Unterkörper bestimmen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für [mm] n\in\mathbb{N} [/mm] sei [mm] \phi_{n}\in\mathbb{Z}[X] [/mm] das n-te Kreisteilungspolynom.
(a) Man zeige: Ist n ungerade, so gilt [mm] \phi_{2n}(X)=\phi_{n}(-X) [/mm] (man Zerlege die Kreisteilungspolynome hierzu zunächst über [mm] \mathbb{C})
[/mm]
(b) Bestimme das Minimalpolynom vom [mm] \zeta_{10}=e^{\pi i/5}\in\mathbb{C} [/mm] über [mm] \mathbb{Q}. [/mm]
(c) Wieviele Unterkörper besitzt [mm] \mathbb{Q}(\zeta_{10}).
[/mm]
(d) Man bestimme alle Zwischenkörper von [mm] \mathbb{Q}(e^{2\pi i/37})/\mathbb{Q}. [/mm] Wie viele unter diesen sind normal über [mm] \mathbb{Q}? [/mm] |
Hallo,
also ich will mal ehrlich sein, dass ich bei (a) keine richtige Ahnung hab. Wenn ich das über [mm] \mathbb{C} [/mm] zerlege, sollte es so aussehen: [mm] \phi_{n}(X)=\underset{\underset{ggT(k,n)=1}{1\leq k\leq n}}{\prod}(X-e^{\frac{2\pi ik}{n}}). [/mm] Analog für [mm] \phi_{2n}. [/mm] Ich sehe aber nicht, wie ich davon in die Darstellung über [mm] \mathbb{Z} [/mm] komme, geschweige denn, warum die Behauptung zutrifft.
(b) Wenn ich mich nicht verrechnet habe, sollte das [mm] X^{4}-X^{3}+X^{2}-X+1 [/mm] sein. Müsste eigentlich auch das zehnte Kreisteilungspolynom sein, aber ob das diese Darstellung hat, habe ich nicht nachgerechnet.
(c) Da bin ich mir nicht ganz sicher, ob das was ich gemacht habe geht. Nach (b) gilt [mm] 4=Gal(\mathbb{Q}(\zeta_{10})/\mathbb{Q})\simeq(\mathbb{Z}/10\mathbb{Z})^{\times}=\{1,3,7,9\}. [/mm] Ich hab jetzt von letzterem die Untergruppen berechnet. Das sind [mm] \{1\},\{1,3\}, [/mm] und die Gruppe selbst. Nach Galoiskorrespondenz gibt es so viele Zwischenkörper wie Untergruppen der Galoisgruppe. Demnach 3 Zwischenkörper, wobei einer davon [mm] \mathbb{Q}(\zeta_{10})/\mathbb{Q} [/mm] selbst ist. Ich denke mal, dass Zwischenkörper hier das selbe ist wie Unterkörper, oder gibt es hier noch Unterkörper von [mm] \mathbb{Q}?
[/mm]
(d) Eigentlich wollte ich hier analog zu (c) vorgehen. Geht aber nicht so richtig. Es ist [mm] e^{2\pi i/37}=\zeta_{37}. [/mm] Dann hätte die Galoisgruppe die Ordnung 36. Und ich müsste alle Untergruppen von [mm] (\mathbb{Z}/37\mathbb{Z})^{\times} [/mm] ausrechnen. Das ist schon etwas aufwendiger. Gibt es dafür eine Formel? Ich wüsste nur, dass ich mit Lagrange eben lediglich nach Untergruppen suchen müsste, die die Gruppenordnung teilen. Aber dann könnte es möglicherweise mehrere Untergruppen mit der selben Ordnung geben.
Außerdem wüsste ich dann nicht, wie viele der Zwischenkörper am Ende normal sind. Wie kann man das herausbekommen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:02 Mo 27.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Für [mm]n\in\mathbb{N}[/mm] sei [mm]\phi_{n}\in\mathbb{Z}[X][/mm] das n-te
> Kreisteilungspolynom.
>
> (a) Man zeige: Ist n ungerade, so gilt
> [mm]\phi_{2n}(X)=\phi_{n}(-X)[/mm] (man Zerlege die
> Kreisteilungspolynome hierzu zunächst über [mm]\mathbb{C})[/mm]
>
> (b) Bestimme das Minimalpolynom vom [mm]\zeta_{10}=e^{\pi i/5}\in\mathbb{C}[/mm]
> über [mm]\mathbb{Q}.[/mm]
>
> (c) Wieviele Unterkörper besitzt [mm]\mathbb{Q}(\zeta_{10}).[/mm]
>
> (d) Man bestimme alle Zwischenkörper von
> [mm]\mathbb{Q}(e^{2\pi i/37})/\mathbb{Q}.[/mm] Wie viele unter
> diesen sind normal über [mm]\mathbb{Q}?[/mm]
> Hallo,
>
> also ich will mal ehrlich sein, dass ich bei (a) keine
> richtige Ahnung hab. Wenn ich das über [mm]\mathbb{C}[/mm] zerlege,
> sollte es so aussehen:
> [mm]\phi_{n}(X)=\underset{\underset{ggT(k,n)=1}{1\leq k\leq n}}{\prod}(X-e^{\frac{2\pi ik}{n}}).[/mm]
> Analog für [mm]\phi_{2n}.[/mm] Ich sehe aber nicht, wie ich davon
> in die Darstellung über [mm]\mathbb{Z}[/mm] komme, geschweige denn,
> warum die Behauptung zutrifft.
Machen wir mal den Fall $n = 3$ konkret.
Es ist ja [mm] $(\IZ/3\IZ)^\ast [/mm] = [mm] \{ 1, 2 \}$ [/mm] und [mm] $(\IZ/6\IZ)^\ast [/mm] = [mm] \{ 1, 5 \}$. [/mm] Damit ist [mm] $\phi_3 [/mm] = (X - [mm] \exp\frac{1 \cdot 2 \pi i}{3}) [/mm] (X - [mm] \exp\frac{2 \cdot 2 \pi i}{3})$ [/mm] und [mm] $\phi_6 [/mm] = (X - [mm] \exp\frac{1 \cdot 2 \pi i}{6}) [/mm] (X - [mm] \exp\frac{5 \cdot 2 \pi i}{6}) [/mm] = (-X + [mm] \exp\frac{1 \cdot 2 \pi i}{6}) [/mm] (-X + [mm] \exp\frac{5 \cdot 2 \pi i}{6}) [/mm] = (-X - (-1) [mm] \exp\frac{1 \cdot 2 \pi i}{6}) [/mm] (-X - (-1) [mm] \exp\frac{5 \cdot 2 \pi i}{6})$.
[/mm]
Jetzt beachte, dass $-1 = [mm] \exp\frac{3 \cdot 2 \pi i}{6}$ [/mm] ist; damit kann man das zu $(-X - [mm] \exp\frac{(1 + 3) \cdot 2 \pi i}{6}) [/mm] (-X - [mm] \exp\frac{(5 + 3) \cdot 2 \pi i}{6}) [/mm] = (-X - [mm] \exp\frac{4 \cdot 2 \pi i}{6}) [/mm] (-X - [mm] \exp\frac{8 \cdot 2 \pi i}{6}) [/mm] = (-X - [mm] \exp\frac{2 \cdot 2 \pi i}{3}) [/mm] (-X - [mm] \exp\frac{1 \cdot 2 \pi i}{3}) [/mm] = [mm] \phi_3(-X)$ [/mm] umschreiben.
Versuch das doch mal allgemeiner zu machen.
(Zeige dafuer, dass [mm] $(\IZ/2 n\IZ)^\ast \to (\IZ/n\IZ)^\ast$, [/mm] $x + [mm] 2n\IZ \mapsto \frac{x + n}{2} [/mm] + [mm] n\IZ$ [/mm] eine Bijektion ist.)
> (b) Wenn ich mich nicht verrechnet habe, sollte das
> [mm]X^{4}-X^{3}+X^{2}-X+1[/mm] sein. Müsste eigentlich auch das
> zehnte Kreisteilungspolynom sein, aber ob das diese
> Darstellung hat, habe ich nicht nachgerechnet.
Sieht gut aus. Schliesslich ist [mm] $\phi_5 [/mm] = [mm] X^4 [/mm] + [mm] X^3 [/mm] + [mm] X^2 [/mm] + X + 1$.
> (c) Da bin ich mir nicht ganz sicher, ob das was ich
> gemacht habe geht. Nach (b) gilt
> [mm]4=Gal(\mathbb{Q}(\zeta_{10})/\mathbb{Q})\simeq(\mathbb{Z}/10\mathbb{Z})^{\times}=\{1,3,7,9\}.[/mm]
> Ich hab jetzt von letzterem die Untergruppen berechnet. Das
> sind [mm]\{1\},\{1,3\},[/mm] und die Gruppe selbst. Nach
> Galoiskorrespondenz gibt es so viele Zwischenkörper wie
> Untergruppen der Galoisgruppe. Demnach 3 Zwischenkörper,
> wobei einer davon [mm]\mathbb{Q}(\zeta_{10})/\mathbb{Q}[/mm] selbst
> ist.
Exakt.
> Ich denke mal, dass Zwischenkörper hier das selbe ist
> wie Unterkörper, oder gibt es hier noch Unterkörper von
> [mm]\mathbb{Q}?[/mm]
Ist $L/K$ eine Koerpererweiterung, so ist ein Zwischenkoerper $M$ ein Unterkoerper von $L$, welcher $K$ enthaelt.
Und [mm] $\IQ$ [/mm] enthaelt keine weiteren Unterkoerper: schliesslich laesst sich jedes Element aus [mm] $\IQ$ [/mm] durch 1, 0, +, - und durch's Teilen ausdruecken.
> (d) Eigentlich wollte ich hier analog zu (c) vorgehen. Geht
> aber nicht so richtig. Es ist [mm]e^{2\pi i/37}=\zeta_{37}.[/mm]
> Dann hätte die Galoisgruppe die Ordnung 36. Und ich
> müsste alle Untergruppen von
> [mm](\mathbb{Z}/37\mathbb{Z})^{\times}[/mm] ausrechnen. Das ist
> schon etwas aufwendiger. Gibt es dafür eine Formel? Ich
> wüsste nur, dass ich mit Lagrange eben lediglich nach
> Untergruppen suchen müsste, die die Gruppenordnung teilen.
> Aber dann könnte es möglicherweise mehrere Untergruppen
> mit der selben Ordnung geben.
Warum beachtest du nicht, dass [mm] $(\IZ/37\IZ)^\ast$ [/mm] zyklisch ist? Finde einen Erzeuger, und schon kannst du alle Untergruppen hinschreiben.
> Außerdem wüsste ich dann nicht, wie viele der
> Zwischenkörper am Ende normal sind. Wie kann man das
> herausbekommen?
Normale Zwischenkoerper korrespondieren nach Galois zu Normalteilern der Galoisgruppe.
Also: welche Untergruppen sind Normalteiler, welche nicht?
LG Felix
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> Moin!
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> > Für [mm]n\in\mathbb{N}[/mm] sei [mm]\phi_{n}\in\mathbb{Z}[X][/mm] das n-te
> > Kreisteilungspolynom.
> >
> > (a) Man zeige: Ist n ungerade, so gilt
> > [mm]\phi_{2n}(X)=\phi_{n}(-X)[/mm] (man Zerlege die
> > Kreisteilungspolynome hierzu zunächst über [mm]\mathbb{C})[/mm]
> >
> > (b) Bestimme das Minimalpolynom vom [mm]\zeta_{10}=e^{\pi i/5}\in\mathbb{C}[/mm]
> > über [mm]\mathbb{Q}.[/mm]
> >
> > (c) Wieviele Unterkörper besitzt [mm]\mathbb{Q}(\zeta_{10}).[/mm]
> >
> > (d) Man bestimme alle Zwischenkörper von
> > [mm]\mathbb{Q}(e^{2\pi i/37})/\mathbb{Q}.[/mm] Wie viele unter
> > diesen sind normal über [mm]\mathbb{Q}?[/mm]
> > Hallo,
> >
> > also ich will mal ehrlich sein, dass ich bei (a) keine
> > richtige Ahnung hab. Wenn ich das über [mm]\mathbb{C}[/mm] zerlege,
> > sollte es so aussehen:
> > [mm]\phi_{n}(X)=\underset{\underset{ggT(k,n)=1}{1\leq k\leq n}}{\prod}(X-e^{\frac{2\pi ik}{n}}).[/mm]
> > Analog für [mm]\phi_{2n}.[/mm] Ich sehe aber nicht, wie ich davon
> > in die Darstellung über [mm]\mathbb{Z}[/mm] komme, geschweige denn,
> > warum die Behauptung zutrifft.
>
> Machen wir mal den Fall [mm]n = 3[/mm] konkret.
>
> Es ist ja [mm](\IZ/3\IZ)^\ast = \{ 1, 2 \}[/mm] und [mm](\IZ/6\IZ)^\ast = \{ 1, 5 \}[/mm].
> Damit ist [mm]\phi_3 = (X - \exp\frac{1 \cdot 2 \pi i}{3}) (X - \exp\frac{2 \cdot 2 \pi i}{3})[/mm]
> und [mm]\phi_6 = (X - \exp\frac{1 \cdot 2 \pi i}{6}) (X - \exp\frac{5 \cdot 2 \pi i}{6}) = (-X + \exp\frac{1 \cdot 2 \pi i}{6}) (-X + \exp\frac{5 \cdot 2 \pi i}{6}) = (-X - (-1) \exp\frac{1 \cdot 2 \pi i}{6}) (-X - (-1) \exp\frac{5 \cdot 2 \pi i}{6})[/mm].
>
> Jetzt beachte, dass [mm]-1 = \exp\frac{3 \cdot 2 \pi i}{6}[/mm] ist;
> damit kann man das zu [mm](-X - \exp\frac{(1 + 3) \cdot 2 \pi i}{6}) (-X - \exp\frac{(5 + 3) \cdot 2 \pi i}{6}) = (-X - \exp\frac{4 \cdot 2 \pi i}{6}) (-X - \exp\frac{8 \cdot 2 \pi i}{6}) = (-X - \exp\frac{2 \cdot 2 \pi i}{3}) (-X - \exp\frac{1 \cdot 2 \pi i}{3}) = \phi_3(-X)[/mm]
> umschreiben.
>
> Versuch das doch mal allgemeiner zu machen.
>
> (Zeige dafuer, dass [mm](\IZ/2 n\IZ)^\ast \to (\IZ/n\IZ)^\ast[/mm],
> [mm]x + 2n\IZ \mapsto \frac{x + n}{2} + n\IZ[/mm] eine Bijektion
> ist.)
>
Okay, die Bijektivität zu zeigen ist nicht so schwer, da [mm] \varphi(2n)=\varphi(n) [/mm] und die Injektivität zeigt man leicht.
Allerdings sehe ich nicht, was mir das bringt, also was ich dann damit anfangen kann.
> > (b) Wenn ich mich nicht verrechnet habe, sollte das
> > [mm]X^{4}-X^{3}+X^{2}-X+1[/mm] sein. Müsste eigentlich auch das
> > zehnte Kreisteilungspolynom sein, aber ob das diese
> > Darstellung hat, habe ich nicht nachgerechnet.
>
> Sieht gut aus. Schliesslich ist [mm]\phi_5 = X^4 + X^3 + X^2 + X + 1[/mm].
>
> > (c) Da bin ich mir nicht ganz sicher, ob das was ich
> > gemacht habe geht. Nach (b) gilt
> >
> [mm]4=Gal(\mathbb{Q}(\zeta_{10})/\mathbb{Q})\simeq(\mathbb{Z}/10\mathbb{Z})^{\times}=\{1,3,7,9\}.[/mm]
> > Ich hab jetzt von letzterem die Untergruppen berechnet. Das
> > sind [mm]\{1\},\{1,3\},[/mm] und die Gruppe selbst. Nach
> > Galoiskorrespondenz gibt es so viele Zwischenkörper wie
> > Untergruppen der Galoisgruppe. Demnach 3 Zwischenkörper,
> > wobei einer davon [mm]\mathbb{Q}(\zeta_{10})/\mathbb{Q}[/mm] selbst
> > ist.
>
> Exakt.
>
> > Ich denke mal, dass Zwischenkörper hier das selbe ist
> > wie Unterkörper, oder gibt es hier noch Unterkörper von
> > [mm]\mathbb{Q}?[/mm]
>
> Ist [mm]L/K[/mm] eine Koerpererweiterung, so ist ein Zwischenkoerper
> [mm]M[/mm] ein Unterkoerper von [mm]L[/mm], welcher [mm]K[/mm] enthaelt.
>
> Und [mm]\IQ[/mm] enthaelt keine weiteren Unterkoerper: schliesslich
> laesst sich jedes Element aus [mm]\IQ[/mm] durch 1, 0, +, - und
> durch's Teilen ausdruecken.
>
> > (d) Eigentlich wollte ich hier analog zu (c) vorgehen. Geht
> > aber nicht so richtig. Es ist [mm]e^{2\pi i/37}=\zeta_{37}.[/mm]
> > Dann hätte die Galoisgruppe die Ordnung 36. Und ich
> > müsste alle Untergruppen von
> > [mm](\mathbb{Z}/37\mathbb{Z})^{\times}[/mm] ausrechnen. Das ist
> > schon etwas aufwendiger. Gibt es dafür eine Formel? Ich
> > wüsste nur, dass ich mit Lagrange eben lediglich nach
> > Untergruppen suchen müsste, die die Gruppenordnung teilen.
> > Aber dann könnte es möglicherweise mehrere Untergruppen
> > mit der selben Ordnung geben.
>
> Warum beachtest du nicht, dass [mm](\IZ/37\IZ)^\ast[/mm] zyklisch
> ist? Finde einen Erzeuger, und schon kannst du alle
> Untergruppen hinschreiben.
Wenn ich das richtig sehe, hat die Gruppe doch [mm] \varphi(\varphi(36)) [/mm] Primitivwurzeln oder? Das wären dann 4 erzeugende Elemente mit Ordnung 36. Wenn ich mir davon jetzt eins nehme und das eine Untergruppe aufspannen lasse, komme ich doch wieder zu [mm](\IZ/37\IZ)^\ast[/mm].
Das war eine Klausuraufgabe, da sollte man also nicht allzuviel rumrechnen müssen. Die Anzahl der Teiler von 36 ist 12. Also nach Lagrange müsste ich theoretisch alle Teiler von 36 abarbeiten und nach Elementen der entsprechenden Ordnung suchen, was mir ohne Hilfsmittel etwas lästig erscheint.
Gibt es da eine einfachere, schnellere Lösung?
>
> > Außerdem wüsste ich dann nicht, wie viele der
> > Zwischenkörper am Ende normal sind. Wie kann man das
> > herausbekommen?
>
> Normale Zwischenkoerper korrespondieren nach Galois zu
> Normalteilern der Galoisgruppe.
>
> Also: welche Untergruppen sind Normalteiler, welche nicht?
Sind die Untergruppen und speziell die Gruppe selbst nicht alle abelsch? Dann müssten doch auch alle Untergruppen Normalteiler sein, demnach wäre dann jeder Zwischenkörper normal.
>
> LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 Di 28.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > Für [mm]n\in\mathbb{N}[/mm] sei [mm]\phi_{n}\in\mathbb{Z}[X][/mm] das n-te
> > > Kreisteilungspolynom.
> > >
> > > (a) Man zeige: Ist n ungerade, so gilt
> > > [mm]\phi_{2n}(X)=\phi_{n}(-X)[/mm] (man Zerlege die
> > > Kreisteilungspolynome hierzu zunächst über [mm]\mathbb{C})[/mm]
> > >
> > > (b) Bestimme das Minimalpolynom vom [mm]\zeta_{10}=e^{\pi i/5}\in\mathbb{C}[/mm]
> > > über [mm]\mathbb{Q}.[/mm]
> > >
> > > (c) Wieviele Unterkörper besitzt [mm]\mathbb{Q}(\zeta_{10}).[/mm]
> > >
> > > (d) Man bestimme alle Zwischenkörper von
> > > [mm]\mathbb{Q}(e^{2\pi i/37})/\mathbb{Q}.[/mm] Wie viele unter
> > > diesen sind normal über [mm]\mathbb{Q}?[/mm]
> > > Hallo,
> > >
> > > also ich will mal ehrlich sein, dass ich bei (a) keine
> > > richtige Ahnung hab. Wenn ich das über [mm]\mathbb{C}[/mm] zerlege,
> > > sollte es so aussehen:
> > > [mm]\phi_{n}(X)=\underset{\underset{ggT(k,n)=1}{1\leq k\leq n}}{\prod}(X-e^{\frac{2\pi ik}{n}}).[/mm]
> > > Analog für [mm]\phi_{2n}.[/mm] Ich sehe aber nicht, wie ich davon
> > > in die Darstellung über [mm]\mathbb{Z}[/mm] komme, geschweige denn,
> > > warum die Behauptung zutrifft.
> >
> > Machen wir mal den Fall [mm]n = 3[/mm] konkret.
> >
> > Es ist ja [mm](\IZ/3\IZ)^\ast = \{ 1, 2 \}[/mm] und [mm](\IZ/6\IZ)^\ast = \{ 1, 5 \}[/mm].
> > Damit ist [mm]\phi_3 = (X - \exp\frac{1 \cdot 2 \pi i}{3}) (X - \exp\frac{2 \cdot 2 \pi i}{3})[/mm]
> > und [mm]\phi_6 = (X - \exp\frac{1 \cdot 2 \pi i}{6}) (X - \exp\frac{5 \cdot 2 \pi i}{6}) = (-X + \exp\frac{1 \cdot 2 \pi i}{6}) (-X + \exp\frac{5 \cdot 2 \pi i}{6}) = (-X - (-1) \exp\frac{1 \cdot 2 \pi i}{6}) (-X - (-1) \exp\frac{5 \cdot 2 \pi i}{6})[/mm].
>
> >
> > Jetzt beachte, dass [mm]-1 = \exp\frac{3 \cdot 2 \pi i}{6}[/mm] ist;
> > damit kann man das zu [mm](-X - \exp\frac{(1 + 3) \cdot 2 \pi i}{6}) (-X - \exp\frac{(5 + 3) \cdot 2 \pi i}{6}) = (-X - \exp\frac{4 \cdot 2 \pi i}{6}) (-X - \exp\frac{8 \cdot 2 \pi i}{6}) = (-X - \exp\frac{2 \cdot 2 \pi i}{3}) (-X - \exp\frac{1 \cdot 2 \pi i}{3}) = \phi_3(-X)[/mm]
> > umschreiben.
> >
> > Versuch das doch mal allgemeiner zu machen.
> >
> > (Zeige dafuer, dass [mm](\IZ/2 n\IZ)^\ast \to (\IZ/n\IZ)^\ast[/mm],
> > [mm]x + 2n\IZ \mapsto \frac{x + n}{2} + n\IZ[/mm] eine Bijektion
> > ist.)
> >
>
> Okay, die Bijektivität zu zeigen ist nicht so schwer, da
> [mm]\varphi(2n)=\varphi(n)[/mm] und die Injektivität zeigt man
> leicht.
Gut :)
> Allerdings sehe ich nicht, was mir das bringt, also was ich
> dann damit anfangen kann.
Nun, ich hab diese Bijektion oben im Fall $n = 3$ verwendet. Versuch mal herauszufinden wo genau!
> > > (d) Eigentlich wollte ich hier analog zu (c) vorgehen. Geht
> > > aber nicht so richtig. Es ist [mm]e^{2\pi i/37}=\zeta_{37}.[/mm]
> > > Dann hätte die Galoisgruppe die Ordnung 36. Und ich
> > > müsste alle Untergruppen von
> > > [mm](\mathbb{Z}/37\mathbb{Z})^{\times}[/mm] ausrechnen. Das ist
> > > schon etwas aufwendiger. Gibt es dafür eine Formel? Ich
> > > wüsste nur, dass ich mit Lagrange eben lediglich nach
> > > Untergruppen suchen müsste, die die Gruppenordnung teilen.
> > > Aber dann könnte es möglicherweise mehrere Untergruppen
> > > mit der selben Ordnung geben.
> >
> > Warum beachtest du nicht, dass [mm](\IZ/37\IZ)^\ast[/mm] zyklisch
> > ist? Finde einen Erzeuger, und schon kannst du alle
> > Untergruppen hinschreiben.
>
> Wenn ich das richtig sehe, hat die Gruppe doch
> [mm]\varphi(\varphi(36))[/mm] Primitivwurzeln oder?
Ja.
> Das wären dann
> 4 erzeugende Elemente mit Ordnung 36. Wenn ich mir davon
> jetzt eins nehme und das eine Untergruppe aufspannen lasse,
> komme ich doch wieder zu [mm](\IZ/37\IZ)^\ast[/mm].
Klar. Und das Quadrat davon spannt die Untergruppe mit $36/2$ Elementen auf. Die dritte Potenz spannt die Untergrpupe mit $36/3$ Elementen auf. Die vierte Potenz spannt die Untergruppe mit $36/4$ Elementen auf. Die sechste Potenz ...
> Das war eine Klausuraufgabe, da sollte man also nicht
> allzuviel rumrechnen müssen. Die Anzahl der Teiler von 36
> ist 12. Also nach Lagrange müsste ich theoretisch alle
> Teiler von 36 abarbeiten und nach Elementen der
> entsprechenden Ordnung suchen, was mir ohne Hilfsmittel
> etwas lästig erscheint.
Wenn du ein Element der Ordnung 36 kennst, kannst du zu jedem Teiler von 36 sofort ein Element der Ordnung bekommen!
> > > Außerdem wüsste ich dann nicht, wie viele der
> > > Zwischenkörper am Ende normal sind. Wie kann man das
> > > herausbekommen?
> >
> > Normale Zwischenkoerper korrespondieren nach Galois zu
> > Normalteilern der Galoisgruppe.
> >
> > Also: welche Untergruppen sind Normalteiler, welche nicht?
>
> Sind die Untergruppen und speziell die Gruppe selbst nicht
> alle abelsch?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann müssten doch auch alle Untergruppen
> Normalteiler sein, demnach wäre dann jeder Zwischenkörper
> normal.
Genau.
LG Felix
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> Moin!
>
> > > > Für [mm]n\in\mathbb{N}[/mm] sei [mm]\phi_{n}\in\mathbb{Z}[X][/mm] das n-te
> > > > Kreisteilungspolynom.
> > > >
> > > > (a) Man zeige: Ist n ungerade, so gilt
> > > > [mm]\phi_{2n}(X)=\phi_{n}(-X)[/mm] (man Zerlege die
> > > > Kreisteilungspolynome hierzu zunächst über [mm]\mathbb{C})[/mm]
> > > >
> > > > (b) Bestimme das Minimalpolynom vom [mm]\zeta_{10}=e^{\pi i/5}\in\mathbb{C}[/mm]
> > > > über [mm]\mathbb{Q}.[/mm]
> > > >
> > > > (c) Wieviele Unterkörper besitzt [mm]\mathbb{Q}(\zeta_{10}).[/mm]
> > > >
> > > > (d) Man bestimme alle Zwischenkörper von
> > > > [mm]\mathbb{Q}(e^{2\pi i/37})/\mathbb{Q}.[/mm] Wie viele unter
> > > > diesen sind normal über [mm]\mathbb{Q}?[/mm]
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > also ich will mal ehrlich sein, dass ich bei (a) keine
> > > > richtige Ahnung hab. Wenn ich das über [mm]\mathbb{C}[/mm] zerlege,
> > > > sollte es so aussehen:
> > > > [mm]\phi_{n}(X)=\underset{\underset{ggT(k,n)=1}{1\leq k\leq n}}{\prod}(X-e^{\frac{2\pi ik}{n}}).[/mm]
> > > > Analog für [mm]\phi_{2n}.[/mm] Ich sehe aber nicht, wie ich davon
> > > > in die Darstellung über [mm]\mathbb{Z}[/mm] komme, geschweige denn,
> > > > warum die Behauptung zutrifft.
> > >
> > > Machen wir mal den Fall [mm]n = 3[/mm] konkret.
> > >
> > > Es ist ja [mm](\IZ/3\IZ)^\ast = \{ 1, 2 \}[/mm] und [mm](\IZ/6\IZ)^\ast = \{ 1, 5 \}[/mm].
> > > Damit ist [mm]\phi_3 = (X - \exp\frac{1 \cdot 2 \pi i}{3}) (X - \exp\frac{2 \cdot 2 \pi i}{3})[/mm]
> > > und [mm]\phi_6 = (X - \exp\frac{1 \cdot 2 \pi i}{6}) (X - \exp\frac{5 \cdot 2 \pi i}{6}) = (-X + \exp\frac{1 \cdot 2 \pi i}{6}) (-X + \exp\frac{5 \cdot 2 \pi i}{6}) = (-X - (-1) \exp\frac{1 \cdot 2 \pi i}{6}) (-X - (-1) \exp\frac{5 \cdot 2 \pi i}{6})[/mm].
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> >
> > >
> > > Jetzt beachte, dass [mm]-1 = \exp\frac{3 \cdot 2 \pi i}{6}[/mm] ist;
> > > damit kann man das zu [mm](-X - \exp\frac{(1 + 3) \cdot 2 \pi i}{6}) (-X - \exp\frac{(5 + 3) \cdot 2 \pi i}{6}) = (-X - \exp\frac{4 \cdot 2 \pi i}{6}) (-X - \exp\frac{8 \cdot 2 \pi i}{6}) = (-X - \exp\frac{2 \cdot 2 \pi i}{3}) (-X - \exp\frac{1 \cdot 2 \pi i}{3}) = \phi_3(-X)[/mm]
> > > umschreiben.
> > >
> > > Versuch das doch mal allgemeiner zu machen.
> > >
> > > (Zeige dafuer, dass [mm](\IZ/2 n\IZ)^\ast \to (\IZ/n\IZ)^\ast[/mm],
> > > [mm]x + 2n\IZ \mapsto \frac{x + n}{2} + n\IZ[/mm] eine Bijektion
> > > ist.)
> > >
> >
> > Okay, die Bijektivität zu zeigen ist nicht so schwer, da
> > [mm]\varphi(2n)=\varphi(n)[/mm] und die Injektivität zeigt man
> > leicht.
>
> Gut :)
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> > Allerdings sehe ich nicht, was mir das bringt, also was ich
> > dann damit anfangen kann.
>
> Nun, ich hab diese Bijektion oben im Fall [mm]n = 3[/mm] verwendet.
> Versuch mal herauszufinden wo genau!
Im Prinzip bildet die Bijektion die 1 auf die 2 ab und die 5 auf die 1. Das ist nun auch das, was da letztenendes in den Exponentialfunktionen drin steht. Nun sehe ich noch nicht den Zusammenhang, warum man X zu -X wird, also [mm] \phi_{2n}(X)=\phi_{n}(-X) [/mm] gelten soll. Ist wahrscheinlich jetzt ganz einfach.
>
> > > > (d) Eigentlich wollte ich hier analog zu (c) vorgehen. Geht
> > > > aber nicht so richtig. Es ist [mm]e^{2\pi i/37}=\zeta_{37}.[/mm]
> > > > Dann hätte die Galoisgruppe die Ordnung 36. Und ich
> > > > müsste alle Untergruppen von
> > > > [mm](\mathbb{Z}/37\mathbb{Z})^{\times}[/mm] ausrechnen. Das ist
> > > > schon etwas aufwendiger. Gibt es dafür eine Formel? Ich
> > > > wüsste nur, dass ich mit Lagrange eben lediglich nach
> > > > Untergruppen suchen müsste, die die Gruppenordnung teilen.
> > > > Aber dann könnte es möglicherweise mehrere Untergruppen
> > > > mit der selben Ordnung geben.
> > >
> > > Warum beachtest du nicht, dass [mm](\IZ/37\IZ)^\ast[/mm] zyklisch
> > > ist? Finde einen Erzeuger, und schon kannst du alle
> > > Untergruppen hinschreiben.
> >
> > Wenn ich das richtig sehe, hat die Gruppe doch
> > [mm]\varphi(\varphi(36))[/mm] Primitivwurzeln oder?
>
> Ja.
>
> > Das wären dann
> > 4 erzeugende Elemente mit Ordnung 36. Wenn ich mir davon
> > jetzt eins nehme und das eine Untergruppe aufspannen lasse,
> > komme ich doch wieder zu [mm](\IZ/37\IZ)^\ast[/mm].
>
> Klar. Und das Quadrat davon spannt die Untergruppe mit [mm]36/2[/mm]
> Elementen auf. Die dritte Potenz spannt die Untergrpupe mit
> [mm]36/3[/mm] Elementen auf. Die vierte Potenz spannt die
> Untergruppe mit [mm]36/4[/mm] Elementen auf. Die sechste Potenz ...
Dementsprechend bekomme ich doch dann genau die Anzahl an Untergruppen, wie die Gruppenordnung Teiler hat, also [mm] \tau(36)=9.
[/mm]
Zumindest mit der einen Primitivwurzel.
Wenn ich jetzt das gleiche nochmal mit einer anderen Primitivwurzel mache, bekomme ich ja wieder entsprechend 9 Untergruppen. Allerdings sollten die doch Isomorph (oder sogar gleich?) zu den vorher gefundenen sein oder? Gibt es nicht immer nur, bis auf Isomorphie, eine endliche zyklische Gruppe?
Als Antwort hätte ich jetzt jedenfalls geschrieben, dass es 9 Zwischenkörper gibt, die alle normal sind.
>
> > Das war eine Klausuraufgabe, da sollte man also nicht
> > allzuviel rumrechnen müssen. Die Anzahl der Teiler von 36
> > ist 12. Also nach Lagrange müsste ich theoretisch alle
> > Teiler von 36 abarbeiten und nach Elementen der
> > entsprechenden Ordnung suchen, was mir ohne Hilfsmittel
> > etwas lästig erscheint.
>
> Wenn du ein Element der Ordnung 36 kennst, kannst du zu
> jedem Teiler von 36 sofort ein Element der Ordnung
> bekommen!
>
> > > > Außerdem wüsste ich dann nicht, wie viele der
> > > > Zwischenkörper am Ende normal sind. Wie kann man das
> > > > herausbekommen?
> > >
> > > Normale Zwischenkoerper korrespondieren nach Galois zu
> > > Normalteilern der Galoisgruppe.
> > >
> > > Also: welche Untergruppen sind Normalteiler, welche nicht?
> >
> > Sind die Untergruppen und speziell die Gruppe selbst nicht
> > alle abelsch?
>
>
>
> > Dann müssten doch auch alle Untergruppen
> > Normalteiler sein, demnach wäre dann jeder Zwischenkörper
> > normal.
>
> Genau.
>
> LG Felix
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:24 Mi 29.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > > > Für [mm]n\in\mathbb{N}[/mm] sei [mm]\phi_{n}\in\mathbb{Z}[X][/mm] das n-te
> > > > > Kreisteilungspolynom.
> > > > >
> > > > > (a) Man zeige: Ist n ungerade, so gilt
> > > > > [mm]\phi_{2n}(X)=\phi_{n}(-X)[/mm] (man Zerlege die
> > > > > Kreisteilungspolynome hierzu zunächst über [mm]\mathbb{C})[/mm]
> > > > >
> > > > > (b) Bestimme das Minimalpolynom vom [mm]\zeta_{10}=e^{\pi i/5}\in\mathbb{C}[/mm]
> > > > > über [mm]\mathbb{Q}.[/mm]
> > > > >
> > > > > (c) Wieviele Unterkörper besitzt [mm]\mathbb{Q}(\zeta_{10}).[/mm]
> > > > >
> > > > > (d) Man bestimme alle Zwischenkörper von
> > > > > [mm]\mathbb{Q}(e^{2\pi i/37})/\mathbb{Q}.[/mm] Wie viele unter
> > > > > diesen sind normal über [mm]\mathbb{Q}?[/mm]
> > > > > Hallo,
> > > > >
> > > > > also ich will mal ehrlich sein, dass ich bei (a) keine
> > > > > richtige Ahnung hab. Wenn ich das über [mm]\mathbb{C}[/mm] zerlege,
> > > > > sollte es so aussehen:
> > > > > [mm]\phi_{n}(X)=\underset{\underset{ggT(k,n)=1}{1\leq k\leq n}}{\prod}(X-e^{\frac{2\pi ik}{n}}).[/mm]
> > > > > Analog für [mm]\phi_{2n}.[/mm] Ich sehe aber nicht, wie ich davon
> > > > > in die Darstellung über [mm]\mathbb{Z}[/mm] komme, geschweige denn,
> > > > > warum die Behauptung zutrifft.
> > > >
> > > > Machen wir mal den Fall [mm]n = 3[/mm] konkret.
> > > >
> > > > Es ist ja [mm](\IZ/3\IZ)^\ast = \{ 1, 2 \}[/mm] und [mm](\IZ/6\IZ)^\ast = \{ 1, 5 \}[/mm].
> > > > Damit ist [mm]\phi_3 = (X - \exp\frac{1 \cdot 2 \pi i}{3}) (X - \exp\frac{2 \cdot 2 \pi i}{3})[/mm]
> > > > und [mm]\phi_6 = (X - \exp\frac{1 \cdot 2 \pi i}{6}) (X - \exp\frac{5 \cdot 2 \pi i}{6}) = (-X + \exp\frac{1 \cdot 2 \pi i}{6}) (-X + \exp\frac{5 \cdot 2 \pi i}{6}) = (-X - (-1) \exp\frac{1 \cdot 2 \pi i}{6}) (-X - (-1) \exp\frac{5 \cdot 2 \pi i}{6})[/mm].
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Jetzt beachte, dass [mm]-1 = \exp\frac{3 \cdot 2 \pi i}{6}[/mm] ist;
> > > > damit kann man das zu [mm](-X - \exp\frac{(1 + 3) \cdot 2 \pi i}{6}) (-X - \exp\frac{(5 + 3) \cdot 2 \pi i}{6}) = (-X - \exp\frac{4 \cdot 2 \pi i}{6}) (-X - \exp\frac{8 \cdot 2 \pi i}{6}) = (-X - \exp\frac{2 \cdot 2 \pi i}{3}) (-X - \exp\frac{1 \cdot 2 \pi i}{3}) = \phi_3(-X)[/mm]
> > > > umschreiben.
> > > >
> > > > Versuch das doch mal allgemeiner zu machen.
> > > >
> > > > (Zeige dafuer, dass [mm](\IZ/2 n\IZ)^\ast \to (\IZ/n\IZ)^\ast[/mm],
> > > > [mm]x + 2n\IZ \mapsto \frac{x + n}{2} + n\IZ[/mm] eine Bijektion
> > > > ist.)
> > > >
> > >
> > > Okay, die Bijektivität zu zeigen ist nicht so schwer, da
> > > [mm]\varphi(2n)=\varphi(n)[/mm] und die Injektivität zeigt man
> > > leicht.
> >
> > Gut :)
> >
> > > Allerdings sehe ich nicht, was mir das bringt, also was ich
> > > dann damit anfangen kann.
> >
> > Nun, ich hab diese Bijektion oben im Fall [mm]n = 3[/mm] verwendet.
> > Versuch mal herauszufinden wo genau!
>
> Im Prinzip bildet die Bijektion die 1 auf die 2 ab und die
> 5 auf die 1.
Genau.
> Das ist nun auch das, was da letztenendes in
> den Exponentialfunktionen drin steht. Nun sehe ich noch
> nicht den Zusammenhang, warum man X zu -X wird, also
> [mm]\phi_{2n}(X)=\phi_{n}(-X)[/mm] gelten soll. Ist wahrscheinlich
> jetzt ganz einfach.
Nun, aus jedem Linearfaktor des Polynoms wird ein $-1$ ausgeklammert. Beachte, dass $-1 = [mm] \exp(i \pi)$ [/mm] ist.
> > > > Warum beachtest du nicht, dass [mm](\IZ/37\IZ)^\ast[/mm] zyklisch
> > > > ist? Finde einen Erzeuger, und schon kannst du alle
> > > > Untergruppen hinschreiben.
> > >
> > > Wenn ich das richtig sehe, hat die Gruppe doch
> > > [mm]\varphi(\varphi(36))[/mm] Primitivwurzeln oder?
> >
> > Ja.
> >
> > > Das wären dann
> > > 4 erzeugende Elemente mit Ordnung 36. Wenn ich mir davon
> > > jetzt eins nehme und das eine Untergruppe aufspannen lasse,
> > > komme ich doch wieder zu [mm](\IZ/37\IZ)^\ast[/mm].
> >
> > Klar. Und das Quadrat davon spannt die Untergruppe mit [mm]36/2[/mm]
> > Elementen auf. Die dritte Potenz spannt die Untergrpupe mit
> > [mm]36/3[/mm] Elementen auf. Die vierte Potenz spannt die
> > Untergruppe mit [mm]36/4[/mm] Elementen auf. Die sechste Potenz ...
>
> Dementsprechend bekomme ich doch dann genau die Anzahl an
> Untergruppen, wie die Gruppenordnung Teiler hat, also
> [mm]\tau(36)=9.[/mm]
Genau.
> Zumindest mit der einen Primitivwurzel.
> Wenn ich jetzt das gleiche nochmal mit einer anderen
> Primitivwurzel mache, bekomme ich ja wieder entsprechend 9
> Untergruppen. Allerdings sollten die doch Isomorph (oder
> sogar gleich?) zu den vorher gefundenen sein oder? Gibt es
> nicht immer nur, bis auf Isomorphie, eine endliche
> zyklische Gruppe?
Sie sind sogar gleich. Wenn du die zyklische Gruppe schreibst als [mm] $\IZ/m\IZ [/mm] = [mm] \{ 0, \dots, m - 1 \}$, [/mm] siehst du, dass das kleinste Element [mm] $\neq [/mm] 0$ einer jeden (nicht-trivialen) Untergruppe ein Teiler von $m$ ist und die Untergruppe erzeugt.
> Als Antwort hätte ich jetzt jedenfalls geschrieben, dass
> es 9 Zwischenkörper gibt, die alle normal sind.
Genau.
LG Felix
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> Moin!
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> > > > > > Für [mm]n\in\mathbb{N}[/mm] sei [mm]\phi_{n}\in\mathbb{Z}[X][/mm] das n-te
> > > > > > Kreisteilungspolynom.
> > > > > >
> > > > > > (a) Man zeige: Ist n ungerade, so gilt
> > > > > > [mm]\phi_{2n}(X)=\phi_{n}(-X)[/mm] (man Zerlege die
> > > > > > Kreisteilungspolynome hierzu zunächst über [mm]\mathbb{C})[/mm]
> > > > > >
> > > > > > (b) Bestimme das Minimalpolynom vom [mm]\zeta_{10}=e^{\pi i/5}\in\mathbb{C}[/mm]
> > > > > > über [mm]\mathbb{Q}.[/mm]
> > > > > >
> > > > > > (c) Wieviele Unterkörper besitzt [mm]\mathbb{Q}(\zeta_{10}).[/mm]
> > > > > >
> > > > > > (d) Man bestimme alle Zwischenkörper von
> > > > > > [mm]\mathbb{Q}(e^{2\pi i/37})/\mathbb{Q}.[/mm] Wie viele unter
> > > > > > diesen sind normal über [mm]\mathbb{Q}?[/mm]
> > > > > > Hallo,
> > > > > >
> > > > > > also ich will mal ehrlich sein, dass ich bei (a) keine
> > > > > > richtige Ahnung hab. Wenn ich das über [mm]\mathbb{C}[/mm] zerlege,
> > > > > > sollte es so aussehen:
> > > > > > [mm]\phi_{n}(X)=\underset{\underset{ggT(k,n)=1}{1\leq k\leq n}}{\prod}(X-e^{\frac{2\pi ik}{n}}).[/mm]
> > > > > > Analog für [mm]\phi_{2n}.[/mm] Ich sehe aber nicht, wie ich davon
> > > > > > in die Darstellung über [mm]\mathbb{Z}[/mm] komme, geschweige denn,
> > > > > > warum die Behauptung zutrifft.
> > > > >
> > > > > Machen wir mal den Fall [mm]n = 3[/mm] konkret.
> > > > >
> > > > > Es ist ja [mm](\IZ/3\IZ)^\ast = \{ 1, 2 \}[/mm] und [mm](\IZ/6\IZ)^\ast = \{ 1, 5 \}[/mm].
> > > > > Damit ist [mm]\phi_3 = (X - \exp\frac{1 \cdot 2 \pi i}{3}) (X - \exp\frac{2 \cdot 2 \pi i}{3})[/mm]
> > > > > und [mm]\phi_6 = (X - \exp\frac{1 \cdot 2 \pi i}{6}) (X - \exp\frac{5 \cdot 2 \pi i}{6}) = (-X + \exp\frac{1 \cdot 2 \pi i}{6}) (-X + \exp\frac{5 \cdot 2 \pi i}{6}) = (-X - (-1) \exp\frac{1 \cdot 2 \pi i}{6}) (-X - (-1) \exp\frac{5 \cdot 2 \pi i}{6})[/mm].
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> > > > > Jetzt beachte, dass [mm]-1 = \exp\frac{3 \cdot 2 \pi i}{6}[/mm] ist;
> > > > > damit kann man das zu [mm](-X - \exp\frac{(1 + 3) \cdot 2 \pi i}{6}) (-X - \exp\frac{(5 + 3) \cdot 2 \pi i}{6}) = (-X - \exp\frac{4 \cdot 2 \pi i}{6}) (-X - \exp\frac{8 \cdot 2 \pi i}{6}) = (-X - \exp\frac{2 \cdot 2 \pi i}{3}) (-X - \exp\frac{1 \cdot 2 \pi i}{3}) = \phi_3(-X)[/mm]
> > > > > umschreiben.
> > > > >
> > > > > Versuch das doch mal allgemeiner zu machen.
> > > > >
> > > > > (Zeige dafuer, dass [mm](\IZ/2 n\IZ)^\ast \to (\IZ/n\IZ)^\ast[/mm],
> > > > > [mm]x + 2n\IZ \mapsto \frac{x + n}{2} + n\IZ[/mm] eine Bijektion
> > > > > ist.)
> > > > >
> > > >
> > > > Okay, die Bijektivität zu zeigen ist nicht so schwer, da
> > > > [mm]\varphi(2n)=\varphi(n)[/mm] und die Injektivität zeigt man
> > > > leicht.
> > >
> > > Gut :)
> > >
> > > > Allerdings sehe ich nicht, was mir das bringt, also was ich
> > > > dann damit anfangen kann.
> > >
> > > Nun, ich hab diese Bijektion oben im Fall [mm]n = 3[/mm] verwendet.
> > > Versuch mal herauszufinden wo genau!
> >
> > Im Prinzip bildet die Bijektion die 1 auf die 2 ab und die
> > 5 auf die 1.
>
> Genau.
>
> > Das ist nun auch das, was da letztenendes in
> > den Exponentialfunktionen drin steht. Nun sehe ich noch
> > nicht den Zusammenhang, warum man X zu -X wird, also
> > [mm]\phi_{2n}(X)=\phi_{n}(-X)[/mm] gelten soll. Ist wahrscheinlich
> > jetzt ganz einfach.
>
> Nun, aus jedem Linearfaktor des Polynoms wird ein [mm]-1[/mm]
> ausgeklammert. Beachte, dass [mm]-1 = \exp(i \pi)[/mm] ist.
Hallo nochmal,
zwar ist mir klar, dass durch die Bijektion dieselbe Anzahl von Werten für k durchlaufen wird, aber ich bekomme es noch nicht hin, den folgenden Schritt mit der Abbildung zu legitimieren:
[mm] \phi_{2n}(X)=\prod_{k\in\mathbb{Z}/2n\mathbb{Z})^{\times}}(-X-e^{\frac{2\pi i(k+n)}{2n}})\overset{?}{=}\phi_{2n}(X)=\prod_{k\in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}}(-X-e^{\frac{2\pi ik}{n}})Im [/mm] Prinzip muss ich ja schreiben, dass sich durch Anwenden der Abbildung nichts an der e Funktion ändert. Aber wenn ich da für [mm] k+n\mapsto\frac{k+2n}{2} [/mm] einsetze, also schreibe [mm] (-X-e^{\frac{2\pi i(k+n)}{2n}})=(-X-e^{\frac{2\pi i(k+2n)}{4n}}), [/mm] dann komme ich schlecht zu dem was ich will. Im Grunde sehe ich das für konkrete Zahlenwerte ein, aber hier für den allgemeinen Fall irgendwie noch nicht, wie ich es korrekt begründen kann.
>
> > > > > Warum beachtest du nicht, dass [mm](\IZ/37\IZ)^\ast[/mm] zyklisch
> > > > > ist? Finde einen Erzeuger, und schon kannst du alle
> > > > > Untergruppen hinschreiben.
> > > >
> > > > Wenn ich das richtig sehe, hat die Gruppe doch
> > > > [mm]\varphi(\varphi(36))[/mm] Primitivwurzeln oder?
> > >
> > > Ja.
> > >
> > > > Das wären dann
> > > > 4 erzeugende Elemente mit Ordnung 36. Wenn ich mir davon
> > > > jetzt eins nehme und das eine Untergruppe aufspannen lasse,
> > > > komme ich doch wieder zu [mm](\IZ/37\IZ)^\ast[/mm].
> > >
> > > Klar. Und das Quadrat davon spannt die Untergruppe mit [mm]36/2[/mm]
> > > Elementen auf. Die dritte Potenz spannt die Untergrpupe mit
> > > [mm]36/3[/mm] Elementen auf. Die vierte Potenz spannt die
> > > Untergruppe mit [mm]36/4[/mm] Elementen auf. Die sechste Potenz ...
> >
> > Dementsprechend bekomme ich doch dann genau die Anzahl an
> > Untergruppen, wie die Gruppenordnung Teiler hat, also
> > [mm]\tau(36)=9.[/mm]
>
> Genau.
>
> > Zumindest mit der einen Primitivwurzel.
> > Wenn ich jetzt das gleiche nochmal mit einer anderen
> > Primitivwurzel mache, bekomme ich ja wieder entsprechend 9
> > Untergruppen. Allerdings sollten die doch Isomorph (oder
> > sogar gleich?) zu den vorher gefundenen sein oder? Gibt es
> > nicht immer nur, bis auf Isomorphie, eine endliche
> > zyklische Gruppe?
>
> Sie sind sogar gleich. Wenn du die zyklische Gruppe
> schreibst als [mm]\IZ/m\IZ = \{ 0, \dots, m - 1 \}[/mm], siehst du,
> dass das kleinste Element [mm]\neq 0[/mm] einer jeden
> (nicht-trivialen) Untergruppe ein Teiler von [mm]m[/mm] ist und die
> Untergruppe erzeugt.
>
> > Als Antwort hätte ich jetzt jedenfalls geschrieben, dass
> > es 9 Zwischenkörper gibt, die alle normal sind.
>
Ich muss das nochmal revidieren. Wenn ich das über [mm] \tau [/mm] berechne (also die Anzahl der Teiler) dann bezieht das ja immer 1 mit ein, aber [mm] (\mathbb{Z}/1\mathbb{Z})^{\times} [/mm] gibt es in dem Sinne ja nicht. Also müssten es 8 Untergruppen sein, wobei ein davon natürlich [mm] (\mathbb{Z}/37\mathbb{Z})^{\times} [/mm] selbst ist, insgesamt also 7 echte Zwischenkörper. Sehe ich das richtig?
> Genau.
>
> LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:20 Fr 01.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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