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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 So 25.10.2015 | | Autor: | MinLi |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Untergruppen der angegebenen Gruppe G, sowie deren Ordnungen und Inklusionsbeziehungen, und entscheiden Sie welche der Untergruppen zyklisch sind.
a) G = [mm] (\IZ_{2} )^{3} [/mm] mit komponentenweiser Addition
b) G = [mm] D_{8} [/mm] |
Hallo,
ich soll die obige Aufgabe lösen und habe mir folgende Gedanken dazu gemacht:
a) Die Untergruppen von G sind meiner Meinung nach:
U1={(0,0,0)} mit Ordnung 1,
U2={(0,0,0),(1,0,0)} mit Ordnung 2,
U3={(0,0,0),(0,1,0)} mit Ordnung 2,
U4={(0,0,0),(0,0,1)} mit Ordnung 2,
U5={(0,0,0),(1,1,0)} mit Ordnung 2,
U6={(0,0,0),(1,0,1)} mit Ordnung 2,
U7={(0,0,0),(0,1,1)} mit Ordnung 2 und
U8={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}=G mit Ordnung 8.
Stimmt das bis jetzt so?
Ich weiß nicht was eine Inklusionsbeziehung ist und Google hat mir auch nicht richtig weitergeholfen...
Bei der Frage ob die Untergruppen zyklisch sind bin ich mir auch unsicher. Ich habe mir gedacht dass U1-U7 zyklisch sind, weil jeweils ein Element enthalten, das die ganze Untergruppe erzeugt. In diesem Fall wäre U8 dann nicht zyklisch, weil es kein Element in U8 gibt, das alle anderen Elemente erzeugt, in dem man die Potenzen von diesem Element bildet.
Nun zu b).
[mm] G=D_{8}= [/mm] { [mm] r_{0}, r_{1}, r_{2}, r_{3}, s_{0}, s_{1}, s_{2}, s_{3} [/mm] } wobei [mm] r_{i} [/mm] Drehungen und [mm] s_{i} [/mm] Spiegelungen an den Achsen sind.
[mm] r_{0} [/mm] ist in dieser Gruppe das neutrale Element, denn [mm] r_{0} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0}. [/mm] Dann gibt es folgende Untergruppen:
V1={ [mm] r_{0} [/mm] } mit Ordnung 1,
V2={ [mm] r_{0}, s_{0} [/mm] } mit Ordnung 2(?),
V3={ [mm] r_{0}, s_{1} [/mm] } mit Ordnung 2(?),
V4={ [mm] r_{0}, s_{2} [/mm] } mit Ordnung 2(?),
V5={ [mm] r_{0}, s_{3} [/mm] } mit Ordnung 2(?),
V6={ [mm] r_{0}, r_{1}, r_{2}, r_{3} [/mm] } mit Ordnung 4 (hier gilt: [mm] r_{1}^{2}=r_{2}, [/mm] usw),
[mm] V7=D_{8} [/mm] mit Ordnung 8.
Existieren noch mehr Untergruppen der Ordnung 4? Und wenn ja, wie kann ich sie bestimmen?
Hier würde ich auch wieder sagen, dass V1-V6 zyklisch sind und, dass V7 nicht zyklisch ist, mit derselben Argumentation wie bei a).
Ich würde mich freuen wenn jemand mir ein paar Tipps hierzu geben könnte.
MfG, MinLi
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moin,
die Untergruppen von $G$ sehen soweit richtig aus, allerdings fehlen noch ein paar der Ordnung $4$. Mit Inklusionsbeziehungen ist die Frage gemeint, welche der Untergruppen in anderen enthalten sind, z.B. sind alle in [mm] $U_8$ [/mm] enthalten. Das wird interessanter, wenn du vierelementige dazu hast.
Die Untergruppen von [mm] $D_8$ [/mm] sehen auch soweit gut aus, aber auch hier bin ich nicht überzeugt, dass das alle sind.
Wenn du das allgemein zeigen oder begründen willst, solltest du noch ein wenig was machen.
Als Beispiel: was passiert, wenn du dir zwei Spiegelungen nimmst? Welche Elemente bekommst du alles erzeugt (also als Produkte geschrieben, etc.)? Wird das ggf. vierelementig? Oder doch acht Elemente, sodass du nichts neues kriegst?
Und dann gibt es noch eine zweielementige, die nur Drehungen enthält, kannst du herausfinden welche?
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 Di 27.10.2015 | | Autor: | MinLi |
Ok, bei a) habe ich jetzt glaube ich alle, da gibt es noch folgende Untergruppen der Ordnung 4:
U9 = {(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)}
U10 = {(0,0,0,),(1,0,0),(0,0,1),(1,0,1)}
U11 = {(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1)}
U12 = {(0,0,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,1,1)}
U13 = {(0,0,0),(0,1,0),(1,0,1),(1,1,1)}
U14 = {(0,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}
U15 = {(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}
Bei b) habe ich jetzt auch die Untergruppe der Ordnung 2 gefunden die noch fehlt: { [mm] r_{0}, r_{2} [/mm] }.
Allerdings kann ich noch immer keine Untergruppe der Ordnung 4 herstellen. Wenn ich mir 2 Spiegelungen ansehe, zB [mm] s_{0} [/mm] und [mm] s_{1} [/mm] dann gilt
[mm] s_{0} \circ s_{1} [/mm] = [mm] r_{0-1} [/mm] = [mm] r_{3} [/mm] und
[mm] s_{1} \circ s_{0} [/mm] = [mm] r_{1}
[/mm]
Dann ist auch [mm] r_{2} [/mm] in dieser Untergruppe enthalten und es gilt
[mm] r_{2} \circ s_{0} [/mm] = [mm] s_{2} [/mm] und
[mm] r_{3} \circ s_{0} [/mm] = [mm] s_{3} [/mm] .
Somit sind existieren keine Untergruppen der Ordnung 4 weil sie falls sie 4 Elemente enthalten auch sofort die restlichen 4 enthalten. Stimmt das so oder gibt es doch welche die ich übersehen habe?
LG, MinLi
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Bei a) sollten das alle sein, ja.
Achte beim Vorrechnen der Lösung unbedingt drauf, ob Tricks angewandt werden - denn so viele einfach hinzuschreiben ist sehr nervige Arbeit und Tricks um das schneller und geschickter hinzukriegen sind (zB für eine Klausur^^) immer gut.
Bei b) hab ich mich nochmal schlau gemacht und es sollte noch eine zweite Gruppe mit 4 Elementen geben...
Vom Gefühl her würde ich [mm] $r_2$ [/mm] mit einer Spiegelung versuchen, denn [mm] $r_2$ [/mm] ist die einzige Drehung der Ordnung $2$ und damit ein wenig was besonderes.
Aber wenn du hier noch eine weitere findest bist du fertig. :)
Auch hier: achte auf jeden Fall auf Tricks beim Vorrechnen - alle Teilmengen auszuprobieren ist, selbst wenn man es geschickt macht, eine sehr nervige Arbeit.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:10 Mi 28.10.2015 | | Autor: | MinLi |
Vielen Dank für deine Antwort, mit [mm] r_{2} [/mm] hat es geklappt.:)
LG MinLi
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