Untermannigfaltigkeit zeigen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR² \to \IR [/mm] mit [mm] f(x,y)=(x^2+y^2+2x)^2-4(x^2+y^2)
[/mm]
Für welche c [mm] \in \IR [/mm] ist [mm] f^{-1}(c) [/mm] eine UMFK? |
Hallo,
die Aufgabe würde ich mit dem Satz vom regulären Wert lösen.
Dafür habe ich damit angefangen, den Gradienten von f zu bestimmen und diesen für bestimmte (x,y) auf Surjektivität zu untersuchen (um die singulären Punkte von f zu finden).
Hierbei habe ich festgestellt, dass der Gradient zum Beispiel für alle (x,0) [mm] \in \IR² [/mm] nicht surjektiv ist, das wäre aber ein großes Problem, weil f dann keine regulären Werte hätte, weil ja alle Werte ein (x,0) in ihrer Faser enthalten.
Kann mir jemand erklären, wo ich den ersten Fehler gemacht habe? Bisher war das Differential bei solchen Aufgaben bei uns auch immer skalarwertig oder ne Funktionalmatrix, ich hab aber irgendwo gelesen, dass man im vorliegenden Fall einfach den Gradienten nehmen soll... funktioniert nur irgendwie nicht!
Vielen Dank im Voraus,
Hannes
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:33 Sa 12.06.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]f:\IR² \to \IR[/mm] mit [mm]f(x,y)=(x^2+y^2+2x)^2-4(x^2+y^2)[/mm]
>
> Für welche c [mm]\in \IR[/mm] ist [mm]f^{-1}(c)[/mm] eine UMFK?
Was heisst UMFK? Umkehrfunktion? Und insb. was bedeutet es, dass [mm] $f^{-1}(c)$ [/mm] in $c$ eine UMFK ist?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:48 Sa 12.06.2010 | | Autor: | karlhungus |
UMFK bedeutet UnterMannigFaltigKeit (siehe Thema).
Dass [mm] f^{-1}(c) [/mm] eine UMFK ist, heißt, dass jenes Objekt, welches die Urbilder aller f(c) bilden, eine UMFK ist.
Da war ich wohl ein bisschen schreibfaul.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:37 Sa 12.06.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> UMFK bedeutet UnterMannigFaltigKeit (siehe Thema).
Oh, das hatte ich voellig vergessen... Ich hatte den Artikel ein paar Minuten angeklickt bevor ich ihn gelesen hab, und in der Zwischenzeit vergessen dass ich ihn angeklickt hatte weil Untermannigfaltigkeit im Thema vorkam...
> Da war ich wohl ein bisschen schreibfaul.
Und ich ein bisschen lesefaul :D
LG Felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:26 Sa 12.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Sei [mm]f:\IR² \to \IR[/mm] mit [mm]f(x,y)=(x^2+y^2+2x)^2-4(x^2+y^2)[/mm]
>
> Für welche c [mm]\in \IR[/mm] ist [mm]f^{-1}(c)[/mm] eine UMFK?
> Hallo,
>
> die Aufgabe würde ich mit dem Satz vom regulären Wert
> lösen.
>
> Dafür habe ich damit angefangen, den Gradienten von f zu
> bestimmen und diesen für bestimmte (x,y) auf
> Surjektivität zu untersuchen (um die singulären Punkte
> von f zu finden).
>
> Hierbei habe ich festgestellt, dass der Gradient zum
> Beispiel für alle (x,0) [mm]\in \IR²[/mm] nicht surjektiv ist, das
> wäre aber ein großes Problem, weil f dann keine
> regulären Werte hätte, weil ja alle Werte ein (x,0) in
> ihrer Faser enthalten.
>
> Kann mir jemand erklären, wo ich den ersten Fehler gemacht
> habe? Bisher war das Differential bei solchen Aufgaben bei
> uns auch immer skalarwertig oder ne Funktionalmatrix, ich
> hab aber irgendwo gelesen, dass man im vorliegenden Fall
> einfach den Gradienten nehmen soll... funktioniert nur
> irgendwie nicht!
>
> Vielen Dank im Voraus,
> Hannes
Das ist für einen Hobbymathematiker wie mich, ziemlich heftiger Stoff, zumal ich nie richtig Vorlesungen über Mannigfaltigkeiten (irgendwann einmal ein Semester Lie-Gruppen) gehört habe, aber ich versuch es trotzdem einmal. Also nicht böse sein, wenn's daneben geht. Wenn ich den Ausführungen der Wiki folge, dann verstehe ich das wie folgt:
Der Satz vom regulären Punkt sagt in etwa aus, dass, wenn für [mm]f:M\to N[/mm] [mm]n\in N[/mm] ein regulärer Wert ist, [mm]f^{-1}(n)[/mm] eine Untermannigfaltigkeit ist.
[mm]n[/mm] ist regulärer Wert, wenn das Differential [mm]Df[/mm] bei [mm]n[/mm] surjektiv zwischen den Tangentialräumen aus [mm]T_{f^{-1}(n)}M[/mm] und dem Tangentialraum [mm]T_nN[/mm] vermittelt.
Dazu sollte man hier im ersten Schritt die partiellen Ableitungen [mm]f_x[/mm] und [mm]f_y[/mm] bilden und dann prüfen, ob es zu einem gegebenen [mm]w[/mm] immer Lösungen für [mm]u[/mm] und [mm]v[/mm] für die Gleichung [mm]f_x*u+f_y*v=w[/mm] gibt. Da schlägt aber hier nur dann fehl, wenn gleichzeitig [mm]f_x=0[/mm] und [mm]f_y=0[/mm]. Die Stellen, an denen das passieren kann, sollten [mm](0,0)[/mm] und [mm](0,-3)[/mm] sein. Diese sollten zu Werten von [mm]0[/mm] und [mm]-27[/mm] für [mm]c[/mm] führen, die nicht zu einer Untermannigfaltigkeit führen.
Was meinst Du?
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:50 Sa 12.06.2010 | | Autor: | karlhungus |
...ich meine, dass wir erstmal das argentinienspiel anschauen sollten.
aber trotzdem vielen dank, ich werde mich definitiv später nochmal an die aufgabe setzen und hier etwas dazu schreiben, vielleicht schaff ich es auch erst morgen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:23 So 13.06.2010 | | Autor: | karlhungus |
hey gfm,
im prinzip ist das genau der weg, den ich auch versuchen wollte, bei der untersuchung auf surjektivität hab ich mich irgendwie nur etwas ungeschickt angestellt. bei mir sind die kritischen punkte allerdings bei (0,0) und (-3,0), ich vermute mal, dass du das auch gemeint hast, weil wir wiederum die selben werte für c haben 
vielen dank und bis zum nächsten hänger,
hannes
ps: mist, das war wohl eher eine "mitteilung"
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:40 Di 15.06.2010 | | Autor: | gfm |
> hey gfm,
>
> im prinzip ist das genau der weg, den ich auch versuchen
> wollte, bei der untersuchung auf surjektivität hab ich
> mich irgendwie nur etwas ungeschickt angestellt. bei mir
> sind die kritischen punkte allerdings bei (0,0) und (-3,0),
> ich vermute mal, dass du das auch gemeint hast, weil wir
> wiederum die selben werte für c haben
>
Ja, so herum meinte ich das.
LG
gfm
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