Unterräume und direkte Summe < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Seien U und W Unterräume des Vektorraumes V. Zeige, dass
- U und W in U+W enthalten sind
- U+W der kleinste Unterraum von V ist, der U und W enthält, also: U+W = <U,W> |
| Aufgabe 2 | Seien U und W Unterräume des [mm] R^3 [/mm] mit U := {(a,b,c)|a=b=c} und W:=<(0,b,c)>. Zeige:
[mm] R^3 [/mm] = U [mm] \oplus [/mm] W |
| Aufgabe 3 | Sei V der Vektorraum der quadratischen nxn Matrizen über einem Körper K. Seien U und W die Unterräueme der symmetrischen bzw. schiefsymmetrischen Matrizen. Zeige:
V = [mm] U\oplusW [/mm] (Verwende: [mm] A=1/2(A+A^t) [/mm] + [mm] 1/2(A-A^t) [/mm] wobei A eine nxn Matrix ist.) |
Hi!
Zu Aufgabe 1.
Das U und W in U+W enthalten sind, folgt ja darasu, dass U+W ein eigener Unterraum ist.
sei [mm] \vec{x}\inU [/mm] und [mm] \vec{y}\inW; [/mm] k, l [mm] \in [/mm] Körper K
[mm] \vec{0} \in [/mm] U, W
1 * [mm] \vec{x} [/mm] + l * [mm] \vec{0} [/mm] = [mm] \vec{x} \Rightarrow U\in [/mm] U+W
k * [mm] \vec{0} [/mm] + 1 * [mm] \vec{y} [/mm] = [mm] \vec{y} \Rightarrow W\in [/mm] U+W
Also gilt die erste behauptung!
Zu U+W = <U,W>:
Weiß hier nicht, wie ich das niederschreiben soll!
Aber <U,W> ist ja die Menge aller Linearkombinationen, für die gilt
[mm] \vec{z} [/mm] = [mm] a_1 [/mm] * [mm] \vec{x} [/mm] + [mm] a_2 [/mm] * [mm] \vec{y} [/mm] wobei [mm] a_1, a_2 [/mm] beliebig!
Dies ist ja dann aber auch laut Definition U+W, nicht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:53 Sa 05.04.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien U und W Unterräume des Vektorraumes V. Zeige, dass
> - U und W in U+W enthalten sind
> - U+W der kleinste Unterraum von V ist, der U und W
> enthält, also: U+W = <U,W>
> Seien U und W Unterräume des [mm]R^3[/mm] mit U := {(a,b,c)|a=b=c}
> und W:=<(0,b,c)>. Zeige:
> [mm]R^3[/mm] = [mm]U\oplusW[/mm]
> Sei V der Vektorraum der quadratischen nxn Matrizen über
> einem Körper K. Seien U und W die Unterräueme der
> symmetrischen bzw. schiefsymmetrischen Matrizen. Zeige:
> V = [mm]U\oplusW[/mm] (Verwende: [mm]A=1/2(A+A^t)[/mm] + [mm]1/2(A-A^t)[/mm] wobei A
> eine nxn Matrix ist.)
> Hi!
> Zu Aufgabe 1.
> Das U und W in U+W enthalten sind, folgt ja darasu, dass
> U+W ein eigener Unterraum ist.
ich verstehe den Sinn dieses Satzes nicht.
> sei [mm]\vec{x}\inU[/mm] und [mm]\vec{y}\inW;[/mm] k, l [mm]\in[/mm] Körper K
> [mm]\vec{0} \in[/mm] U, W
>
> 1 * [mm]\vec{x}[/mm] + l * [mm]\vec{0}[/mm] = [mm]\vec{x} \Rightarrow U\in[/mm] U+W
> k * [mm]\vec{0}[/mm] + 1 * [mm]\vec{y}[/mm] = [mm]\vec{y} \Rightarrow W\in[/mm] U+W
> Also gilt die erste behauptung!
Das ist etwas *komisch* aufgeschrieben, aber ich glaube, dass Du das
schon richtig meinst.
Mach's doch so: Wir zeigen zunächst, dass [mm] $U\,$ [/mm] ein Unterraum von [mm] $U+W\,$
[/mm]
ist. [Dass [mm] $U+W\,$ [/mm] ein Unterraum ist, werden wir im zweiten Aufgabenteil aus
[mm] $(U+W)=\,$ [/mm] sofort erkennen können!] Da [mm] $U\,$ [/mm] ein Unterraum von [mm] $V\,$ [/mm]
ist, gelten in [mm] $U\,$ [/mm] Vektorraumaxiome. Es bleibt also nur
$U [mm] \subseteq [/mm] (U+W)$
zu beweisen. Per Definitionem von
[mm] $U+W=\{z:\;\; \exists u \in U \text{ und } \exists w \in W \text{ mit }z=\underbrace{u+w}_{\substack{\text{hier ist die }\\\text{Addition in }V \text{ gemeint!}}}\}$ [/mm]
(oder kurz: [mm] $=\{z=u+w:\;\; u \in U \text{ und }w \in W\}$)
[/mm]
ist zu zeigen:
Für jedes $u [mm] \in [/mm] U$ existieren ein [mm] $\tilde{u} \in [/mm] U$ und ein [mm] $\tilde{w} \in [/mm] W$ mit
[mm] $u=\tilde{u}+\tilde{w}\,.$
[/mm]
Sei also $u [mm] \in [/mm] U$ beliebig, aber fest. Wir wählen [mm] $\tilde{u}:=u\,,$ [/mm] dann ist sicher
[mm] $\tilde{u} \in U\,,$ [/mm] weil ja $u [mm] \in [/mm] U$ war. Wie hast Du nun [mm] $\tilde{w} \in [/mm] W$ zu wählen?
(Tipp: Beachte, dass der Nullvektor [mm] $0_V$ [/mm] von [mm] $V\,$ [/mm] auch zu [mm] $W\,$ [/mm] gehören
muss, weil...?)
Und noch ein Hinweis zu Deinem Ansatz: Du benutzt eigentlich nicht die
Definition von [mm] $U+W\,,$ [/mm] sondern Du machst schon einen Ansatz, wo die
Linearkombinationen vorkommen. Wenn Du das so machen willst, solltest
Du also erst den zweiten Aufgabenteil [mm] ($(U+W)=\,$) [/mm] lösen, denn, wie
gesagt:
Per Definitionem von
[mm] $U+W\,$
[/mm]
gilt
$z [mm] \in [/mm] (U+W)$
[mm] $\iff$ $\exists$ [/mm] $u [mm] \in [/mm] U$ und $w [mm] \in [/mm] W$ mit [mm] $z=u+w\,.$
[/mm]
Und NICHT
$z [mm] \in [/mm] (U+W)$
[mm] $\red{\iff}$ $\red{\exists}$ $\red{\lambda, \mu \in K}$ [/mm] und [mm] $\red{u \in U}$ [/mm] und [mm] $\red{w \in W}$ [/mm] mit [mm] $\red{z=\lambda*u+\mu*w\,.}$
[/mm]
Und wenn Du oben nun
$U [mm] \subseteq [/mm] (U+W)$
eingesehen hast, dann brauchst Du für
$W [mm] \subseteq [/mm] (U+W)$
nichts mehr zu machen. Du schreibst einfach: Das folgt dann, indem man
in dem vorangegangenen Beweis die Umbenennung
$U [mm] \leftrightarrow W$
durchführt.
> Zu U+W = :
> Weiß hier nicht, wie ich das niederschreiben soll!
> Aber ist ja die Menge aller Linearkombinationen,
> für die gilt
> [/mm] [mm]\vec{z}[/mm] = [mm]a_1[/mm] * [mm]\vec{x}[/mm] + [mm]a_2[/mm] * [mm]\vec{y}[/mm] wobei [mm]a_1, a_2[/mm]
> beliebig!
Habt ihr das so definiert? Dann ja. Es gibt auch andere mögliche Definitionen,
daher wäre es gut, wenn Du das konkret bestätigen würdest, sofern
das so ist, dass ihr mit dieser Definition arbeitet.
> Dies ist ja dann aber auch laut Definition U+W, nicht?
Nein, eben nicht:
[mm] $=\{r*u+s*w:\,\,r,s \in K \text{ und }u \in U \text{ sowie }w \in W\}\,,$
[/mm]
[das ist die Menge aller Linearkombinationen!]
aber
[mm] $U+W=\{u+w:\;\; u \in U \text{ und }w \in W\}\,.$
[/mm]
[das ist die Menge aller Summen, wobei ein Summand aus [mm] $U\,$ [/mm] und der andere
aus [mm] $W\,$ [/mm] ist - beachte, dass das [mm] $+\,$ [/mm] die Operation in [mm] $V\,$ [/mm] ist!]
Du hast nun
(I) [mm] $\,$ $\subseteq$ $(U+W)\,$
[/mm]
UND
(II) [mm] $(U+W)\,$ $\subseteq$ $\,$
[/mm]
zu beweisen:
Zu (I): Sei $z [mm] \in \,.$ [/mm] Dann gibt es
$r,s [mm] \in [/mm] K$ und $u [mm] \in [/mm] U$ und $w [mm] \in [/mm] W$
mit
[mm] $z=r*u+s*w\,.$
[/mm]
Zu zeigen ist nun: Es gibt
[mm] $\tilde{u} \in [/mm] U$ und [mm] $\tilde{w} \in [/mm] W$
mit
[mm] $z=\tilde{u}+\tilde{w}\,.$
[/mm]
Das ist nicht schwer: Warum reicht es
[mm] $\tilde{u}:=r*u\,$ [/mm] und [mm] $\tilde{w}:=s*w$
[/mm]
zu setzen?
Zu (II): Sei nun $z [mm] \in (U+W)\,.$ [/mm] (I.a. ein anderes [mm] $z\,$ [/mm] wie in (I)!) Dann gibt es
$u [mm] \in [/mm] U$ und $w [mm] \in [/mm] W$
mit
[mm] $z=u+w\,.$
[/mm]
Setzen wir nun [mm] $r:=s:=1_K\,,$ [/mm] so folgt
[mm] $z=1_K*u+1_K*w=r*u+s*w\,,$
[/mm]
also...?
P.S. Was ist mit den restlichen Aufgaben? Ich würde Dir eh empfehlen,
diese aus Deiner Frage herauszuschneiden und in einen neuen Fragethread
einzufügen - Du kannst ja gerne dort dann auf diese Frage hier verlinken!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 Sa 05.04.2014 | | Autor: | dodo1924 |
Hi!
Bei U, W [mm] \in [/mm] U+W kann ich ein beliebiges Element aus U mit dem Nullvektor aus W (der laut Unterraumkriterium enthalten sein muss) addieren, um zu zeigen, dass [mm] U\in [/mm] W.
Umgekehrtes gilt auch für W.
Hab das wirklich irgendwie kompliziert hingeschrieben ^^
Jedenfalls habe ich das damit gemeint!
Bei U+W = <U,W> habe ich anscheinend mit den definitionen geschlampt!
Aber so wie du es hingeschrieben hast ist alles klarer!
> Zu (I): Sei [mm]z \in \,.[/mm] Dann gibt es
> [mm]r,s \in K[/mm] und [mm]u \in U[/mm] und [mm]w \in W[/mm]
> mit
> [mm]z=r*u+s*w\,.[/mm]
>
> Zu zeigen ist nun: Es gibt
>
> [mm]\tilde{u} \in U[/mm] und [mm]\tilde{w} \in W[/mm]
>
> mit
>
> [mm]z=\tilde{u}+\tilde{w}\,.[/mm]
>
> Das ist nicht schwer: Warum reicht es
>
> [mm]\tilde{u}:=r*u\,[/mm] und [mm]\tilde{w}:=s*w[/mm]
>
> zu setzen?
Hier reicht die Begründung, dass U und W Unterräume und somit abgeschlossen bezüglich addition und multiplikation mit einem skalar sind, oder?
Zu den anderen Aufgaben muss ich mir erst passende Ansätze und Fragen überlegen! Hab gedacht, es mach mehr sinn, sie alle in einen Aufgabenthread zu schreiben, da es ja eig ähnliche Fragestellungen sind!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Sa 05.04.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi!
>
> Bei U, W [mm]\in[/mm] U+W kann ich ein beliebiges Element aus U mit
> dem Nullvektor aus W (der laut Unterraumkriterium enthalten
> sein muss) addieren, um zu zeigen, dass [mm]U\in[/mm] W.
> Umgekehrtes gilt auch für W.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Hab das wirklich irgendwie kompliziert hingeschrieben ^^
> Jedenfalls habe ich das damit gemeint!
Ja, Du hast vor allem direkt eine Linearkombination hingeschrieben. Da
war ich mir nicht sicher, ob Du da nicht einfach gedanklich schon einen
Schritt zu weit warst!
> Bei U+W = <U,W> habe ich anscheinend mit den definitionen
> geschlampt!
> Aber so wie du es hingeschrieben hast ist alles klarer!
Sehr gut. 
> > Zu (I): Sei [mm]z \in \,.[/mm] Dann gibt es
> > [mm]r,s \in K[/mm] und [mm]u \in U[/mm] und [mm]w \in W[/mm]
> > mit
>
> > [mm]z=r*u+s*w\,.[/mm]
> >
> > Zu zeigen ist nun: Es gibt
> >
> > [mm]\tilde{u} \in U[/mm] und [mm]\tilde{w} \in W[/mm]
> >
> > mit
> >
> > [mm]z=\tilde{u}+\tilde{w}\,.[/mm]
> >
> > Das ist nicht schwer: Warum reicht es
> >
> > [mm]\tilde{u}:=r*u\,[/mm] und [mm]\tilde{w}:=s*w[/mm]
> >
> > zu setzen?
>
> Hier reicht die Begründung, dass U und W Unterräume und
> somit abgeschlossen bezüglich addition und multiplikation
> mit einem skalar sind, oder?
Genau, denn damit folgerst Du noch
$(r*u) [mm] \in [/mm] U$ und [mm] $(s*w)\in W\,,$
[/mm]
was wir ja auch brauchen!
> Zu den anderen Aufgaben muss ich mir erst passende Ansätze
> und Fragen überlegen! Hab gedacht, es mach mehr sinn, sie
> alle in einen Aufgabenthread zu schreiben, da es ja eig
> ähnliche Fragestellungen sind!
Dann mach' sie vielleicht hier als "Unterfragen" auf (einfach neue Frage
anhängen, am Besten nochmal mit Titel "Aufgabe 2" etc.).
Wir warten dann auf weitere Ansätze (manchmal hat auch jmd. Lust,
einfach so auf solche Fragen zu antworten ... also wenn Du das nicht
willst, sondern lieber [wie es eigentlich laut Forenregeln gewünscht ist]
erstmal selbst überlegen willst, dann spicke halt lieber nur kurz in solche
Antworten, statt sie komplett zu lesen...).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 So 06.04.2014 | | Autor: | dodo1924 |
Zu Aufgabe 2)
Wir habe die direkte Summe definiert als eine Summe von Vektorräumen für die gilt, dass ein Vektorraum geschnitten mit der Summe der restlichen Vektorräume die leere Menge ergibt!
Da der durchschnitt assoziativ ist, reicht es hier in eine richtung zu rechnen!
Es ist also erstmals zu zeigen, dass U := {(a,b,c)|a=b=c} [mm] \cap [/mm] W:=<(0,b,c)> = {0}, also das U [mm] \oplus [/mm] W eine direkte Summe bilden!
Das ist aber deshalb schon erfüllt, da der einzige Vektor, der in U und in W enthalten ist, der Nullvektor ist! Also U [mm] \cap [/mm] W = [mm] \vec{0} [/mm] = {0}
Was heißt jetz, [mm] R^3 [/mm] = U [mm] \oplus [/mm] W?
Ich weiß, dass ich durch die Summe der beiden Unterräume den [mm] R^3 [/mm] erhalte (ist irgendwie nachvollziehbar), weiß jedoch nicht, wie ich das hinschreiben sollte...
Kurze Frage noch: mithilfe der direkten Summe zeige ich eigentlich, dass jeder Vektor einmalig in allen Unterräumen vorkommt, oder?
Danke schonmal im Vorraus!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:43 Mo 07.04.2014 | | Autor: | hippias |
> Zu Aufgabe 2)
> Wir habe die direkte Summe definiert als eine Summe von
> Vektorräumen für die gilt, dass ein Vektorraum
> geschnitten mit der Summe der restlichen Vektorräume die
> leere Menge ergibt!
Nein, der Durchschnitt enthaelt nichts ausser der $0$; so hast Du unten ja auch gearbeitet.
> Da der durchschnitt assoziativ ist, reicht es hier in eine
> richtung zu rechnen!
Verstehe ich nicht.
> Es ist also erstmals zu zeigen, dass U := {(a,b,c)|a=b=c}
> [mm]\cap[/mm] W:=<(0,b,c)> = {0},
Ja.
> also das U [mm]\oplus[/mm] W eine direkte
> Summe bilden!
> Das ist aber deshalb schon erfüllt, da der einzige
> Vektor, der in U und in W enthalten ist, der Nullvektor
> ist! Also U [mm]\cap[/mm] W = [mm]\vec{0}[/mm] = {0}
Ja. Koenntest Du es auch jemandem erklaren, der Schwierigkeiten hat das einzusehen?
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> Was heißt jetz, [mm]R^3[/mm] = U [mm]\oplus[/mm] W?
> Ich weiß, dass ich durch die Summe der beiden Unterräume
> den [mm]R^3[/mm] erhalte (ist irgendwie nachvollziehbar), weiß
> jedoch nicht, wie ich das hinschreiben sollte...
Zu zeigen waere, dass sich ein beliebiger Vektor [mm] $(x,y,z)\in \IR^{3}$ [/mm] als Summe der Gestalt $(a,b,c)+(0,b',c')$ schreiben laesst, wobei $a=b=c, [mm] b',c'\in \IR$. [/mm] Wie also muessen die Zahlen gewaehlt werden, damit $(x,y,z)= (a,b,c)+(0,b',c')$ ist?
>
> Kurze Frage noch: mithilfe der direkten Summe zeige ich
> eigentlich, dass jeder Vektor einmalig in allen
> Unterräumen vorkommt, oder?
Nein. Die Formulierung "dass jeder Vektor einmalig in allen Unterräumen vorkommt" ist sehr schlecht: kein Vektor kann mehrfach in einem Raum vorkommen, und wenn jeder Vektor in allen Unteraeumen vorkaeme, widerspraeche dies doch der Forderung, dass der Schnitt nur die $0$ enthaelt.
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> Danke schonmal im Vorraus!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:08 Mo 07.04.2014 | | Autor: | dodo1924 |
Also, das W [mm] \cap [/mm] U = [mm] \vec{0} [/mm] ergibt sich daraus, dass der Nullvektor der einzige Vektor ist, für den gilt, dass a=b=c (U) und a=0 (W)!
Kann ich das noch irgendwie verständlicher hinschreiben??
Und für $ [mm] R^3 [/mm] $ = U $ [mm] \oplus [/mm] $ W:
Sei [mm] \vec{z} \in R^3, [/mm] sei [mm] \vec{u} \in [/mm] U, sei [mm] \vec{w} \in [/mm] W, alle 3 beliebig
[mm] \vec{z} [/mm] = [mm] \vektor{x \\ y \\ z} \vec{u} [/mm] + [mm] \vec{w} [/mm] = [mm] \vektor{a\\ a \\ a} [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ b \\ c}
[/mm]
Wenn nun a:= x, b := y-x und c := z-x, gilt:
[mm] \vektor{x\\ x \\ x} [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ y-x \\ z-x} [/mm] = [mm] \vektor{x\\ y \\ z} \forall \in R^3
[/mm]
Richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:16 Mo 07.04.2014 | | Autor: | hippias |
> Also, das W [mm]\cap[/mm] U = [mm]\vec{0}[/mm] ergibt sich daraus, dass der
> Nullvektor der einzige Vektor ist, für den gilt, dass
> a=b=c (U) und a=0 (W)!
> Kann ich das noch irgendwie verständlicher
> hinschreiben??
Gut, halte ich fuer ausreichend.
>
> Und für [mm]R^3[/mm] = U [mm]\oplus[/mm] W:
> Sei [mm]\vec{z} \in R^3,[/mm] sei [mm]\vec{u} \in[/mm] U, sei [mm]\vec{w} \in[/mm] W,
> alle 3 beliebig
> [mm]\vec{z}[/mm] = [mm]\vektor{x \\ y \\ z} \vec{u}[/mm] + [mm]\vec{w}[/mm] =
> [mm]\vektor{a\\ a \\ a}[/mm] + [mm]\vektor{0 \\ b \\ c}[/mm]
>
> Wenn nun a:= x, b := y-x und c := z-x, gilt:
> [mm]\vektor{x\\ x \\ x}[/mm] + [mm]\vektor{0 \\ y-x \\ z-x}[/mm] =
> [mm]\vektor{x\\ y \\ z} \forall \in R^3[/mm]
>
> Richtig?
Ja. Lasse vielleicht weg, dass $u$ und $w$ beliebig sind, denn Du konstruierst sie ja speziell. Beliebig sollte in diesem Zusammenhand nur Vektor $z$ sein.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mo 07.04.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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