Untermannigfaltigkeit m Param. < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:05 Sa 26.05.2012 | | Autor: | WWatson |
| Aufgabe | Wir betrachten für jedes c [mm] \in \IR [/mm] die durch
[mm] M_{c} [/mm] = {(x, y, z) [mm] \in \IR^{3} [/mm] | [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] - [mm] z^{2} [/mm] = c}
definierte Teilmenge des [mm] \IR^{3}. [/mm] Für welche Parameterwerte c ist [mm] M_{c} [/mm] eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit des [mm] \IR^{3}? [/mm] |
Hallo zusammen,
ich bin bei der Bearbeitung dieser Aufgabe auf ein Problem gestoßen.
Ich habe zunächst das Differential von
f := [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] - [mm] z^{2} [/mm] - c = 0
betrachtet:
Df = (2x, 2y, -2z)
Und jetzt folgende Fallunterscheidung vorgenommen:
c > 0: rk(Df) = 1, da
[mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] - [mm] z^{2} [/mm] = c > 0,
also muss mindestens x oder y ungleich 0 sein, woraus bereits rk(Df) = 1 folgt, somit ist die betrachtete Teilmenge für c > 0 eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit.
c < 0: rk(Df) = 1, mit Argumentation analog zu oben, da ja für c < 0 wenigstens z ungleich 0 sein muss. Also ist die betrachtete Teilmenge für c < 0 ebenfalls eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit.
c = 0: Hier vermute ich, dass die Teilmenge keine Untermannigfaltigkeit ist, da
[mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] = [mm] z^{2}
[/mm]
ja auch erfüllt ist, wenn x, y und z gleich 0 sind und daher das Differential Rang 0 hat. Mein Problem an dieser Stelle ist aber, dass die Bedingung, dass das Differential maximalen Rang hat, ja nur hinreichend, aber nicht notwendig ist. Da wir auch in der Vorlesung nur Beispiele für Teilmengen besprochen haben, die Untermannigfaltigkeiten sind, weiß ich jetzt eben nicht so recht, wie ich formal korrekt zeigen kann, dass etwas keine Untermannigfaltigkeit ist.
Kann mir da eventuell jemand von Euch einen Tipp geben?
Viele Grüße,
WWatson
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Mo 28.05.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Wir betrachten für jedes c [mm]\in \IR[/mm] die durch
>
> [mm]M_{c} = \{(x, y, z) \in \IR^{3} \mid x^{2} + y^{2} - z^{2} = c\}[/mm]
>
> definierte Teilmenge des [mm]\IR^{3}.[/mm] Für welche
> Parameterwerte c ist [mm]M_{c}[/mm] eine 2-dimensionale
> Untermannigfaltigkeit des [mm]\IR^{3}?[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> ich bin bei der Bearbeitung dieser Aufgabe auf ein Problem
> gestoßen.
> Ich habe zunächst das Differential von
>
> f := [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] - [mm]z^{2}[/mm] - c = 0
>
> betrachtet:
>
> Df = (2x, 2y, -2z)
>
> Und jetzt folgende Fallunterscheidung vorgenommen:
>
> c > 0: rk(Df) = 1, da
>
> [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] - [mm]z^{2}[/mm] = c > 0,
>
> also muss mindestens x oder y ungleich 0 sein, woraus
> bereits rk(Df) = 1 folgt, somit ist die betrachtete
> Teilmenge für c > 0 eine 2-dimensionale
> Untermannigfaltigkeit.
>
> c < 0: rk(Df) = 1, mit Argumentation analog zu oben, da ja
> für c < 0 wenigstens z ungleich 0 sein muss. Also ist die
> betrachtete Teilmenge für c < 0 ebenfalls eine
> 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit.
>
> c = 0: Hier vermute ich, dass die Teilmenge keine
> Untermannigfaltigkeit ist, da
>
> [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] = [mm]z^{2}[/mm]
>
> ja auch erfüllt ist, wenn x, y und z gleich 0 sind und
> daher das Differential Rang 0 hat. Mein Problem an dieser
> Stelle ist aber, dass die Bedingung, dass das Differential
> maximalen Rang hat, ja nur hinreichend, aber nicht
> notwendig ist. Da wir auch in der Vorlesung nur Beispiele
> für Teilmengen besprochen haben, die
> Untermannigfaltigkeiten sind, weiß ich jetzt eben nicht so
> recht, wie ich formal korrekt zeigen kann, dass etwas keine
> Untermannigfaltigkeit ist.
> Kann mir da eventuell jemand von Euch einen Tipp geben?
Hast du dir schonmal überlegft, wie die Menge aussieht?
Dazu der Tipp: die Menge ist offensichtlich rotationssymmetrisch um die z-Achse. Es genügt also, den Schnitt mit der x-z-Ebene zu betrachten ($y=0$). Wie sieht dieser Schnitt im Fall $c=0$ aus?
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:18 Di 29.05.2012 | | Autor: | WWatson |
Hallo rainerS,
vielen Dank! Die Menge ist, wenn mein Plot stimmt, eine Art "doppeltes Rotationsparaboloid", habe das nur für den Fall c = 0 geplottet.
Ich habe es jetzt so gezeigt, dass ich zwei Kurven in der Untermannigfaltigkeit gewählt und gezeigt habe, dass die Tangentialvektoren in 0 zwar im Tangentialraum liegen, deren Summe aber nicht, was den Vektorraumaxiomen des Tangentialraums widerspricht, also kann die Menge für c = 0 keine Mannigfaltigkeit sein.
Nochmals vielen Dank!
Viele Grüße,
WWatson
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:50 Mi 30.05.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo rainerS,
>
> vielen Dank! Die Menge ist, wenn mein Plot stimmt, eine Art
> "doppeltes Rotationsparaboloid", habe das nur für den Fall
> c = 0 geplottet.
Nein, für den Fall c=0 ist es ein Doppelkegel. Den kannst du als Grenzfall des Rotationshyperboloids auffassen.
Viele Grüße
Rainer
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