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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 So 24.10.2004 | | Autor: | flo137 |
Wie kann man dass lösen
a) Sei n [mm] \in \IN [/mm] fest gewählt. Beweise: {a+b [mm] \wurzel{n} [/mm] |a,b [mm] \in \IQ} [/mm] ist Unterkörper von [mm] \IR
[/mm]
b) Zeige:{a+bi | a,b [mm] \in \IQ} [/mm] ist Unterkörper von [mm] \IC.
[/mm]
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Einfach die Körperaxiome überprüfen.
Sei K nämlich ein Körper mit Einselement 1, Nullelement 0 und den Verknüpfungen + und *, dann muss gelten:
K ist bezüglich + eine abelsche Gruppe mit einselement 0.
Dazu schnell die Gruppenxiome:
Für a, b,c aus einer Gruppe G mit Verknüpfung + und neutralem Element 0 gilt stets:
0) 0 liegt inder Gruppe. und a+0 = 0+a = a
1) a+b liegt in der Gruppe
2) -a liegt in der Gruppe, wobei a+(-a) = (-a)+a = 0
3) (a+b)+c = a+(b+c)
4) Abelsch bzw. kommutativ heißt eine Gruppe, falls a+b = b+a
[mm] K \setminus \{0 \} [/mm] ist bezüglich * abelsche Gruppe. (Insbesondere darf kein Produkt zweier Zahlen Null ergeben, es sei denn, eine der Beiden zahlen ist selbst Null), außerdem muss das Distributivgesetzt gelten
Sei nun [mm] K = \{a + b * \sqrt{n} | a,b \in \IQ \} [/mm]
Nun kann man ganz leicht nachrechnen, dass sowohl Summen, als auch Produkte und Inverse von Elementen in K bezüglich addition wieder in dem Körper K liegen, und dass Addition und Multiplikation von Elementen kommutieren und distributiv sind. Diese eigenschaften übertragen sich nämlich in ganz kanonischer weise von den Rationalen zahlen auf diesen Körper.
Die einzige Stelle, die sich als knifflig herausstellen könnte ist das Inverse der Multiplikation. Aber:
[mm](a+b*\sqrt{n})^{-1} = \bruch{1}{a+b*\sqrt{n}} =\bruch{a-b*\sqrt{n}}{(a+b*\sqrt{n})*(a-b*\sqrt{n})} = \bruch{a-b*\sqrt{n}}{a^2-b^2*n} = \bruch{a}{a^2-b^2*n} + \bruch{b}{a^2-b^2*n}*\sqrt{n} [/mm]
Und da die Brüche selbst wieder Rationale Zahlen sind liegt das ergebnis offensichtlich in K.
Das alle Elemente aus K in [mm] \IR [/mm] liegen sieht man schon daran, dass alle a,b in [mm] \IR [/mm] liegen sowie [mm] \sqrt{n}
[/mm]
Genauso kann man für die Aufgabe 2 die Körperaxiome nachrechnen. Im wesentliche übeträgt sich die Körpereigenschaft von [mm] \IQ [/mm] auf den Körper.
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