Unterräume mit Dimensionssatz < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:53 Mi 07.11.2007 | | Autor: | damien23 |
| Aufgabe | Seien [mm] U_{1} [/mm] und [mm] U_{2} [/mm] Untervektorräume eines Vektorraums V, dabei
dim V=n; dim [mm] U_{1}= [/mm] dim [mm] U_{2}= [/mm] n-1. Man zeige, dass entweder
[mm] U_{1}=U_{2} [/mm] oder dim [mm] U_{1}\capU_{2}=n-2 [/mm] |
Hey komme hier nicht weiter.
Habe mir erstmal eine Basis [mm] B_{1} [/mm] und eine Basis [mm] B_{2} [/mm] definiert.
Nun treten ja in meinen Augen zwei Fälle auf.
1.Fall: alle Basisvektoren aus [mm] B_{1} [/mm] lassen sich als Linearkombinationen von Elementen aus [mm] B_{2} [/mm] darstellen.
2. Fall: o.B.d.A. mindestens ein Basisvektor aus [mm] B_{1} [/mm] lässt sich nicht als
Linearkombinationen von Elementen aus [mm] B_{2} [/mm] darstellen.
hierzu denke ich mir
[mm] U_{1}\not=U_{2} [/mm] und dann den Dim.satz anwenden
Leider habe ich keine Ahnung wie dies genau aufschreiben soll
Hoffe ihr könnt mir helfen
MfG
Damien
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:20 Mi 07.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
also das kriegt man alles ziemlich direkt aus dem dimensionssatz raus. da offenbar [mm] $U_1 \subseteq U_1 [/mm] + [mm] U_2$ [/mm] gilt würde ich eine fallunterscheidung machen:
(i) [mm] $U_1 [/mm] = [mm] U_1 [/mm] + [mm] U_2$
[/mm]
(ii) [mm] $U_1 \not= U_1 [/mm] + [mm] U_2$
[/mm]
was kann man in den beiden fällen über die dimension der summe aussagen (beachte [mm] $U_1 [/mm] + [mm] U_2 \subseteq [/mm] V$)? daraus erhält man mit dem dimensionssatz fast direkt das gewünschte resultat (wenn man nach [mm] $\dim_K (U_1 \cap U_2)$ [/mm] auflöst).
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Mi 07.11.2007 | | Autor: | damien23 |
Danke für die schnelle Antwort.
Kann ich mit den dim von [mm] U_{1} [/mm] und [mm] U_{2} [/mm] einfach normal rechnen?
Ungefähr so [mm] dimU_{1}=dim U_{1} [/mm] +dim [mm] U_{2}
[/mm]
dann würde ich einfach einsetzen n-1=n-1+n-1???
nur was bringt mir dies?
wir hatten den dimsatz bis jetz noch nicht deshalb weiß ich nicht genau wie mit ihm rechnen muss, wäre nett wenn du mir da helfen könntest
mfg
damien
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 Mi 07.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Kann ich mit den dim von [mm]U_{1}[/mm] und [mm]U_{2}[/mm] einfach normal
> rechnen?
das kommt immer drauf an, was man unter normal rechnen versteht...
> Ungefähr so [mm]dimU_{1}=dim U_{1}[/mm] +dim [mm]U_{2}[/mm]
nein, das darf man nicht. wenn [mm] $U_1 [/mm] = [mm] U_1 [/mm] + [mm] U_2$, [/mm] dann sind der vektorraum links vom gleichheitszeichen und der vektorraum rechts vom gleichheitszeichen wirklich gleich. und ein und der selbe vektorraum hat natürlich eine eindeutige dimension. in dem fall deiner aufgabe gilt dann $n - 1 = [mm] \dim_K U_1 [/mm] = [mm] \dim_K (U_1 [/mm] + [mm] U_2)$.
[/mm]
> dann würde ich einfach einsetzen n-1=n-1+n-1???
> nur was bringt mir dies?
> wir hatten den dimsatz bis jetz noch nicht deshalb weiß ich
> nicht genau wie mit ihm rechnen muss, wäre nett wenn du mir
> da helfen könntest
dürft ihr ihn den dann überhaupt für die lösung der aufgabe verwenden? wenn ja: wie würde er in dem ersten fall nach deinem jetzigen wissen aussehen?
grüße
andreas
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