Unterräume < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | V+W:= [mm] \{v+w|v\in V, w\in W\}
[/mm]
Seien nun V,W,U unteräume des [mm] K^n
[/mm]
zeige: Ist [mm] U\subset [/mm] V, so gilt:
[mm] V\cap(W+U)= (V\capW)+(U)
[/mm]
gelten:
i) [mm] V\cap (W+U)=(V\cap W)+(V\cap [/mm] U)
ii) [mm] V+(W\cap [/mm] U)= (V+W) [mm] \cap [/mm] (W+U) ??? |
Ich kenne sowas nur beim Beweisen von Mengen.
Aber ich denke, das funktioniert hier nicht so oder?
Gint es Kriterien für Unterräume um dieses zu zeigen?
Grüße
mathegirl
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> V+W:= [mm]\{v+w|v\in V, w\in W\}[/mm]
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> Seien nun V,W,U unteräume des [mm]K^n[/mm]
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> zeige: Ist [mm]U\subset[/mm] V, so gilt:
> [mm]V\cap(W+U)= (V\capW)+(U)[/mm]
>
> gelten:
> i) [mm]V\cap (W+U)=(V\cap W)+(V\cap[/mm] U)
> ii) [mm]V+(W\cap[/mm] U)= (V+W) [mm]\cap[/mm] (W+U) ???
> Ich kenne sowas nur beim Beweisen von Mengen.
> Aber ich denke, das funktioniert hier nicht so oder?
Hallo,
das sind ja auch Mengen, also liegst Du mit 'nem Beweis für Mengen nicht verkehrt.
Da steht ja auch nicht, daß Du zeigen sollst, daß es Unterräume sind. Sonst müßte man zu den Unterraumkriterien greifen.
Zusätzlich ist hier natürlich noch die Def. für die Summe zweier VRe wichtig, die Du oben aufgeschrieben hast.
Für
> [mm]V\cap(W+U)= (V\capW)+(U)[/mm]
ist also zu zeigen:
a. [mm]V\cap(W+U)\subseteq (V\capW)+(U)[/mm]
b. [mm] (V\capW)+(U)\subseteq V\cap(W+U)
[/mm]
Nun leg' doch mal los und schau wie weit Du kommst.
> Gint es Kriterien für Unterräume um dieses zu zeigen?
Ob und wo man Unterraumeigenschaften braucht, wird sich dann im Verlauf zeigen.
Das kann man nicht alles vorher auf dem Sofa ausklamüsern.
Gruß v. Angela
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ja, genau so habe ich ja angefangen:
[mm] x\in V\cap [/mm] (W+U)
[mm] x\in V\cap x\in [/mm] (W+U)
aber irgendwo stellt sich da das Problem, dass ich V+U nicht zeigen kann, weil ich nicht weiß, wohin ich mit dem W soll...
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> ja, genau so habe ich ja angefangen:
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> [mm]x\in V\cap[/mm] (W+U)
> [mm]x\in V\cap x\in[/mm] (W+U)
Hallo, das Zeichen [mm] \cap [/mm] ist für Mengen.
Du meinst (völlig richtig)
...==> [mm] x\in [/mm] V und [mm] x\in [/mm] (W+U)
Nun mßt Du Dir mal überlegen, was es bedeutet, daß [mm] x\in [/mm] W+U ist: es gibt ... mit x= ...
Dann bedenke, daß [mm] W\subseteq [/mm] V nach Voraussetzung.
Gruß v. Angela
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> aber irgendwo stellt sich da das Problem, dass ich V+U
> nicht zeigen kann, weil ich nicht weiß, wohin ich mit dem
> W soll...
>
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Ich weiß wie das gemeint ist, kann es aber nicht so recht ausdrücken und formulieren. W ,U und V sind Unterräume aber ich kann die Beziehungen nicht so richtig darstellen. Es funktioniert wohl doch nicht ähnlich wie bei mengen!
Vielleicht verwirrt mich das, weil ich mit Unterräumen ummer Vektoraddition und Skalarmultiplikation in Verbindung bringe..
Gruße
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:14 Do 05.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Ist x [mm] \in [/mm] V und x [mm] \in [/mm] W+U, so existieren w [mm] \in [/mm] W und u [mm] \in [/mm] U mit: x = w+u.
Da U [mm] \subseteq [/mm] V, ist u [mm] \in [/mm] V, somit ist w = x-u [mm] \in [/mm] V.
Fazit: x = w+u [mm] \in [/mm] V+U
FRED
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