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Aufgabe
Welche der folgenden Teilmengen der Gruppe $ [mm] Gl_2(Q) [/mm] $ sind Untergruppen, welche sogar Normalteiler der $ [mm] Gl_2(Q): [/mm] $
a) $ [mm] \{ A \in Gl_2(Q) | det A>0 \} [/mm] $
b) $ [mm] \{ A \in Gl_2(Q) | det A>1 \} [/mm] $
c) $ [mm] \{ \pmat{ 1 & 0 \\ a & 1 } | a \in \IZ \} [/mm] $
Meine Lösungen wären:
a) [mm] $\{A \in Gl_2(Q) | det A>0\} [/mm] := [mm] G_1 [/mm] $
Für alle $A [mm] \in Gl_2(Q) [/mm] $ gilt: det A> 0. Daher ist $ [mm] G_1 [/mm] $ mit $ [mm] Gl_2(Q) [/mm] $ identisch.
Sie ist also eine unechte Untergruppe, und damit Normalteiler.
b) $ [mm] \{A \in Gl_2(Q) | det A>1\} :=G_2 [/mm] $
Seien A, B $ [mm] \in G_2, [/mm] $ so auch A*B, denn det (A*B) = det(A)*det(B) > 1.
Sei C $ [mm] \in Gl_2(Q) [/mm] $ beliebig. Dazu existiert das Inverse $ [mm] C^{-1} [/mm] $
Mit A $ [mm] \in G_2 [/mm] $ gilt: det $ [mm] (C\cdot{}A\cdot{}C^{-1}) [/mm] $ = det(C)*det(A)*1/det(C) = det(A) > 1.
$ [mm] G_2 [/mm] $ ist damit also Untergruppe und Normalteiler von $ [mm] GL_2(Q) [/mm] $
c) $ [mm] \{ \pmat{ 1 & 0 \\ a & 1 } | a \in \IZ \} [/mm] $
Die Rechnereien spare ich mir hier aufzuschreiben, aber mein Ergebnis ist hier, dass $ [mm] G_3 [/mm] $ Untergruppe aber kein Normalteiler ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:38 Mi 19.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Aufgabe
> Welche der folgenden Teilmengen der Gruppe [mm]Gl_2(Q)[/mm] sind
> Untergruppen, welche sogar Normalteiler der [mm]Gl_2(Q):[/mm]
>
> a) [mm]\{ A \in Gl_2(Q) | det A>0 \}[/mm]
> b) [mm]\{ A \in Gl_2(Q) | det A>1 \}[/mm]
>
> c) [mm]\{ \pmat{ 1 & 0 \\ a & 1 } | a \in \IZ \}[/mm]
>
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>
>
> Meine Lösungen wären:
>
> a) [mm]\{A \in Gl_2(Q) | det A>0\} := G_1[/mm]
>
> Für alle [mm]A \in Gl_2(Q)[/mm] gilt: det A> 0.
Das stimmt aber nicht !
(*) Für [mm]A \in Gl_2(Q)[/mm] gilt: det A [mm] \ne [/mm] 0.
> Daher ist [mm]G_1[/mm] mit
> [mm]Gl_2(Q)[/mm] identisch.
> Sie ist also eine unechte Untergruppe, und damit
> Normalteiler.
Mit (*) gehe nochmal an diesen Aufgabenteil ran.
>
>
> b) [mm]\{A \in Gl_2(Q) | det A>1\} :=G_2[/mm]
>
> Seien A, B [mm]\in G_2,[/mm] so auch A*B, denn det (A*B) =
> det(A)*det(B) > 1.
> Sei C [mm]\in Gl_2(Q)[/mm] beliebig. Dazu existiert das Inverse
> [mm]C^{-1}[/mm]
> Mit A [mm]\in G_2[/mm] gilt: det [mm](C\cdot{}A\cdot{}C^{-1})[/mm] =
> det(C)*det(A)*1/det(C) = det(A) > 1.
>
> [mm]G_2[/mm] ist damit also Untergruppe und Normalteiler von
> [mm]GL_2(Q)[/mm]
Jede Untergruppe (und damit auch jeder Normalteiler) enthält das neutrale Element. Hier also: ist G eine Untergruppe von [mm] GL_2(\IQ), [/mm] so enthält G die Einheitsmatrix.
Trifft das für [mm] G_2 [/mm] zu ?
>
> c) [mm]\{ \pmat{ 1 & 0 \\ a & 1 } | a \in \IZ \}[/mm]
>
> Die Rechnereien spare ich mir hier aufzuschreiben,
Dann spare ich mir das Kontrollieren
FRED
> aber
> mein Ergebnis ist hier, dass [mm]G_3[/mm] Untergruppe aber kein
> Normalteiler ist.
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