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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 Sa 10.11.2007 | | Autor: | easy_f |
| Aufgabe | Eine nichtleere Teilmenge U einer Gruppe [mm] (G,\circ) [/mm] heißt Untergruppe, wenn für alle [mm] a,b\in [/mm] U auch [mm] a\circ [/mm] b und a^(-1) Elemente von U sind.
(a) Beweisen Sie, dass das neutrale Element von G zu jeder Untergruppe gehört. (Bemekung: Damit ist U zusammen mit der Multiplikation [mm] \circ [/mm] aus G selbst eine Gruppe.)
(b) Es sei U:={a+bi | [mm] a,b\in [/mm] Q, a²+b²=1} (das ist die Menge der rationalen Punkte auf dem Einheitskreis in der Gaußschen Zahlenebene). Zeigen Sie, dass U eine Untergtuppe der multiplikativen Gruppe ( C,*) der komplexen Zahlen ist.
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Bei (a) ist ja gegeben [mm] a,b\in [/mm] U sowie [mm] a\circ b\in [/mm] U und a^(-1) [mm] \in [/mm] U , daraus folgt [mm] a\circ [/mm] a^(-1) =e , daraus folgt [mm] e\in [/mm] U. Ist das richtig?
Bei (b) muss ich doch zeigen das [mm] a,b\in [/mm] U auch [mm] a\circ [/mm] b und a^(-1) Elemente von U sind? Kann mir jemand vielleicht verraten, wie ich ansetzten soll?
Danke für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Eine nichtleere Teilmenge U einer Gruppe [mm](G,\circ)[/mm] heißt
> Untergruppe, wenn für alle [mm]a,b\in[/mm] U auch [mm]a\circ[/mm] b und
> a^(-1) Elemente von U sind.
>
> (a) Beweisen Sie, dass das neutrale Element von G zu jeder
> Untergruppe gehört. (Bemekung: Damit ist U zusammen mit der
> Multiplikation [mm]\circ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
aus G selbst eine Gruppe.)
>
> (b) Es sei U:={a+bi | [mm]a,b\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Q, a²+b²=1} (das ist die Menge
> der rationalen Punkte auf dem Einheitskreis in der
> Gaußschen Zahlenebene). Zeigen Sie, dass U eine Untergtuppe
> der multiplikativen Gruppe ( C,*) der komplexen Zahlen
> ist.
>
>
> Bei (a) ist ja gegeben [mm]a,b\in[/mm] U sowie [mm]a\circ b\in[/mm] U und
> a^(-1) [mm]\in[/mm] U , daraus folgt [mm]a\circ[/mm] a^(-1) =e , daraus folgt
> [mm]e\in[/mm] U. Ist das richtig?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Was Du in a) machst, ist nicht so übel - und doch fehlt etwas ganz Wesentliches: woher weiß Du, daß es ein a [mm] \in [/mm] U gibt?
>
> Bei (b) muss ich doch zeigen das [mm]a,b\in[/mm] U auch [mm]a\circ[/mm] b und
> a^(-1) Elemente von U sind? Kann mir jemand vielleicht
> verraten, wie ich ansetzten soll?
Du mußt zeigen, daß, wenn Du zwei Elemente aus U multiplizierst, wieder ein Element aus U herauskommt.
Nimm Dir
[mm] x=x_1+x_2i [/mm] und [mm] y=y_1+y_2i \in [/mm] U her, überlege Dir, was es bedeutet, daß sie in U sind,
multipliziere sie miteinander und prüfe, ob das Ergebis in U liegt.
Ebenso schaust Du, ob Du zu jedem [mm] x=x_1+x_2i \in [/mm] U ein anderes Element aus U findest, so daß das Produkt 1 ergibt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Sa 10.11.2007 | | Autor: | sansia |
| Aufgabe | Es sei U:= {a+bi|a,b Q, a²+b²=1}
Zeigen Sie, dass U eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe [mm] (\IC, [/mm] *) der komplexen Zahlen ist. |
Also ich hab da 2 Punkte genommen:
c := (k,l) => k+li
d:= (m,n) => m+ni für die jeweils die Bedingung k²+l²=1 (bzw. die anderen
Variablen) gilt
Dann hab ich beide multipliziert um z = [(km-ln),(kn+lm)] =>(km-ln)+(kn+lm)i
zu erhalten.
Danach hab ich (km-ln)²+(kn+lm)²=1 gesetzt um diese Bedingung zu überprüfen. Egal was ich mach, es bleiben immer Variablen stehen, ich komm also nicht zu einder definitiv wahren Aussage, was ich ja bräuchte um es zu beweisen. Hab ich nen falschen Ansatz und müsste anderes herangehen? Ich weiß jetzt halt auch net mehr weiter
Danke schon mal für Hilfe
LG sansia
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> Es sei U:= {a+bi|a,b Q, a²+b²=1}
> Zeigen Sie, dass U eine Untergruppe der multiplikativen
> Gruppe [mm](\IC,[/mm] *) der komplexen Zahlen ist.
> Also ich hab da 2 Punkte genommen:
> c := (k,l) => k+li
> d:= (m,n) => m+ni für die jeweils die Bedingung
> k²+l²=1 (bzw. die anderen
> Variablen) gilt
>
> Dann hab ich beide multipliziert um z = [(km-ln),(kn+lm)]
> =>(km-ln)+(kn+lm)i
> zu erhalten.
Hallo,
das hast Du schonmal richtig gemacht.
> Danach hab ich (km-ln)²+(kn+lm)²=1 gesetzt
Das ist verkehrt.
Du darfst das nicht =1 "setzen", sondern Du mußt ausrechnen, ob bei (km-ln)²+(kn+lm)² 1 herauskommt.
Dabei mußt Du beachten, daß c und d aus U sind.
Falls Du nach einiger Rechnerei nicht zum Ziel kommst, kannst Du ja mal vorrechnen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Sa 10.11.2007 | | Autor: | sansia |
Hi, dankeschön erstmal
hatte dann auch beim nochmal durchschauen meiner Rechnung meinen Fehler enddeckt (bei mir ist dann aus (kl)² kl² statt k²l² geworden...) und nun stimmt es auch.
LG sansia
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 So 11.11.2007 | | Autor: | easy_f |
Vielen Dank schon mal für die schnell Beantwortung!
Ist das [mm] a\in [/mm] U nicht in der Aufgabenstellung enthalten, da steht "wenn für alle [mm] a,b\in [/mm] U auch..."? Oder soll ich die Annahme machen, sei [mm] a,b\in [/mm] U...?
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Nein, die Beantwortung ist die kleine Anfangsbemerkung "eine nichtleere Teilmenge".... nur so weisst du, dass überhaupt ein a drinliegt.
Was bringt es dir zu zeigen, dass WENN a und b drinliegen auch [mm] a^{-1} [/mm] und a [mm] \circ [/mm] b drinliegen, wenn es nichtmal ein Element in der Menge gibt?
MfG,
Gono.
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