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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:58 Do 14.01.2010 | | Autor: | Ultio |
| Aufgabe | | Es sei V ein Vektorraum und U, W <= Unterräume von V sowie v [mm] \in [/mm] V. Zeigen Sie: (v + U) nach unten geöffneter Bogen W ist entweder leer oder eine Nebenklasse von U [mm] \cap [/mm] W. |
Hi an Alle, bräuchte ein wenig Veständnishilfe. Vielen Dank schon einmal im Voraus.
Lösung?Tipp?
[mm] \IK [/mm] ist der zugrunde liegende Körper mit den Elementen [mm] k_i
[/mm]
U: [mm] u_i \in [/mm] U
(i.i) [mm] (k_1 [/mm] * [mm] k_2) [/mm] u = [mm] k_1 [/mm] * [mm] k_2 [/mm] * u …
(i,ii) 1 * u = u
(i,iii) Distributivitäten
(i, iv) Nullelement
W: siehe U
{(v + U) für alle v [mm] \in [/mm] V} ist die Menge der Nebenklassen von U
Wenn der Schnitt leer ist d.h. bildlich gesprochen U wird so verschoben, so dass U von W weit genug entfernt ist, sodass der Schnitt leer ist
andernfalls schneiden sich bereits U und W, so ist v+ (U [mm] \capW) [/mm] eine Nebenklasse von (U [mm] \capW) [/mm] , ist v das Einselement so ist v+ U [mm] \cap [/mm] W = U [mm] \cap [/mm] W, soweit ist das klar.
Sei v ungleich dem Einselement so gilt, dass
v+ U [mm] \cap [/mm] W d.h (die nebenklasse von U [mm] \cap [/mm] W )
eine Nebenklasse von (U [mm] \cap [/mm] W) bzw. in der Menge der Nebenklassen {v+ (U [mm] \capW)} [/mm] enthalten ist.
Sehe ich das so richtig? Wie schreibe ich das eigentlich mathematisch korrekt auf?
Danke nochmal.
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> Es sei V ein Vektorraum und U, W <= Unterräume von V sowie
> v [mm]\in[/mm] V. Zeigen Sie: (v + U) nach unten geöffneter Bogen W
> ist entweder leer oder eine Nebenklasse von U [mm]\cap[/mm] W.
> Hi an Alle, bräuchte ein wenig Veständnishilfe. Vielen
> Dank schon einmal im Voraus.
Hallo,
ein paar Hinweise:
> [mm] \{(v + U) f.a. v\in V\} [/mm] ist die Menge der Nebenklassen
> von U
Du solltest auch solche Sachen korrekt aufschreiben.
Die Menge der Nebenklassen von U, V/U, ist dies: [mm] \{ v+U | v\in U\}.
[/mm]
>
> Wenn der Schnitt leer ist d.h. bildlich gesprochen U wird
> so verschoben, so dass U von W weit genug entfernt ist,
> sodass der Schnitt leer ist
Was meinst Du denn damit?
Machen wir's wirklich mal bildlich und gehen in den [mm] \IR^3.
[/mm]
Was sind hier anschaulich die Unterräume?
Nehmen wir jetzt so einen Unterraum U, z.B. die Ebene mit der Gleichung x+2y+3z=0.
Die Nebenklassen von U sind die zu dieser Ebene parallelen Ebenen.
Nächste Überlegung:
kann der Schnitt zweier Unterräume U und W leer sein?
Wie müssen U und W beschaffen sein, damit sie nach dem Verschieben von U kein gemeinsames Element mehr haben?
> Sei v ungleich dem Einselement so gilt, dass
Es gibt in V kein Einselement ...
> Wie schreibe ich das eigentlich
> mathematisch korrekt auf?
Zunächst mal ist es sicher nützlich, wenn Du Dir die Angelegenheit im Anschauungsraum überlegst.
Beim Aufschreiben kommt es darauf an, mit den exakten Definitionen zu arbeiten.
Kein Wischiwaschi. Für alles, was Du als Feststellung schreibst, mußt Du eine Begründung parat haben.
Wenn Du Dich beim Aufschreiben immer fragst "Warum eigentlich" und dies mithilfe einer Def./eines Sätzchens aus dem Skript begründen kannst, bist Du auf dem richtigen Weg.
Gruß v. Angela
> Danke nochmal.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Fr 15.01.2010 | | Autor: | Ultio |
Hi,
> Die Menge der Nebenklassen von U, V/U, ist dies: [mm]\{ v+U | v\in U\}.[/mm]
> Machen wir's wirklich mal bildlich und gehen in den [mm]\IR^3.[/mm]
>
> Was sind hier anschaulich die Unterräume?
Unterräume sind entweder Flächen oder Geraden in [mm] \IR^3
[/mm]
> Nehmen wir jetzt so einen Unterraum U, z.B. die Ebene mit
> der Gleichung x+2y+3z=0.
>
> Die Nebenklassen von U sind die zu dieser Ebene parallelen
> Ebenen.
>
ok soweit verstanden
>
> Nächste Überlegung:
>
> kann der Schnitt zweier Unterräume U und W leer sein?
ja wenn wir bspw eine Gerade und eine Ebene haben die parallel verlaufen aber die gerade kein Element der Ebene ist
>
> Wie müssen U und W beschaffen sein, damit sie nach dem
> Verschieben von U kein gemeinsames Element mehr haben?
>
sie müssen wie oben beschrieben parallel sein. wenn sie nicht parallel wären würde die Gerade oder auch ebene entweder identisch(im Falle der ebene) bzw. element der Ebene (im Falle einer Gerade) sein. Die zweite Möglichkeit wäre das sie ich schneiden (egal wo irgendwann kommt es dazu).
Was ist eigentlich wenn ich zwei windschiefe geraden betrachte, die schneiden sich doch auch nicht?
>
>
>
> > Sei v ungleich dem Einselement so gilt, dass
>
> Es gibt in V kein Einselement ...
>
> > Wie schreibe ich das eigentlich
> > mathematisch korrekt auf?
>
> Zunächst mal ist es sicher nützlich, wenn Du Dir die
> Angelegenheit im Anschauungsraum überlegst.
> Beim Aufschreiben kommt es darauf an, mit den exakten
> Definitionen zu arbeiten.
> Kein Wischiwaschi. Für alles, was Du als Feststellung
> schreibst, mußt Du eine Begründung parat haben.
> Wenn Du Dich beim Aufschreiben immer fragst "Warum
> eigentlich" und dies mithilfe einer Def./eines Sätzchens
> aus dem Skript begründen kannst, bist Du auf dem richtigen
> Weg.
>
> Gruß v. Angela
>
bevor ich mich im mathematisch exakten Ausdruck übe, sind die Überlegungen denn soweit richtig?
Danke, dass du so viel Geduld mit mir hast. 
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> Hi,
>
> > Die Menge der Nebenklassen von U, V/U, ist dies: [mm]\{ v+U | v\in U\}.[/mm]
>
> > Machen wir's wirklich mal bildlich und gehen in den [mm]\IR^3.[/mm]
> >
> > Was sind hier anschaulich die Unterräume?
>
> Unterräume sind entweder Flächen oder Geraden in [mm]\IR^3[/mm]
Hallo,
ich habe mich nicht ganz deutlich ausgedrückt. Die Untervektorräume meinte ich.
Ja, Ebenen (!) und Geraden - und zwar nur die, die durch den Ursprung gehen. Dazu dann noch den Raum, der nur den Nullvektor enthält und der komplette [mm] \IR^3 [/mm] daselbst.
>
> > Nehmen wir jetzt so einen Unterraum U, z.B. die Ebene mit
> > der Gleichung x+2y+3z=0.
> >
> > Die Nebenklassen von U sind die zu dieser Ebene parallelen
> > Ebenen.
> >
>
> ok soweit verstanden
>
> >
> > Nächste Überlegung:
> >
> > kann der Schnitt zweier Unterräume U und W leer sein?
>
> ja wenn wir bspw eine Gerade und eine Ebene haben die
> parallel verlaufen aber die gerade kein Element der Ebene
> ist
Überleg das neu unter dem Aspekt, daß U und W Untervektorräume vom [mm] \IR^3 [/mm] sind.
Diese haben immer einen gemeinsamen Punkt.
>
> >
> > Wie müssen U und W beschaffen sein, damit sie nach dem
> > Verschieben von U kein gemeinsames Element mehr haben?
> >
>
> sie müssen wie oben beschrieben parallel sein.
> Was ist eigentlich wenn ich zwei windschiefe geraden
> betrachte, die schneiden sich doch auch nicht?
Ebene-Ebene: müssen parallel sein, also identisch
Ebene- Gerade: die Gerade muß in der Ebene liegen
Gerade- Gerade: hier ist gar keine besondere Lage erforderlich, sofern man natürlich in die richtige Richtung verschiebt.
> bevor ich mich im mathematisch exakten Ausdruck übe, sind
> die Überlegungen denn soweit richtig?
Mach Dir nochmal den Unterschied zwischen einem Untervektorraum (denn U und W sind Untervektorräume) und den affinen Unterräumen klar.
Gruß v. Angela
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