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| Aufgabe | es sei V ein Vektorraum und [mm] U_{1},U_{2} [/mm] seien Unterräume von V. Zeigen Sie:
[mm] U_{1}+U_{2}=U_{1} \cup U_{2} \gdw (U_{1} \subset U_{2} \vee U_{2} \subset U_{1}) [/mm] |
Mir ist nicht so ganz klar was hier gezeigt werden soll.
[mm] U_{1}+U_{2}=U_{1} \cup U_{2} [/mm] gilt nur wenn [mm] (U_{1} \subset U_{2} \vee U_{2} \subset U_{1}) [/mm] oder nur dann sind's Unterräume oder was?
Falls Vermutung 1 muß ich dann zeigen dass [mm] U_{1}+U_{2} [/mm] und [mm] U_{1} \cup U_{2} [/mm] jeweils Unterräume sind? Was ist die Idee für die Unterraumkriterien?
Vielen Dank im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:43 Mi 19.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
dass die [mm] U_i [/mm] Unterraeume sind ist vorrausgesetzt.
du sollst zeigen, dass wenn die Summe gleich der vereinigung ist dann einer der Unterraeume im anderen enthalten ist. Und die Umkehrung, Wenn einer im anderen enthalten, dann Summe= Vereinigung.
Gruss leduart
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Ich weiß, dass die Vereinigung im Allg. nicht Unterraum ist (und das leuchtet mir auch ein). Kann ich nun zeigen, dass die Unterräume gleich seien müssen und daraus auf die Teilmengeneigenschaft schließen? So auf die Art: es müssen alle [mm] U_{1} [/mm] auch in [mm] U_{2} [/mm] liegen, damit die Vereinigung gleich der Summe ist?
Oder denk ich mir da grad 'nen Quatsch zusammen?
Sorry für die blöde Nachfrage, und Danke für Deine Hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:57 Mi 19.11.2008 | | Autor: | erichlebt |
ich meine alle klein u aus [mm] U_{1} [/mm] müssen in [mm] U_{2} [/mm] liegen....
sorry, vertippt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:35 Mi 19.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich weiß, dass die Vereinigung im Allg. nicht Unterraum ist
> (und das leuchtet mir auch ein). Kann ich nun zeigen, dass
> die Unterräume gleich seien müssen und daraus auf die
> Teilmengeneigenschaft schließen? So auf die Art: es müssen
> alle [mm]U_{1}[/mm] auch in [mm]U_{2}[/mm] liegen, damit die Vereinigung
> gleich der Summe ist?
>
> Oder denk ich mir da grad 'nen Quatsch zusammen?
ich glaub', Dir ist die Aufgabe nicht ganz klar. Wenn man eine Äquivalenz $A [mm] \gdw [/mm] B$ zu zeigen hat, so hat man (eigentlich) zwei Richtungen zu beweisen:
1. $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$:
Hier setzt man voraus, dass $A$ gilt, und muss dann zeigen, dass dann auch $B$ stimmt!
2. $B [mm] \Rightarrow [/mm] A$:
Hier setzt man voraus, dass $B$ gilt, und muss dann zeigen, dass dann auch $A$ stimmt!
In Deiner Aufgabe:
Die Universalvoraussetzungen lauten:
[mm] $\bullet$ $\,V\,$ [/mm] sei ein Vektorraum
[mm] $\bullet$ [/mm] $ [mm] U_{1},U_{2} [/mm] $ seien Unterräume von [mm] $\,V\,$ [/mm]
Diese Voraussetzungen gelten in der Aufgabe immer. Behauptet wird nun:
Dann gilt:
[mm] $$\underbrace{U_{1}+U_{2}=U_{1} \cup U_{2}}_{\text{entspricht Aussage }A} \gdw \underbrace{(U_{1} \subset U_{2} \vee U_{2} \subset U_{1})}_{\text{entspricht Aussage }B}\,.$$ [/mm]
Also:
Zu zeigen ist
1.: (Mit den Universalvoraussetzungen, dass [mm] $\,V\,$ [/mm] ein Vektorraum ist mit [mm] $U_1,\,U_2$ [/mm] Unterräume von [mm] $\,V\,$:) [/mm] Unter der Voraussetzung, dass [mm] $U_{1}+U_{2}=U_{1} \cup U_{2}$ [/mm] gelte, folgt, dass [mm] $(U_{1} \subset U_{2} \vee U_{2} \subset U_{1})$.
[/mm]
Und zu zeigen ist auch
2.: (Mit den Universalvoraussetzungen, dass [mm] $\,V\,$ [/mm] ein Vektorraum ist mit [mm] $U_1,\,U_2$ [/mm] Unterräume von [mm] $\,V\,$:) [/mm] Unter der Voraussetzung, dass [mm] $(U_{1} \subset U_{2} \vee U_{2} \subset U_{1})$ [/mm] gelte, folgt, dass auch [mm] $U_{1}+U_{2}=U_{1} \cup U_{2}$ [/mm] gilt.
Der Beweis zu 2. ist fast banal:
Fall $2. [mm] \alpha)$: [/mm] Sei [mm] $U_1 \subset U_2\,.$ [/mm] Dann gilt [mm] $U_1 \cup U_2=U_2\,.$ [/mm] Die Behauptung [mm] $U_1+U_2=U_1 \cup U_2$ [/mm] ist daher äquivalent zu [mm] $U_1+U_2=U_2\,,$ [/mm] so dass es genügt, das letzte zu beweisen.
Zu [mm] $U_2 \subset (U_1+U_2)$:
[/mm]
Ist $u [mm] \in U_2\,,$ [/mm] so gilt [mm] $u\,=\,0+u$ [/mm] mit $0 [mm] \in U_1$ [/mm] (beachte dabei, dass [mm] $U_1 \subset U_2$ [/mm] und beides Unterräume von [mm] $\,V\,$ [/mm] sind!). Also gilt $u [mm] \in (U_1+U_2)\,.$
[/mm]
Zu [mm] $(U_1+U_2) \subset U_2\,:$
[/mm]
Ist [mm] $\tilde{u} \in (U_1+U_2)\,,$ [/mm] so existieren ein [mm] $u_1 \in U_1$ [/mm] und ein [mm] $u_2 \in U_2$ [/mm] mit [mm] $\tilde{u}=u_1+u_2\,.$ [/mm] Nach Voraussetzung gilt aber [mm] $U_1 \subset U_2$ [/mm] und damit auch [mm] $u_1 \in U_2\,,$ [/mm] so dass [mm] $(u_1+u_2) \in U_2$ [/mm] folgt (da [mm] $U_2$ [/mm] Unterraum). Also gilt [mm] $\tilde{u} \in U_2\,.$
[/mm]
Fall $2. [mm] \beta)$: [/mm] Sei [mm] $U_2 \subset U_1\,.$ [/mm] Dann geht es genau wie im Fall $2. [mm] \alpha)\,,$ [/mm] wenn man dort die Rollen von [mm] $U_1$ [/mm] und [mm] $U_2$ [/mm] gegeneinander vertauscht.
Und Du solltest jetzt noch den Beweisteil 1. ausführen. Ich würde Dir dazu folgende Vorgehensweise vorschlagen:
Es gelte nun (neben den Universalvoraussetzungen, dass [mm] $\,V\,$ [/mm] ein Vektorraum ist mit [mm] $U_1,\,U_2$ [/mm] Unterräume von [mm] $\,V\,$) [/mm] die Gleichheit [mm] $U_{1}+U_{2}=U_{1} \cup U_{2}\,.$ [/mm] Ist [mm] $U_1 \subset U_2\,,$ [/mm] so ist nichts mehr zu zeigen.
Sei also [mm] $U_1 \not\subset U_2\,.$ [/mm] Jetzt musst Du zeigen, dass dann aber [mm] $U_2 \subset U_1$ [/mm] gilt!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:12 Mi 19.11.2008 | | Autor: | erichlebt |
Merci beaucoup,
hoffe nur ich bin nicht der einzige Ersti der sich so dämlich anstellt...
Vielen Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:01 Mi 19.11.2008 | | Autor: | sethonator |
Ich bin auch Ersti und raff sowas nicht. 
Du bist nicht allein!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:05 Mi 19.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Merci beaucoup,
de rien 
> hoffe nur ich bin nicht der einzige Ersti der sich so
> dämlich anstellt...
Nö. Ich denke, das liegt auch oft daran, dass viele Dinge so schnell in der Vorlesung abgehandelt werden, dass das etwas untergeht. Aber wenn Du das nun verstanden hast, sollten Dir "genau dann, wenn"-Aussagen (bzw. analoges) keine Probleme mehr bereiten. Und das ist ja das eigentlich wichtige, dass Dir nun die folgenden Aufgabenstellungen dann direkt klar sind. Startschwierigkeiten hatte wohl jeder, der Mathe studiert, mal gehabt, die einen mehr, die anderen weniger. (Und natürlich gibt's auch Ausnahmen, die die Regel bestätigen.)
Gruß,
Marcel
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