Unterräume finden < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 Do 26.02.2009 | | Autor: | can19 |
| Aufgabe | Wir betrachten den Unterraum [mm] U=\{(x,y)\in\IR² mit 3x+3y=o\} [/mm] des [mm] \IR-Vektorraums \IR².
[/mm]
a)Finden Sie zwei verschiedene Unterräume [mm] W_{1}, W_{2} [/mm] im [mm] \IR² [/mm] mit [mm] U\oplus W_{1}=\IR²=U\oplus W_{2}.
[/mm]
b) Bestimmen Sie unter Verwendung geometrischer Argumente alle Unterräume W des [mm] \IR² [/mm] mit [mm] \IR²=U \oplus [/mm] W. |
Hallo,
ich bereite mich gerade für eine bevorstehende Klausur vor. Ich habe diese Aufgabe in einem Buch gefunden, jedoch weiß ich nicht die Antwort.
Um einen Unterraum zu finden, muss dieser gewisse Kriterien erfüllen und zwar:
1. 0 [mm] \in [/mm] U sein, dh. U darf nicht leer sein
2. muss die Abgeschlossenheit bzgl. "+" die Skalarmuliplikation müssen erfüllt sein.
Jedoch weiß ich leider nicht wie ich an diese Aufgabe ran gehen soll mit den Komplementen.
Für eine Erklärung wäre ich euch sehr sehr dankbar.
Danke für die Mühe im Voraus!
lg
alicia
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> Wir betrachten den Unterraum [mm]U=\{(x,y)\in\IR² mit 3x+3y=o\}[/mm]
> des [mm]\IR-Vektorraums \IR².[/mm]
> a)Finden Sie zwei verschiedene
> Unterräume [mm]W_{1}, W_{2}[/mm] im [mm]\IR²[/mm] mit [mm]U\oplus W_{1}=\IR²=U\oplus W_{2}.[/mm]
Hallo,
bestimme hierfür zunächst eine Basis des Raumes U.
Diese kannst Du zu einer Basis des [mm] \IR^2 [/mm] ergänzen. Der Raum, der vom Ergänzungsvektor aufgespannt wird (bzw. in anderen Fällen: von den Ergänzungsvektoren), ist ein Komplement von U. Überzeuge Dich davon, daß die Summe direkt ist.
Nun wirst Du auch rasch ein weiteres finden.
Aufg. b) wird Dir, wenn Du a) gelöst hast, vermutlich leicht fallen.
Gruß v. Angela
>
> b) Bestimmen Sie unter Verwendung geometrischer Argumente
> alle Unterräume W des [mm]\IR²[/mm] mit [mm]\IR²=U \oplus[/mm] W.
> Hallo,
> ich bereite mich gerade für eine bevorstehende Klausur
> vor. Ich habe diese Aufgabe in einem Buch gefunden, jedoch
> weiß ich nicht die Antwort.
> Um einen Unterraum zu finden, muss dieser gewisse
> Kriterien erfüllen und zwar:
> 1. 0 [mm]\in[/mm] U sein, dh. U darf nicht leer sein
> 2. muss die Abgeschlossenheit bzgl. "+" die
> Skalarmuliplikation müssen erfüllt sein.
>
> Jedoch weiß ich leider nicht wie ich an diese Aufgabe ran
> gehen soll mit den Komplementen.
> Für eine Erklärung wäre ich euch sehr sehr dankbar.
> Danke für die Mühe im Voraus!
> lg
> alicia
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 Do 26.02.2009 | | Autor: | can19 |
ich hab mich ober vertippt die gleichung lautet 3x+7y=0
bildet der vektor [mm] \vektor{7\\-3} [/mm] eine basis in U?
wenn ja wie erweitere ich ihn zu einer basis in [mm] \IR², [/mm] einfach ein linear unabhängigen finden?
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> ich hab mich ober vertippt die gleichung lautet 3x+7y=0
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> bildet der vektor [mm]\vektor{7\\-3}[/mm] eine basis in U?
Hallo,
ja, er spannt ja den Lösungsraum der Gleichung auf.
> wenn ja wie erweitere ich ihn zu einer basis in [mm]\IR²,[/mm]
> einfach ein linear unabhängigen finden?
Genau.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Do 26.02.2009 | | Autor: | max3000 |
Ja.
Die Vereinigung der Basen U und [mm] W_1 [/mm] bzw. [mm] W_2 [/mm] müssen ja dann ein linear unabhängiges Erzeugendensystem des [mm] \IR^2 [/mm] sein, also kannst du z.B. [mm] W_1=Span(\vektor{1 \\ 0}) [/mm] und [mm] W_2=Span(\vektor{0 \\ 1}) [/mm] nehmen.
Schönen Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Do 26.02.2009 | | Autor: | can19 |
ahh ok danke!!
Das heißt dann, meine unterräume sind einmal [mm] W_{1} [/mm] die von den vektoren [mm] \vektor {7\\-3} [/mm] und [mm] \vektor {1\\0} [/mm] erzeugt bzw. aufgespannt werden und zum anderen [mm] W_{2} \vektor{7\\-3} [/mm] und [mm] \vektor{0\\1} [/mm]
zur b) es gibt dann nur noch "einen" weiteren unterraum der vom vektor [mm] \vektor{-7\\3} [/mm] mit einem x-beliebigem linea unabhäng. vektor aufgespannt wird..oder?
gruß
alicia
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> ahh ok danke!!
> Das heißt dann, meine unterräume sind einmal [mm]W_{1}[/mm] die von
> den vektoren [mm]\vektor {7\\-3}[/mm] und [mm]\vektor {1\\0}[/mm] erzeugt
> bzw. aufgespannt werden und zum anderen [mm]W_{2} \vektor{7\\-3}[/mm]
> und [mm]\vektor{0\\1}[/mm]
Hallo,
nein, der Raum der von [mm] \vektor {7\\-3} [/mm] und dem anderen Vektor gemeinsam aufgespannt wird, ist der [mm] \IR².
[/mm]
Welches sind hier die Komplemente von U?
Ich hoffe ich täusche mich, aber ist Dir überhaupt klar, wie [mm] U+W_1 [/mm] definiert ist? Das ist natürlich Voraussetzung fürs Verständnis der direkten Summe.
>
> zur b) es gibt dann nur noch "einen" weiteren unterraum der
> vom vektor [mm]\vektor{-7\\3}[/mm] mit einem x-beliebigem linea
> unabhäng. vektor aufgespannt wird..oder?
Ich verstehe nicht, was Du hier jetzt meinst.
[mm] \vektor{-7\\3} [/mm] spannt mit jedem von ihm linear unabhängigen Vektor dern [mm] \IR^2 [/mm] auf.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Do 26.02.2009 | | Autor: | can19 |
ja soweit ich weiß ergibt U+W=V (bei uns also [mm] \IR²) [/mm] Vektorraum und
U [mm] \cap [/mm] W= [mm] \{0\}
[/mm]
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> ja soweit ich weiß ergibt U+W=V (bei uns also [mm]\IR²)[/mm]
> Vektorraum und
Hallo,
mit ging es darum, ob Du weißt, was U+W ist: die Menge sämtlicher Vektoren, die man als Summe eines vektors aus U und eines aus W schreiben kann.
> U [mm]\cap[/mm] W= [mm]\{0\}[/mm]
Genau. Wenn der Schnitt leer ist, ist die Summe direkt.
Gruß v. Angela
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