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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 So 01.05.2011 | | Autor: | paula_88 |
| Aufgabe | K ist ein Körper.
K[T] ist die Menge der Polynome über K in einer Variablen:
Abb(K,K) ist der Vektorraum der Abbildungen von K nach K.
Aufgabe:
Zu zeigen ist, dass [mm] \phi_{K} [/mm] für jeden Unterkörper K der komplexen Zahlen injektiv ist. |
Hallo an alle,
ich hab mal wieder Anfangsschwierigkeiten.
Wie genau habe ich mir [mm] \phi_{K} [/mm] vorzustellen?
Ich weiß, dass ich den Fundamentalsatz der Algebra ohne Beweis verwenden darf
Ich sehe nur leider nicht, für welchen Beweisschritt genau ich den benötige :D
Injektivität bedeutet ja, dass jedes Element der Zielmenge höchstens einmal als Funktionswert angenommen wird.
Formal: [mm] \forall x_{1}, x_{2} \in [/mm] X: [mm] (f(x_{1})=f(x_{2}) [/mm] => [mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{2}.
[/mm]
Aber wie genau zeige ich das hier?
Könnte mir jemand dies speziell für diese Aufgabe ein wenig erläutern und evtl den Anfang zeigen?
Vielen Dank schonmal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:17 So 01.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> K ist ein Körper.
> K[T] ist die Menge der Polynome über K in einer Variablen:
>
> Abb(K,K) ist der Vektorraum der Abbildungen von K nach K.
>
> Aufgabe:
> Zu zeigen ist, dass [mm]\phi_{K}[/mm] für jeden Unterkörper K der
> komplexen Zahlen injektiv ist.
> Hallo an alle,
> ich hab mal wieder Anfangsschwierigkeiten.
>
> Wie genau habe ich mir [mm]\phi_{K}[/mm] vorzustellen?
Ich vermute mal, [mm] $\phi_K$ [/mm] soll die Abbildung sein, die einem formalen Polynom $f = [mm] \sum_{i=0}^n f_i T^i \in [/mm] K[T]$ die Polynomfunktion [mm] \phi_K(f) [/mm] : x [mm] \mapsto \sum_{i=0}^n a_i x^i$ [/mm] zuweist?
> Ich weiß, dass ich den Fundamentalsatz der Algebra ohne
> Beweis verwenden darf
> Ich sehe nur leider nicht, für welchen Beweisschritt
> genau ich den benötige :D
Fuer gar keinen.
Du brauchst folgendes: ist $f [mm] \in [/mm] K[T]$ ein Polynom mit $f(x) = 0$ fuer alle $x [mm] \in [/mm] K$, so gilt $f = 0$.
Dies gilt (fuer alle $f$ genau dann), wenn $K$ ein unendlicher Koerper ist. Benoetigen tust du die Vandermonde-Determinante.
> Injektivität bedeutet ja, dass jedes Element der Zielmenge
> höchstens einmal als Funktionswert angenommen wird.
Ja. Bei linearen Abbildungen [mm] ($\phi_K$ [/mm] ist so eine) reicht es auch aus, zu zeigen, dass der Kern trivial ist.
> Aber wie genau zeige ich das hier?
Nimm dir ein Element aus dem Kern. Was genau bedeutet das fuer das Element? Was musst du zeigen? (Und: was hat das mit dem zu tun, was ich oben geschrieben hab?)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 So 01.05.2011 | | Autor: | paula_88 |
Sooo ich habe jetzt ein wenig rumprobiert und habe versucht die Injektivität zu beweisen, denke aber, dass ich es mir ein wenig zu einfach gemacht habe und nicht alles bedacht habe:
Zu zeigen ist dass [mm] \phi_{K} [/mm] injektiv ist, also dass ker [mm] \phi [/mm] = 0 ist:
Sei also ker [mm] \phi [/mm] = 0.
Der Kern einer linearen Abbildung ist ja wie folgt definiert:
Ker (f) := {x [mm] \in [/mm] V|f(x) = 0}, somit ist Ker [mm] \phi \gdw [/mm] {v [mm] \in [/mm] V| [mm] \phi(K) [/mm] = 0}.
Da die Abbildung linear ist gilt:
[mm] \phi (v_{1}) [/mm] = [mm] \phi (v_{2})
[/mm]
[mm] \gdw \phi (v_{1}) [/mm] - [mm] \phi (v_{2}) [/mm] = 0
[mm] \gdw \phi (v_{1}-v_{2}) [/mm] = 0
da ker [mm] \phi [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow \phi (v_{1}-v_{2}) [/mm] = [mm] \phi [/mm] (0).
Somit ist [mm] v_{1} [/mm] = [mm] v_{2} [/mm] und die Injektivität bewiesen.
Könnte man das eventuell so durchgehen lassen? Ich habe keine Lust mehr meinen ganzen Sonntag draufgehen zu lassen 
Jetzt habe ich ja die Injektivität bewiesen, bin aber einfach ausgegangen, dass ker [mm] \phi [/mm] = 0 ist, ohne es großartig zu beweisen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 So 01.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sooo ich habe jetzt ein wenig rumprobiert und habe versucht
> die Injektivität zu beweisen, denke aber, dass ich es mir
> ein wenig zu einfach gemacht habe und nicht alles bedacht
> habe:
Dem ist so.
> Zu zeigen ist dass [mm]\phi_{K}[/mm] injektiv ist, also dass ker
> [mm]\phi[/mm] = 0 ist:
>
> Sei also ker [mm]\phi[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= 0.
Das willst du zeigen. Nicht annehmen.
> Der Kern einer linearen Abbildung ist ja wie folgt
> definiert:
> Ker (f) := {x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V|f(x) = 0}, somit ist Ker [mm]\phi \gdw[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{v
> [mm]\in[/mm] V| [mm]\phi(K)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= 0}.
> Da die Abbildung linear ist gilt:
> [mm]\phi (v_{1})[/mm] = [mm]\phi (v_{2})[/mm]
> [mm]\gdw \phi (v_{1})[/mm] - [mm]\phi (v_{2})[/mm]
> = 0
> [mm]\gdw \phi (v_{1}-v_{2})[/mm] = 0
> da ker [mm]\phi[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow \phi (v_{1}-v_{2})[/mm] = [mm]\phi[/mm]
> (0).
> Somit ist [mm]v_{1}[/mm] = [mm]v_{2}[/mm] und die Injektivität bewiesen.
Du hast gezeigt: ist [mm] $\ker \phi [/mm] = 0$, so ist [mm] $\phi$ [/mm] injektiv.
Das wusstest du aber auch schon vorher (steht vermutlich auch im Skript).
Was du zeigen sollst: [mm] $\phi_K$ [/mm] ist injektiv, oder (wegen der Aussage oben alternativ): [mm] $\ker \phi_K [/mm] = 0$.
Also, nimm dir ein $f [mm] \in \ker \phi_K$ [/mm] und zeige, dass $f = 0$ ist.
LG Felix
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