nicht...
Würd mich über Tipps freuen.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 So 02.12.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es sei G eine Grupe und H [mm]\le[/mm] G: Beweisen Sie a H [mm]a^{-1} \le[/mm]
> G und a H [mm]a^{-1} \cong[/mm] H für alle a [mm]\in[/mm] G
>
> Hallo ihr lieben,
> Dachte an eine Abbildung [mm]\phi_a[/mm] : H -> G
> h-> a h [mm]a^{-1}[/mm]
Ja, die ist hier sehr hilfreich. Weisst du schon, dass es sich hier um einen Gruppenautomorphismus handelt? Wenn nicht, rechne das ruhig nach.
> Ich komme nicht drauf wie ich das zeigen soll. Helfen hier
> die Isomorphissätze=? Ich weiß es nicht...
Nein, die brauchst du hier mal nicht :)
Du brauchst:
* [mm] $\phi_a$ [/mm] ist ein Isomorphismus
* [mm] $\phi_a(H) [/mm] = a H [mm] a^{-1}$
[/mm]
* Bilder von Untergruppen unter Homomorphismen sind wieder Untergruppen
* eine bijektive Abbildung eingeschraenkt auf eine Teilmenge und auf das Bild dieser Teilmenge ist wieder bijektiv.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 So 02.12.2012 | | Autor: | Lu- |
Ja das ist ja ein Innerer Automorphismus..
Zu 1*)
Aber wenn ich die ABbildung [mm] \phi_a [/mm] : H-> G nehme , ist die doch nicht surjektiv oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 So 02.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ja das ist ja ein Innerer Automorphismus..
>
> Zu 1*)
> Aber wenn ich die ABbildung [mm]\phi_a[/mm] : H-> G nehme , ist die
> doch nicht surjektiv oder?
Die Abb. $ [mm] \phi_a [/mm] $ : H -> H
ist surjektiv ! (Und injektiv)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 So 02.12.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo,
Wenn du [mm] \phi_a [/mm] : H-> H
h -> a h [mm] a^{-1} [/mm] für alle a [mm] \in [/mm] G
WIeso ist garantiert dass a h [mm] a^{-1} \in [/mm] H ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 So 02.12.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Wenn du [mm]\phi_a[/mm] : H-> H
Fred meint [mm] "$\phi_a [/mm] : H [mm] \to \phi_a(H)$."
[/mm]
> h -> a h [mm]a^{-1}[/mm] für alle a [mm]\in[/mm] G
> WIeso ist garantiert dass a h [mm]a^{-1} \in[/mm] H ist?
Das ist i.A. nicht.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:26 So 02.12.2012 | | Autor: | Lu- |
Danke..
Kannst du bitte bitte noch meine Ausarbeitung unten anschauen?
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 So 02.12.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo nochmal:
Definiere Abbildung [mm] \phi_a [/mm] : H-> G , h -> [mm] aha^{-1} [/mm]
[mm] \phi_a [/mm] ist ein Homomorphismus
[mm] \phi_a [/mm] (xy)= a x y [mm] a^{-1}= [/mm] (a x [mm] a^{-1})(a [/mm] y [mm] a^{-1}) [/mm] = [mm] \phi_a [/mm] (x) [mm] \phi_a [/mm] (y) , [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] H
nach Konstruktion [mm] \phi_a [/mm] (H)= a H [mm] a^{-1} [/mm]
-> Bilder von Untergruppen unter Homomorphismen sind wieder Untergruppen (in Vo bewiesen)
[mm] \phi_a [/mm] : H-> [mm] Img(\phi_a) [/mm] bijektiv
Inj: a [mm] h_1 a^{-1} [/mm] = a [mm] h_2 a^{-1} [/mm] <=> [mm] h_1 [/mm] = [mm] h_2 [/mm]
Surj: ja wenn ichs aufs bild einschränke
Ich weiß nicht ob ich damit schon gezeigt habe dass a H [mm] a^{-1} [/mm] zu H isomorph ist..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:10 Mo 03.12.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Definiere Abbildung [mm]\phi_a[/mm] : H-> G , h -> [mm]aha^{-1}[/mm]
> [mm]\phi_a[/mm] ist ein Homomorphismus
Jetzt solltes du sowas schreiben wie "Seien $x, y [mm] \in [/mm] H$. Dann gilt".
> [mm]\phi_a[/mm] (xy)= a x y [mm]a^{-1}=[/mm] (a x [mm]a^{-1})(a[/mm] y [mm]a^{-1})[/mm] =
> [mm]\phi_a[/mm] (x) [mm]\phi_a[/mm] (y) ,
Dieses
> [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in[/mm] H
ist strenggenommen falsch. Der Quantor [mm] $\forall$ [/mm] gehoert vor die Aussage, auf die er sich bezieht. Wird leider von sehr vielen Leuten ignoriert...
> nach Konstruktion [mm]\phi_a[/mm] (H)= a H [mm]a^{-1}[/mm]
> -> Bilder von Untergruppen unter Homomorphismen sind wieder
> Untergruppen (in Vo bewiesen)
>
> [mm]\phi_a[/mm] : H-> [mm]Img(\phi_a)[/mm] bijektiv
> Inj:
"Seien [mm] $h_1, h_2 \in [/mm] H$ mit"
> a [mm]h_1 a^{-1}[/mm] = a [mm]h_2 a^{-1}[/mm] <=> [mm]h_1[/mm] = [mm]h_2[/mm]
Eventuell solltest du das [mm] $\Rightarrow$ [/mm] noch etwas begruenden. Dass du das zeigen willst ist offensichtlich, aber tust du es auch wirklich?
> Surj: ja wenn ichs aufs bild einschränke
> Ich weiß nicht ob ich damit schon gezeigt habe dass a H
> [mm]a^{-1}[/mm] zu H isomorph ist..
Nun, du hast einen bijektiven Gruppenhomomorphismus $H [mm] \to [/mm] a H [mm] a^{-1}$. [/mm] So ein Ding nennt sich Isomorphismus. Damit sind $H$ und $a H [mm] a^{-1}$ [/mm] isomorph.
LG Felix
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