Untermoduln U und W < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:25 So 28.11.2004 | | Autor: | Stephie |
Hallöchen!!!
Hab mal wieder eine Frage, bei der das größte Problem ist, dass ich nicht weiß wie ich anfangen soll und was genau zu zeugen ist.
Man zeige, dass für Untermoduln U und W des R-Moduls V die Menge U [mm] \cup [/mm] W genau dann ein Untermodul von V ist, wenn U [mm] \subset [/mm] W oder W [mm] \subset [/mm] U gilt.
DANKE
Gruß Stephie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:54 So 28.11.2004 | | Autor: | andreas |
hi Stephi
diese aussage gilt sogar schon für gruppen und untergruppen.
die eine richtung ist einfach. also seien nun $U [mm] \not\subset [/mm] W$ und $W [mm] \not\subset [/mm] U$, d.h. es gibt $u [mm] \in [/mm] U [mm] \setminus [/mm] W$ und $ w [mm] \in [/mm] W [mm] \setminus [/mm] U$. angenommen $U [mm] \cup [/mm] W$ sei untergruppe, dann muss diese insbesonder abgeschlossen bezüglich addition sein, d.h. $u + w [mm] \in [/mm] U [mm] \cup [/mm] W$. angenommen $u + w [mm] \in [/mm] U$, dann gilt aber auch $-u [mm] \in [/mm] U$ (da $U$ untergruppe) und $(-u) + u + w = w [mm] \in [/mm] U$. widerspruch. analog führt man den anderen fall zum widerspruch. probiere das doch mal.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Mo 29.11.2004 | | Autor: | Stephie |
Hallöchen!!!
Erstmal Danke.
Leider bereitet mir die Fragestellung immernoch Probleme. Irgendwie seh ich nicht durch was ich eigentlich beantworten soll.
Vielleicht kannst du mir ja nochmal die Frage ansich etwas näher bringen.
Was muss ich denn neben der Abgeschlossenheit bzgl. Multiplikation noch alles beweisen, alle Gruppenaxiome???
DANKE
Gruß Krümel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:39 Mo 29.11.2004 | | Autor: | andreas |
hi Stephie
ich hoffe ich habe dich mit meiner antwort nicht überrollt!
hier noch ein versuch:
also, du willst zeigen, dass $U [mm] \cup [/mm] W$ ist untermodul $ [mm] \; \Longleftrightarrow \;$ [/mm] $U [mm] \subset [/mm] W$ oder $W [mm] \subset [/mm] U$
den beweis kann man nun in zwei teile aufspalten:
[m] " \Longleftarrow ":[/m] es gilt $U [mm] \subset [/mm] W$, dann ist $U [mm] \cup [/mm] W = W$ (warum ist das ein untermodul?) oder es gilt $W [mm] \subset [/mm] U$, dann ist $U [mm] \cup [/mm] W = W$ (warum ist das ein untermodul?) und damit ist die eine richtung schon fertig!
[m] "\Longrightarrow": [/m] nun kannst du vorraussetzen, dass $U [mm] \cup [/mm] W$ ein untermodul ist und musst zeigen, dass $U [mm] \subset [/mm] W$ oder $W [mm] \subset [/mm] U$. da dies nicht ganz so einfach ist, kann man dies auch alternativ dadurch lösen, indem man zeigt, dass [m] \neg (U \subset W \vee W \subset U) \Longrightarrow \neg (U \cup W \textrm{ ist untermodul}) [/m] (das ist einfach eine äquivalente formulierung, dessen, was zu zeigen ist. mach dir das an einer wahreitstafel klar, wenn du mir das nicht glaubst  ) und die idee dafür kannst du im letzten post nachlesen. um zu zeigen, dass $U [mm] \cup [/mm] W$ kein ntermodul ist, genügt es ja zu zeigen, dass es sich dabei um keine additive gruppe handelt, denn wenn die menge keine (unter-)gruppe ist, kann die skalramultiplikation noch so toll funktionieren, die menge kann nie ein untermodul sein!
ich hoffe die antwort ist nicht zu chaotisch geworden und sie hilft dir etwas weiter, sonst frage einfach nochmal nach!
grüße
abdreas
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