Unterräume dim=n-1 < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Do 26.11.2009 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Es sei $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum über dem Körper $K$ und $K$ besitze unendlich viele Elemente.
Zeigen Sie:
Ist $n [mm] \ge [/mm] 2$, so enthält $V$ unendlich viele verschiedene Unteräume der Dimension $n-1$ . |
Also wenn ich das richtig verstanden habe:
z.B.:
[mm] \pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 } [/mm] hat die Dimension 3
[mm] \pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 } \pmat{ 1 \\ 0 \\ 1 } [/mm] etc. haben die Dimension 2 ??
Oder liegt in der Verständnis schon mein Fehler?
Folgendes habe ich mir gedacht:
[mm] \pmat{ 0 \\ 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 } [/mm] wäre dann ja z.B. ein $n-1$-dimensionaler Unterraum.
Also definiere ich mir: [mm] $v_1=\pmat{ 0 \\ 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 } [/mm] , [mm] v_2=\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 } [/mm] , [mm] v_3=\pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 } [/mm] ,..., [mm] v_i=\pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 }
[/mm]
mit $i = 1,...,n$
Also ist auch jedes Vielfache ein Unterraum der Dimension $n-1$.
[mm] \Rightarrow [/mm] Für V = [mm] \lambda$*(v_1, v_2, v_3,...,v_i)$ [/mm] mit $ [mm] \lambda \in [/mm] K $ gibt es unendlich viele [mm] \lambda, [/mm] die damit unendlich viele Unterräume der Dimension n-1 von V erzeugen.
Richtig gedacht oder kompletter Unsinn? Bitte um Hilfe!!
Viiieelen Dank!!
Gruß!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:31 Fr 27.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]V[/mm] ein [mm]n[/mm]-dimensionaler Vektorraum über dem Körper [mm]K[/mm]
> und [mm]K[/mm] besitze unendlich viele Elemente.
>
> Zeigen Sie:
> Ist [mm]n \ge 2[/mm], so enthält [mm]V[/mm] unendlich viele verschiedene
> Unteräume der Dimension [mm]n-1[/mm] .
> Also wenn ich das richtig verstanden habe:
>
> z.B.:
>
> [mm]\pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 }[/mm] hat die Dimension 3
>
>
> [mm]\pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 } \pmat{ 1 \\ 0 \\ 1 }[/mm] etc. haben die
> Dimension 2 ??
>
> Oder liegt in der Verständnis schon mein Fehler?
>
> Folgendes habe ich mir gedacht:
>
> [mm]\pmat{ 0 \\ 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 }[/mm] wäre dann ja z.B. ein
> [mm]n-1[/mm]-dimensionaler Unterraum.
>
> Also definiere ich mir: [mm]$v_1=\pmat{ 0 \\ 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 }[/mm]
> , [mm]v_2=\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 }[/mm] , [mm]v_3=\pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 }[/mm]
> ,..., [mm]v_i=\pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 }[/mm]
> mit [mm]i = 1,...,n[/mm]
>
> Also ist auch jedes Vielfache ein Unterraum der Dimension
> [mm]n-1[/mm].
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Für V = [mm]\lambda[/mm] [mm]*(v_1, v_2, v_3,...,v_i)[/mm] mit
> [mm]\lambda \in K[/mm] gibt es unendlich viele [mm]\lambda,[/mm] die damit
> unendlich viele Unterräume der Dimension n-1 von V
> erzeugen.
>
> Richtig gedacht oder kompletter Unsinn?
Ziemlicher Unsinnn. Wenn ich das Obige lese, stelle ich fest, dass Du nicht die geringste Ahnung hast, was ein Unterraum eines Vektorraumes ist. Mit dem Begriff der Dimension stehst Du auch mächtig auf Kriegsfuß.
Mach Dich also erst einmal vertraut mit den obigen Begriffen
FRED
> Bitte um Hilfe!!
>
> Viiieelen Dank!!
> Gruß!
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> Es sei [mm]V[/mm] ein [mm]n[/mm]-dimensionaler Vektorraum über dem Körper [mm]K[/mm]
> und [mm]K[/mm] besitze unendlich viele Elemente.
>
> Zeigen Sie:
> Ist [mm]n \ge 2[/mm], so enthält [mm]V[/mm] unendlich viele verschiedene
> Unteräume der Dimension [mm]n-1[/mm] .
> Also wenn ich das richtig verstanden habe:
>
> z.B.:
>
> [mm]\pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 }[/mm] hat die Dimension 3
>
>
> [mm]\pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 } \pmat{ 1 \\ 0 \\ 1 }[/mm] etc. haben die
> Dimension 2 ??
>
> Oder liegt in der Verständnis schon mein Fehler?
Hallo,
ja.
Wie Fred schon sagt: es ist unumgänglich, daß Du Dich schlau machst darüber, was "Dimension" bedeutet.
(Ich hoffe, daß diese Unkenntnis nicht nur die Spitze des Eisberges ist, sonst kannst Du nämlich einpacken... Anders formuliert: wenn Du Deiner Vorlesung folgen möchtest, mußt Du unbedingt und unverzüglich nacharbeiten, was Dir entgangen ist.)
Wenn Du dann weißt, was Dimension ist, kannst Du Dir mal im konkreten Fall des [mm] \IR^2 [/mm] überlegen, welche 2-1=1 dimensionalen Unterräume es dort gibt.
Ist Dir anschaulich-intuitiv klar, daß es unendlich viele sind? Warum?
Danach überlege Dir: wenn [mm] (b_1, b_2) [/mm] eine Basis des [mm] \IR^2 [/mm] ist, ist [mm] U_r:= [/mm] für jedes [mm] r\in \IR [/mm] ein Unterraum.
Überlege Dir nun, daß [mm] U_r\not=U_s [/mm] für [mm] r\not=s.
[/mm]
Wenn Du das hast, ist die Behauptung zwar noch nicht gezeigt, aber Du hast dann ansatzweise eine Vorstellung davon, worum es überhaupt geht.
Danach kannst Du Dir - immer noch vorbereitend für den Beweis - die Aussage für den [mm] \IR^3 [/mm] überlegen.
Anschließend könntest Du dann soweit sein, die Aussage für n zu beweisen, also die Aufgabe zu lösen.
Gruß v. Angela
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