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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:26 Mo 11.06.2007 | | Autor: | vohigu |
| Aufgabe | Sind die folgenden Mengen U Unterräume des jeweiligen K-Vektorraums V?
[mm] $U=\left\{ \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} \in \IR^{4} | x_1^2-3*x_3 + x_4 = 0 \right\}$ [/mm] ,K = R, V = R4. |
Ich bräuchte die Lösung dieser Aufgabe, und würde gerne wissen wie ich Zeige das ein Raum ein Unterraum eines Raums ist.
danke schon mal.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
ich denke mal, der Unterraum soll heissen:
[mm]U= \{\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} \in \IR^{4} | x_1^2 + 3x_3 + x_4 = 0 \},K = \IR, V = \IR^4[/mm]
Um nun zu zeigen, daß dies ein Unterraum ist, musst du zeigen, daß U abgeschlossen bezüglich Addition und abgeschlossen bezüglich Multiplikation mit einem Skalar ist, d.h.
1.) [mm]\forall x,y \in U: x+y\in U[/mm]
2.) [mm]\forall x\in U \forall \lambda\in\IR: \lambda x \in U[/mm]
Um zu widerlegen, daß es ein Unterraum ist, reicht ein Gegenbeispiel das 1.) oder 2.) nicht erfüllt.
Nun mach mal :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:50 Mo 11.06.2007 | | Autor: | vohigu |
Wie sieht denn ein Konkreter Lösungsweg aus, zu dieser Aufgabe?
Das die Addition und Multiplikation abgeschlossen sein müssen und das der Nullverktor vorhanden sein muss ist mir klar nur wie zeige ich das?
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Ok,
wir sagen also mal, wir wollen zeigen, U sei ein UR.
1.) z.z. U ist nicht leer (= Nullvektor liegt drin).
Tut er das, ja, denn:
Der Nullvektor ist [mm] \vektor{0\\0\\0\\0} [/mm] und wir müssen gucken, ob er die Bedingung des Unterraums erfüllt, die lautet hier:
[mm] x_1^2 -3x_3 + x_4 = 0[/mm]
Naja, wir wissen beim Nullvektor gilt [mm]x_1 = 0, x_3= 0, x_4=0[/mm] und damit [mm]x_1^2 -3x_3 + x_4 = 0^2 - 3*0 + 0 = 0[/mm].
Nun müssen wir noch die Abgeschlossenheit zeigen, erstmal die Multiplikation:
Also sei [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4} \in [/mm] U, dann gilt:
[mm]x_1^2 -3x_3 + x_4 = 0[/mm]
Wir müssen nun gucken, ob [mm]\lambda * \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4} = \vektor{\lambda*x_1\\\lambda*x_2\\\lambda*x_3\\\lambda*x_4}[/mm] ebenfalls in U liegt, d.h. ob dieser neue Vektor die UR-Bedingung erfüllt.
Wir müssen also gucken, ob gilt:
[mm](\lambda* x_1)^2 - 3(\lambda * x_3) + (\lambda* x_4) = 0[/mm]
Genauso bei der Addition:
Seien 2 Vektoren aus dem UR gegeben:
[mm]\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}[/mm] und [mm]\vektor{y_1\\y_2\\y_3\\y_4}[/mm]
Da beide Vektoren in U liegen, gilt:
[mm]x_1^2 -3x_3 + x_4 = 0[/mm] und
[mm]y_1^2 -3y_3 + y_4 = 0[/mm]
Nun musst du testen, ob die Summe der Beiden Vektoren, also [mm]\vektor{x_1 + y_1\\x_2 + y_2\\x_3 + y_3\\x_4 + y_4}[/mm] in U liegt, was gleichbedeutend damit ist zu zeigen, daß gilt:
[mm](x_1 + y_1)^2 -3(x_3 + y_3) + (x_4 + y_4) = 0[/mm].
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Um zu zeigen, daß U kein Unterraum ist, finde ein Gegenbeispiel.
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Dies sind die Beiden Möglichkeiten.
Sollte U kein Unterraum sein, findest du ein Gegenbeispiel meist eh, wenn du dir den ersten Teil (also das zeigen, daß U ein UR ist) genauer anschaust.
Nun versuchs mal, wenn du net weiterkommst, melde dich nochmal 
MfG,
Gono.
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