Untermannigfaltigkeit < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:06 Do 19.04.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
(i) Die ($n-1$)-dimensionale Einheitsphäre [mm] $S^{n-1} [/mm] := [mm] \{x \in \IR: ||x||=1\}$ [/mm] ist eine ($n-1$) dimensionale Untermannigfalt im [mm] $\IR^n$. [/mm]
(ii) Der 2-dimensionale Torus [mm] $T^2$ [/mm] mit Radius $r, R (R >r >0)$, welcher durch Rotation der Kreislinie [mm] $\{\vektor{x(t) \\ z(t)} := \vektor{R + \cos{t} \\ r \sin{t}} | t \in \IR \}$
[/mm]
um die $z$-Achse entsteht, ist eine 2-dimensionale Untermannigfalt des [mm] $\IR^3$. [/mm] |
Ich dachte mir (i) zu beweisen mit der Beschreibung durch lokaler Parametrisierung. Wir hatten in der Vorlesung vier äquivalente Beschreibungen, die eine Untermannigfalt definieren.
Sei [mm] $a\in [/mm] M$ beliebig, den nehme eine offene Umgebung um a mit $U [mm] \subseteq \IR^n$. [/mm] Setze T... Da hänge ich jetzt. Hat jmd da einen Tipp?
Gruß,
Ana-Lena
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:34 Do 19.04.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Ana-Lena!
> Zeigen Sie:
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> (i) Die ([mm]n-1[/mm])-dimensionale Einheitsphäre [mm]S^{n-1} := \{x \in \IR: ||x||=1\}[/mm]
> ist eine ([mm]n-1[/mm]) dimensionale Untermannigfalt im [mm]\IR^n[/mm].
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> (ii) Der 2-dimensionale Torus [mm]T^2[/mm] mit Radius [mm]r, R (R >r >0)[/mm],
> welcher durch Rotation der Kreislinie [mm]\{\vektor{x(t) \\ z(t)} := \vektor{R + \cos{t} \\ r \sin{t}} | t \in \IR \}[/mm]
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> um die [mm]z[/mm]-Achse entsteht, ist eine 2-dimensionale
> Untermannigfalt des [mm]\IR^3[/mm].
> Ich dachte mir (i) zu beweisen mit der Beschreibung durch
> lokaler Parametrisierung. Wir hatten in der Vorlesung vier
> äquivalente Beschreibungen, die eine Untermannigfalt
> definieren.
>
> Sei [mm]a\in M[/mm] beliebig, den nehme eine offene Umgebung um a
> mit [mm]U \subseteq \IR^n[/mm]. Setze T... Da hänge ich jetzt. Hat
> jmd da einen Tipp?
Tipp: n-dimensionale Polarkoordinaten. Eine der Koordinaten, nämlich der Radius, ist auf der Einheitssphäre konstant 1, also bleiben n-1 Koordinaten übrig.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Fr 20.04.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
Hi Rainer,
das klingt sehr gut an. Meine Definition lautet:
M [mm] \subseteq \IR^n [/mm] heißt k-dim. Untermannigfalt (ohne Rand) gdw [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] M [mm] \exists [/mm] offene Umg. U [mm] \subseteq \IR^n [/mm] (von a) und offene Teilmenge T [mm] \subseteq \IR^k [/mm] und eine Immersion [mm] \Phi [/mm] : T [mm] \to \IR^n [/mm] so dass [mm] \Phi [/mm] die Menge T homöomorph auf [mm] \Phi [/mm] (T) = M [mm] \cap [/mm] U abbildet.
Wie bekomme ich denn jetzt so eine offene Umgebung U? Ich zeige außerdem, dass mein gefundenes [mm] \Phi [/mm] eine Immersion ist und T auf M abbildet. Naja, stetig diffbar scheint [mm] \Phi [/mm] ja zu sein. Für die Injektivität nehme ich nun an, dass a != b und f(a) = f(b) und führe es auf ein Widerspruch?!
Vielen Dank schonmal.
Lg,
Ana-Lena
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 Sa 21.04.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Ana-Lena!
> das klingt sehr gut an. Meine Definition lautet:
>
> M [mm]\subseteq \IR^n[/mm] heißt k-dim. Untermannigfalt (ohne Rand)
> gdw [mm]\forall a \in M \exists[/mm] offene Umg. [mm]U \subseteq \IR^n[/mm]
> (von a) und offene Teilmenge T [mm]\subseteq \IR^k[/mm] und eine
> Immersion [mm]\Phi : T \to \IR^n[/mm] so dass [mm]\Phi[/mm] die Menge T
> homöomorph auf [mm]\Phi (T) = M \cap U[/mm] abbildet.
>
> Wie bekomme ich denn jetzt so eine offene Umgebung U? Ich
> zeige außerdem, dass mein gefundenes [mm]\Phi[/mm] eine Immersion
> ist und T auf M abbildet. Naja, stetig diffbar scheint [mm]\Phi[/mm]
> ja zu sein. Für die Injektivität nehme ich nun an, dass a
> != b und f(a) = f(b) und führe es auf ein Widerspruch?!
Ich würde das über die explizite Formulierung der n-dim. Polarkoordinaten machen, wie du sie z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier findest. Diese Formulierung ist zwar nicht überall injektiv, aber dort wo sie es nicht sind, kannst du durch ein Änderung der Parametrisierung eine injektive Abbildung angeben. (Beispiel n=3: die üblichen Polarkoordinaten sind an den Polen nicht injektiv, aber durch Vertauschung der z-Achse mit der x- oder y-Achse bekommst du eine Parametrisierung, die an zwei andere Punkten nicht injektiv ist.)
Mit dieser Einschränkung sdind die Polarkoordinaten bijektiv und sogar ein Homöomorphismus, weil sie ebenso wie ihre Umkehrfunktion stetig diff'bar sind.
Nennen wir diese Polarkoordinaten [mm] $f(r,\theta_1,\dots,\theta_{n-1})$. [/mm] Zu jedem Punkt [mm] $a\in [/mm] M$ gibt es also einen Satz von $(n-1)$ Winkeln [mm] $\theta_1,\dots,\theta_{n-1}$, [/mm] die diesen Punkt in Polarkoordinaten eindeutig beschreiben:
[mm] a = \Phi(\theta_1,\dots,\theta_{n-1}) := f(1,\theta_1,\dots,\theta_{n-1})[/mm] .
($r=1$, weil der Punkt a auf der Sphäre mit Radius 1 liegt.)
Als Menge T nimmst du nun das kartesische Produkt offener Intervalle
[mm] T := (\theta_1-\delta,\theta_1+\delta)\times\dots\times(\theta_{n-1}-\delta,\theta_{n-1}+\delta) [/mm]
mit genügend kleinem [mm] $\delta [/mm] >0$, und außerdem
[mm] U:= f(V)[/mm] mit [mm]V := (1-\delta,1+\delta) \times T [/mm].
Den Nachweis der nötigen Bedingungen überlasse ich dir.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:22 Mo 23.04.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
Vielen Dank Rainer. Leider habe ich nicht mehr die Zeit, die Ueberpruefung zu posten, aber deine Hinweise haben mir sehr sehr geholfen! Danke.
Liebe Gruesse,
Ana-Lena
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:47 Mo 23.04.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
Gibts einen Ansatz fuer den Aufgabenteil (ii)?? Ist das nicht ein Spezialfall von (i)? Statt ||x|| + 1 mit ||x|| + r? Wie baue ich denn R noch rein?
Liebe Gruesse :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 Mo 23.04.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gibts einen Ansatz fuer den Aufgabenteil (ii)?? Ist das
> nicht ein Spezialfall von (i)? Statt ||x|| + 1 mit ||x|| +
> r? Wie baue ich denn R noch rein?
Nein, sowohl topologisch wie geometrisch ist ein Torus etwas ganz anderes als eine Kugel.
Tipp: Verwende Toruskoordinaten.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:08 Do 26.04.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
Hallo Rainer,
das war ein guter Tipp. :)
Danke!
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