Untergruppe der S(p) p Prim < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:19 Fr 24.11.2006 | | Autor: | Kiki3000 |
| Aufgabe | | Sei p eine Primzahl. Bestimmen Sie die Anzahl der Untergruppen U von S(p) mit ord(U)=p. |
Hallihallo!
Ich bin etwas mit dieser Aufgabe überfordert. Ich habe zunächst gedacht, dass ord(S(p))=p, also prim ist, dann wäre es ja einfach, aber dem ist nicht so...
Bekannt ist: ord(S(p))=p! und ord(U)=p.
Also hab ich mir gedacht, man betrachtet mal den Index nach Satz von Lagrange: [S(p) : U] = [mm] \bruch{|S(p)|}{|U|} [/mm] = [mm] \bruch{p!}{p} [/mm] = (p-1)!
Ok, aber was bloß sagt mir das? Nach Wikipedia ist der Index die Mächtigkeit der Links- bzw. Rechtsnebenklassen. Heißt Mächtigkeit soviel, wie Anzahl?? Aber was sagt mir das? Oder kann man das sowieso nicht für die Aufgabe gebrauchen?
Desweiteren frage ich mich, ob man anhand der Ordnung einer symmetrischen Gruppe schon irgendwelche Schlüsse über die Anzahl der Nebenklassen sagen kann... Ich weiß nur, dass wenn ord(S)=p prim ist, dass es dann nur triviale U'Gr gibt U={id} bzw. U=S... Aber sonst? In meinem Fall ist p! ja auf keinen Fall prim (es sei denn p=2).
Wäre super, wenn ihr mir auf irgendeine Weise helfen könntet...
Danke schonmal im Voraus!
Lg Kiki
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:40 So 26.11.2006 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Kiki*!
Nehmen wir erstmal an, daß p ungerade ist. Die U-Gruppen der Ordnung p sind zyklisch und haben p-1 Erzeugende. Also außer der 1 (= neutr. El.) haben alle Elemente die Ordnung p. Wie sehen Permutationen der Ordnung p aus? Das sind Zyklen der Länge p (muß man beweisen oder zitieren). Wie viele gibt es? Ich kann sie alle so hinschreiben, daß die 1 am Anfang steht. Der Rest ist eine Permutation der Länge p-1, daher gibt es (p-1)! davon. Aber jeweils p-1 bilden zusammen mit der Id. eine U-Gruppe der Ordnung p. Das heißt aber, es gibt (p-2)! U-Gruppen der Ordnung p (was übrigens auch bei p = 2 stimmt).
Da (p-2)! [mm] \equiv [/mm] 1 (mod p) ist, paßt das auch mit den Sylow-Sätzen zusammen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:28 So 26.11.2006 | | Autor: | Kiki3000 |
Vielen Dank für deine Tipps! Damit konnte ich meine Aufgabe lösen :)
Lg Kiki
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