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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:13 Do 11.11.2004 | | Autor: | Nette |
Hallo!
Ich hab hier ne Aufgabe, hab mal versucht sie zu lösen, weiß aber nicht so recht.
Hier die Aufgabe:
Eine Abbildung f: [mm] \IR \to \IR [/mm] heißt periodisch, falls f(x-1)=f(x) für alle x [mm] \in \IR. [/mm] Zeige: Die Menge der periodischen Abbildungen ist ein Unterraum von Abb ( [mm] \IR, \IR).
[/mm]
Hier muss man doch zeigen:
1. Menge der periodischen Abbildungen: U [mm] \not= \emptyset
[/mm]
2. v,w [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] v+w [mm] \in [/mm] U
3. [mm] \lambda \in [/mm] K, v [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow \lambda [/mm] v [mm] \in [/mm] U
Stimmt das, und wie zeig ich das hier?
Danke schon mal im Voraus.
Gruß Annette
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
Ja, genau das musst du zeigen.
Es stellen sich also folgende Fragen, die du beantworten müssest (durch Rechnung):
1. Ist die Nullabbildung periodisch?
2. Ist die Summe zweier periodischer Funktionen wieder periodisch?
3. Ist das skalare Vielfache einer periodischen Funktion wieder periodisch?
z.B. bei Punkt 3)
Sei k eine reelle Zahl und v: |R -> |R eine periodische Funktion.
Dann ist (k*v)(x-1) = k*... fuer alle ..., und damit ...
Liebe Gruesse,
Irrlicht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:34 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Nette |
Hallo!
Danke erstmal für die Antwort.
Mir ist das aber leider noch nicht so ganz klar. Ich versuch mal nen Lösungsansatz, wäre nett, wenn mir jemand sagen könnte, ob das stimmt.
Also
1. Ist die Nullabbildung periodisch?
f(0)=0
f(1) = f(0) , also f(1) = 0,
d.h. Nullabbildung ist periodisch (kommt mir irgendwie nicht wirklich so
wirklich richtig vor)
Ich versteh nicht wirklich, wie ich das zeigen soll (auch 2. und 3.).
Könnte mir das jemand noch mal genauer erklären. Bitte!
Gruß
Annette
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:34 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Nette!
Die Nullabbildung ist periodisch, denn für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt:
[mm] ${\cal O}(x-1) [/mm] = 0 = [mm] {\cal O}(x)$,
[/mm]
wobei [mm] ${\cal O}$ [/mm] die Nullabbildung ist, d.h. die Abbildung [mm] ${\cal O}(x):=0$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR$.
[/mm]
Sind $v$ und $w$ periodisch, so gilt:
$v(x-1) = v(x)$ und $w(x-1)=w(x)$ für alle $x [mm] \in \IR$.
[/mm]
Dann gilt aber auch:
$(v+w)(x-1) = v(x-1) + w(x-1) = v(x) + w(x) = (v+w)(x)$,
d.h. auch $v+w$ ist periodisch.
Jetzt versuche den letzten Schritt mal genauso zu zeigen:
Ist $v$ periodisch und $k [mm] \in \IR$, [/mm] so ist auch $k [mm] \cdot [/mm] v$ periodisch.
Anmerkung: Es gilt: $(k [mm] \cdot [/mm] v)(x):= k [mm] \cdot [/mm] v(x)$.
Na, kriegst du es hin?
Melde dich mal wieder, mit einer Frage oder einem Lösungsvorschlag. Du solltest es wenigstens mal versuchen! 
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Nette |
Hallo!
Danke. Das ganze kann ich doch auch mit x und x+1 machen, oder?
Ändert ja nichts an dem ganzen, oder?
zu3) Ist v periodisch, so gilt: v(x-1)=v(x)
[mm] \lambda \in \IR [/mm]
( [mm] \lambda*v)(x-1)= \lambda*(v(x-1)) [/mm] = [mm] \lambda*v(x) [/mm] = ( [mm] \lambda [/mm] v)(x)
also ist [mm] \lambda*v [/mm] periodisch.
Das müsste doch so stimmen, oder?
Gruß Annette
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:41 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Nette |
Hi!
Ok, dann ist alles klar.
Ganz herzlichen Dank!
Viele Grüße
Annette
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