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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Untermannigfaltigkeit, TpM
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Untermannigfaltigkeit, TpM: Tangentialraum
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:43 Do 02.10.2014
Autor: YuSul

Aufgabe
Zeigen Sie, dass

[mm] $M:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3| x^2+y^2+z=0 \text{und} z^2=1\}$ [/mm] eine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit des [mm] $\mathbb{R}^3$ [/mm] ist und geben Sie eine Basis des Tangentialraumes $T_pM$ am Punkt [mm] $p=(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}, -1)\in\mathbb{R}^3$ [/mm] an.



Hi,

um zu zeigen, dass M eine 1-dimensinonale Untermannigfaltigkeit ist würde ich den Satz vom regulären Wert anwenden. Ich bestimme also den Gradienten, welcher ungleich Null sein muss. Dies ist offensichtlich der Fall:

[mm] $\operatorname{grad} M=\begin{pmatrix}2x\\2y\\1\end{pmatrix}\neq [/mm] 0$

Kann ich an dem Gradienten nun auch die Dimension der Untermannigfaltigkeit ablesen? Ist sie 1, weil sich im dritten Eintrag des Gradienten nichts ändert?

Danke.

        
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Untermannigfaltigkeit, TpM: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:27 Do 02.10.2014
Autor: andyv

Hallo

Satz vom regulären Wert ist eine gute Idee, allerdings bestimmst du nicht den Gradienten von M, sondern die Jacobi-Matrix von einer geeigneten Funktion, die auf einer offenen Teilmenge des [mm] $\IR^3$ [/mm] definiert ist und untersuchst ihren Rang . Die Dimension der Mannigfaltigkeit ergibt sich aus der Dimension der Zielmenge dieser Funktion, in diesem Fall ist das 3-2.

Liebe Grüße

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Untermannigfaltigkeit, TpM: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:32 Do 02.10.2014
Autor: YuSul

Dann betrachte ich also zum Beispiel die Funktion

[mm] $f(x,y,z)=x^2+y^2+z$ [/mm]

wobei [mm] $z^2=1$ [/mm]

Hier wären Gradient und Jacobi-Matrix doch identisch, oder?

[mm] $Df(x,y,z)=\begin{pmatrix} 2x\\2y\\1\end{pmatrix}$ [/mm]



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Untermannigfaltigkeit, TpM: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:53 Do 02.10.2014
Autor: andyv

Ich habe jetzt eher an eine vektorwertige Funktion gedacht.

Natürlich könnte man auch M als Vereinigung von zwei Mannigfaltigkeiten  [mm] M_{\pm}$ [/mm] auffassen. Zu zeigen wäre dann, dass [mm] $M_{\pm}=\{(x,y,z)|x^2+y^2\pm 1=0\}$ [/mm] eindimensionale Umf sind. Ferner wäre zu begründen, wieso hieraus folgt, dass M eine UMf ist.

Liebe Grüße

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Untermannigfaltigkeit, TpM: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:04 Do 02.10.2014
Autor: YuSul

Entschuldigung, aber ich verstehe gerade nicht so ganz was du mit vektorwertige  Funktion meinst.


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Untermannigfaltigkeit, TpM: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:10 Do 02.10.2014
Autor: andyv

Das ist (bei mir) eine Funktion, die als Zielmenge  [mm] $\IR^n$, $n\ge [/mm] 2$ (oder eine Teilmenge) hat.

Liebe Grüße

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Untermannigfaltigkeit, TpM: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:16 Do 02.10.2014
Autor: YuSul

Ich soll nun also eine zwei dimensionale Abbildung angeben, also eine Funktion

[mm] $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$ [/mm]



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Untermannigfaltigkeit, TpM: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:41 Do 02.10.2014
Autor: andyv

ja, mit [mm] $f^{-1}(0)=M$. [/mm]

Liebe Grüße

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Untermannigfaltigkeit, TpM: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:46 Do 02.10.2014
Autor: YuSul

Ich verstehe irgendwie nie so recht was nun damit gemeint ist. Das kommt auch in dem Satz vom regulären Wert vor mit [mm] $f^{-1}$. [/mm] Heißt das, das ich jetzt die Umkehrfunktion bestimmen soll und dann da den Wert Null einsetzen muss?

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Untermannigfaltigkeit, TpM: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:54 Do 02.10.2014
Autor: andyv

Nein, das ist das Urbild von 0, also [mm] $f^{-1}(0):=\{x|f(x)=0\}$. [/mm]

Liebe Grüße


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Untermannigfaltigkeit, TpM: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:58 Do 02.10.2014
Autor: YuSul

Ahhh

Und ich muss jetzt die Funktion so angeben, dass für alle [mm] $x\in [/mm] M$ $f(x)=0$ ist?

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Untermannigfaltigkeit, TpM: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:02 Fr 03.10.2014
Autor: andyv

korrekt.

Liebe Grüße

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Untermannigfaltigkeit, TpM: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:10 Fr 03.10.2014
Autor: YuSul

Da M nur Tripel enthält für die [mm] x^2+y^2+z=0 [/mm] gilt, könnte ich nun ja

[mm] $f(x,y,z)=x^2+y^2+z$ [/mm] nehmen. Das bildet dann natürlich auch immer auf Null ab. Aber ich suche eine Funktion die nur von zwei Variablen abhängt.

Dann müsste es

[mm] $f(x,y)=x^2+z^2-1$ [/mm]

tun?

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Untermannigfaltigkeit, TpM: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:28 Fr 03.10.2014
Autor: andyv

Nein,

1. Die Funktion sollte schon auf einer offenen Teilmenge des [mm] $\IR^3$ [/mm] definiert sein, da ja M eine Teilmannigfaltigkeit von [mm] $\IR^3$ [/mm] ist.
2. Es muss sowohl $f(x)=0$ [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M$, als auch $x [mm] \in [/mm] M$ [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in $\IR^3 [/mm] mit $f(x)=0$ gelten. bei deiner ersten Funktion ist nur eine Inklusion richtig.

Um das ein wenig abzukürzen: Man könnte die Funktion f: [mm] $\IR^3 \rightarrow \IR^2$, f(x,y,z)=\vektor{x^2+y^2+z \\ z^2-1} [/mm] betrachten. Für diese gilt offenbar [mm] M=f^{-1}(0). [/mm] Zu zeigen ist nun, dass [mm] $df_x$ $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M$ surjektiv ist.

Liebe Grüße

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Untermannigfaltigkeit, TpM: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:37 Fr 03.10.2014
Autor: YuSul

Ok.

Ich stelle also dann die Jacobi-Matrix auf:

[mm] $Df(x,y,z)=\begin{pmatrix}2x&2y&1\\0&0&2z\end{pmatrix}$ [/mm]

Edit: Quatsch...

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Untermannigfaltigkeit, TpM: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:02 Fr 03.10.2014
Autor: andyv

Das ist richtig. Sind die Zeilen für $(x,y,z) [mm] \in [/mm] M$ linear unabhängig?

Liebe Grüße

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Untermannigfaltigkeit, TpM: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:07 Fr 03.10.2014
Autor: YuSul

Ja, die Zeilen der Matrix sind linear unabhängig.

Bezug
                                                                                                                                        
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Untermannigfaltigkeit, TpM: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:13 Fr 03.10.2014
Autor: andyv

Das sollte man natürlich auch begründen.

Liebe Grüße

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Untermannigfaltigkeit, TpM: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:18 Fr 03.10.2014
Autor: YuSul

Naja, offensichtlich stimmen die erste und die zweite Zeile nur überein wenn man beide mit Null multiplizieren würde.
Da die zweite Zeile in den ersten beiden Einträgen eine Null hat und die erste Zeile in diesen Einträgen immer von Null verschieden ist.

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Untermannigfaltigkeit, TpM: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:50 Fr 03.10.2014
Autor: YuSul

Hat hier jemand noch eine Anmerkung für micht?

:)

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Untermannigfaltigkeit, TpM: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:03 Fr 03.10.2014
Autor: andyv

Hallo,

die Frage ist nicht, ob die Zeilen gleich sein können, sondern ob sie linear abhängig sind. Z. B. sind die Zeilen für z=0 zwar nicht gleich, aber linear abhängig.

Liebe Grüße

Bezug
                                                                                                                                                                
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Untermannigfaltigkeit, TpM: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:06 Sa 04.10.2014
Autor: YuSul

Ja, schon klar. Das meinte ich damit. Also "bis auf ein vielfaches gleich" und das sie für Null linear abhängig sind ist ja klar.

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Untermannigfaltigkeit, TpM: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:19 Sa 04.10.2014
Autor: YuSul

Über weitere Hilfe wäre ich sehr dankbar. :)

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Untermannigfaltigkeit, TpM: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:12 Sa 04.10.2014
Autor: andyv

Hallo,

wenn ich dich richtig verstanden habe, lautet deine Behauptung [mm] $r\cdot [/mm] v=s [mm] \cdot [/mm] w [mm] \gdw [/mm] r=s=0$, wenn $v$ und $w$ die Zeilen sind und $(r,s) [mm] \in \IR^2$. [/mm]
Und das ist für beliebige $(x,y,z)$ falsch, z.B. für die Punkte $(x,y,0)$.

Jedenfalls sind die beiden Zeilen genau dann linear abhängig, wenn $z=0$ oder $x=y=0$. In beiden Fällen ist aber $(x,y,z) [mm] \not\in [/mm] M$, somit ist das Differenzial [mm] $df_x$ [/mm] surjektiv für alle $x [mm] \in M=f^{-1}(0)$, [/mm] also $0$ regulärer Wert.

Liebe Grüße

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Untermannigfaltigkeit, TpM: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:20 Sa 04.10.2014
Autor: YuSul

Danke.

Ok, also ist die gewählte Abbildung surjektiv und somit M eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit.

Nun muss ich noch die Basis an den Tangentialraum p bestimmen.

Der Punkt p liegt auf jeden Fall schon einmal in M.

Wie kann ich hier nun eine Basis bestimmen?

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Untermannigfaltigkeit, TpM: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:32 Sa 04.10.2014
Autor: andyv


> Ok, also ist die gewählte Abbildung surjektiv und somit M
> eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit.
>  

Das Differential genauer genommen, f ist nicht surjektiv.

Den Tangentialraum kannst du nun ganz angenehm via $T_pM=Kern \ [mm] df_p$ [/mm] bestimmen. Anders gesprochen: Die Zeilenvektoren, bei p ausgewertet, bilden eine Basis von [mm] $T_pM^\perp$, [/mm] eine Basis von $T_pM$ ist durch das Kreuzprodukt der Zeilenvektoren gegeben.

Liebe Grüße

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Untermannigfaltigkeit, TpM: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:38 Sa 04.10.2014
Autor: YuSul

Stimmt, wir haben ja gezeigt, dass die Jacobi-Matrix surjektiv ist.

Ich setze nun also einfach den Punkt in die Jacobi-Matrix ein:

[mm] $\begin{pmatrix}2x&2y&1\\0&0&-1\end{pmatrix}$ [/mm]

Und berechne das Kreuzprodukt aus der ersten und zweiten Zeile:

[mm] $(\sqrt{2}\,\,\, \sqrt{2}\,\,\, 1)\begin{pmatrix}0\\0\\-2\end{pmatrix}=-2$ [/mm]

Also:

[mm] $\langle\{-2\}\rangle$ [/mm]



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Untermannigfaltigkeit, TpM: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:46 Sa 04.10.2014
Autor: andyv

Das Kreuzprodukt ist (im Gegensatz zum Skalarprodukt, das du berechnest) ein äußeres Produkt, das Ergebnis ist wieder ein Element von [mm] $\IR^3$. [/mm]

Dein Ergebnis kann auch schlecht stimmen, da $T_pM [mm] \subset \IR^3$. [/mm]

Liebe Grüße

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Bezug
Untermannigfaltigkeit, TpM: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:54 Sa 04.10.2014
Autor: YuSul

Ja, mein Ergebnis kam mir schon suspekt vor, da wenn ich nur ein Basiselement habe ich ja auch eigentlich die 1 hätte nehmen können.

Meinst du es dann so:

[mm] $\begin{pmatrix} \sqrt{2}&\sqrt{2}&1\\0&0&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sqrt{2}&0\\\sqrt{2}&0\\1&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&-2\\-2&4\end{pmatrix}$ [/mm]

Ansonsten verstehe ich deinen Beitrag wohl leider nicht. :(

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Untermannigfaltigkeit, TpM: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:00 So 05.10.2014
Autor: andyv

Nein, eher so was: [mm] $\vektor{0\\ 0 \\ -2} \times \vektor{\sqrt 2\\ \sqrt 2 \\ 1}$ [/mm]

Aber wenn dir das nichts sagt, kannst du auch [mm] $\begin{pmatrix} \sqrt{2}&\sqrt{2}&1\\0&0&-2\end{pmatrix}x=0$ [/mm] mit $\ [mm] x\in \IR^3$ [/mm] lösen.

Liebe Grüße


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Untermannigfaltigkeit, TpM: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:09 So 05.10.2014
Autor: YuSul

Ok. Dann hatte ich es sogesehen beim ersten mal richtig nur die falsche Multiplikation gewählt. :)
Habe gerade nachgesehen wie man mit dem Kreuzprodukt rechnet.

Das Ergebnis sollte

[mm] $\begin{pmatrix}-2\sqrt{2}\\-2\sqrt{2}\\0\end{pmatrix}$ [/mm]

sein.

Hoffe ich...

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Untermannigfaltigkeit, TpM: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:37 So 05.10.2014
Autor: andyv

Bis auf einen Vorzeichenfehler ist das jetzt richtig.

Liebe Grüße

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Untermannigfaltigkeit, TpM: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:42 So 05.10.2014
Autor: YuSul

Super.

Vielen Dank für deine Hilfe.

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