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| Aufgabe | | [mm] \IZ [/mm] / 10 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} n=10 |
jetzt sollte ich eine Vrknüpfungstabelle erstellen, die ist soweit richtig, aber wie lese ich nun die untergruppen ab? z.b [mm] U_{2}
[/mm]
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Hallo delicious,
> [mm] $\IZ/10\IZ=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ [/mm] n=10
> jetzt sollte ich eine Vrknüpfungstabelle erstellen, die
> ist soweit richtig, aber wie lese ich nun die untergruppen
> ab? z.b [mm]U_{2}[/mm]
Wieviel weißt du denn schon über Gruppen?
[mm] $(\IZ/10\IZ,+)$ [/mm] ist abelsch und hat die Ordung 10
Was sagt der Satz von Lagrange über die möglichen Ordnungen von Untergruppen?
Da [mm] $(\IZ/10\IZ,+)$ [/mm] abelsch ist, gibt es auch zu jeder möglichen in Frage kommenden Ordnung eine Untergruppe.
Hattet ihr das? Es ist hilfreich...
Bzgl. [mm] $U_2$ [/mm] ist's einfach, das ist eine Untergruppe, die 2 Elemente hat.
Eines davon muss das neutrale Element sein, also $0$ (bzw. [mm] $\overline{0}$)
[/mm]
Dann weißt du, dass Gruppen bzgl. der Verknüpfung abgeschlossen sind, für das andere in Frage kommende Element, sagen wir $a$, muss ja gelten [mm] $a+a\in U_2$.
[/mm]
Und es muss $a+a=0$ sein (selbstinvers)
Was kann $a$ also nur sein? Offenbar $5$, da mit 0 bereits das neutrale Element vergeben ist.
Schiebe in der Tafel mal das Quadrat mit den Edcken 0 und 5 zusammen, in dem entstehenden Quadrat "rutscht" du nicht aus der Menge [mm] $\{0,5\}$ [/mm] raus, sprich : in dem zusammengeschobenen Quadrat ("Minitafel"  ) stehen nur 0en und 5en
Probier's mal für die anderen in Frage kommenden Ordnungen ...
LG
schachuzipus
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...und wie komme ich den z.B darauf das [mm] U_{1} [/mm] und [mm] U_{3} [/mm] die ordnung 10 hat?
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Hallo nochmal,
> ...und wie komme ich den z.B darauf das [mm]U_{1}[/mm] und [mm]U_{3}[/mm] die
> ordnung 10 hat?
Gar nicht, habe ich das irgendwo behauptet?
Die Ordnung von [mm] $G=\IZ/10\IZ$ [/mm] ist ja offensichtlich 10, es sind ja 10 Elemente drin ...
Lagrange sagt, dass die Ordnung einer Untergruppe von G die Ordnung von G teilen muss, also kommen als Ordnungen für mögliche Untergruppen nur 1,2,5,10 in Frage.
Nun ist [mm] $(\IZ/10\IZ,+)$ [/mm] zyklisch, Erzeuger ist [mm] $\overline [/mm] 1$, also [mm] $G=\IZ/10\IZ=\langle\overline 1\rangle$
[/mm]
Was weißt du nun über Untergruppen (endlicher) zyklischer Gruppen?
Es gibt zu jedem Teiler der Gruppenordnung, also zu jedem Teiler von 10 genau eine Untergruppe, die wieder zyklisch ist
Die trivialen Untergruppen G (Ordnung 10) und [mm] $\{\overline 0\}$ [/mm] (Ordnung 1)
Bleiben noch genau eine Untergruppe der Ordnung 2, sagen wir [mm] $U_2$, [/mm] dazu hatte ich oben was geschrieben ... und genau eine U-Gruppe der Ordnung 5, sagen wir [mm] $U_5$
[/mm]
Finde für [mm] $U_5$ [/mm] einen Erzeuger $x$ aus G mit [mm] $U_5=\langle x\rangle=\{\overline 0=x^0,x^1,x^2,x^3,x^4\}$ [/mm] und [mm] $x^5=x+x+x+x+x=\overline [/mm] 0$, also Ordnung 5
LG
schachuzipus
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okay, das hab ich jetzt glaub ich verstanden und auch die definitionen dazu gefunden. Aber woher weiß ich denn welche Elemente z.B. zur [mm] U_{2} [/mm] gehören? Kann ich das auch aus der Tabelle ablesen?
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Hallo nochmal,
> okay, das hab ich jetzt glaub ich verstanden und auch die
> definitionen dazu gefunden. Aber woher weiß ich denn welche
> Elemente z.B. zur [mm]U_{2}[/mm] gehören? Kann ich das auch aus der
> Tabelle ablesen?
Das kannst du dir doch einfach überlegen, ich hab doch oben schon alles geschrieben.
[mm] $U_2$ [/mm] hat die Ordnung 2, wird also von einem Element [mm] $x\in G=\IZ/10\IZ$ [/mm] erzeugt, dh. es muss gelten [mm] $U_2=\langle x\rangle$ [/mm] mit [mm] $x^2=x+x=\overline [/mm] 0$ (da die Ordnung von [mm] $U_2$ [/mm] eben 2 ist
Also [mm] $U_2=\langle x\rangle=\{\overline 0=x^0,x^1\}$
[/mm]
Was kommt denn nur für x in Frage?
Ebenso überlegst du dir das für [mm] $U_5$ [/mm] ...
Vielleicht verwirrt ein wenig die Potenzschreibweise; da wir ja mit einer additiven Verknüpfung hantieren, schreibe vllt. statt [mm] $x^k$ [/mm] besser [mm] $k\cdot{}x$ [/mm] - vllt. ist es dann einleuchtender...
LG
schachuzipus
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