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| Aufgabe | Sei K ein Körper.
[mm] K^{X} [/mm] = { f: X [mm] \to [/mm] K} ist ein K-Vektorraum.
{ f [mm] \in K^{\IN} [/mm] | f(n) + f(n+1) = f(n+2) für alle n [mm] \in \IN [/mm] }
ist ein Unterraum von [mm] K^{\IN} [/mm] . |
Dies ist ein Beispiel aus der Vorlesung, das ich nicht nachvollziehen kann.
Ich kenne die Axiome für einen Unterraum, aber könnte mir trotzdem jemand dieses Beispiel nochmals erklären??
Dankeschön :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 Sa 27.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo weisseLilie,
zunächst gilt es, den Vektorraum [mm] $K^\IN$ [/mm] zu verstehen. Wie lauten seine Vektoren, seine Addition und seine skalare Multiplikation?
Seine Vektoren sind die Abbildungen [mm] $f\colon\IN\to [/mm] K$.
Z.B.
[mm] $f\colon\IN\to K,\quad f(n):=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}$
[/mm]
oder
[mm] $g\colon\IN\to K,\quad g(n):=\underbrace{1+1\ldots+1}_{n\text{ mal}}$.
[/mm]
Seine Addition (ich nenne sie mal [mm] $\boxplus$, [/mm] um sie von der Addition + des Körpers K zu unterscheiden) ist folgendermaßen erklärt: Für Vektoren [mm] $f,g\in K^\IN$ [/mm] sei
[mm] $f\boxplus g\colon\IN\to K,\quad (f\boxplus [/mm] g)(n):=f(n)+g(n)$.
Seine skalare Multiplikation (ich nenne sie [mm] $\boxdot$) [/mm] ist folgendermaßen erklärt: Für einen Vektor [mm] $f\in K^\IN$ [/mm] und einen Skalar [mm] $\lambda\in [/mm] K$ sei
[mm] $\lambda\boxdot f\colon\IN\to K,\quad (\lambda\boxdot f)(n):=\lambda\cdot [/mm] f(n)$.
Der Nullvektor von [mm] $K^\IN$ [/mm] ist die Abbildung
[mm] $0_{K^\IN}\colon\IN\to K,\quad 0_{K^\IN}(n):=0_K$,
[/mm]
die alle natürlichen Zahlen auf das Nullelement von K abbildet.
Nun zur Frage, warum
[mm] $U:=\{ f \in K^{\IN} \;|\; f(n) + f(n+1) = f(n+2)\text{ für alle }n \in \IN \}$
[/mm]
ein Unterraum von [mm] $K^\IN$ [/mm] ist.
Zu zeigen ist also: Es ist [mm] $U\subseteq K^\IN$ [/mm] und es gelten:
1. [mm] $0_{K^\IN}\in [/mm] U$.
2. Für alle [mm] $f,g\in [/mm] U$ gilt auch [mm] $f\boxplus g\in [/mm] U$.
3. Für alle [mm] $f\in [/mm] U$ und [mm] $\lambda\in [/mm] K$ gilt auch [mm] $\lambda\boxdot f\in [/mm] U$.
[mm] $U\subseteq K^\IN$ [/mm] gilt nach Definition von U.
zu 1.: Wegen
[mm] $0_{K^\IN}(n) [/mm] + [mm] 0_{K^\IN}(n+1) [/mm] = [mm] 0_K+0_K=0_K=0_{K^\IN}(n+2)$
[/mm]
für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt [mm] $0_{K^\IN}\in [/mm] U$.
zu 2.: Seien [mm] $f,g\in [/mm] U$. Zu zeigen ist [mm] $f\boxplus g\in [/mm] U$, d.h. zu zeigen ist
[mm] $(f\boxplus g)(n)+(f\boxplus g)(n+1)=(f\boxplus [/mm] g)(n+2)$
für alle [mm] $n\in\IN$.
[/mm]
Sei also [mm] $n\in\IN$. [/mm] Dann gilt:
[mm] $(f\boxplus g)(n)+(f\boxplus [/mm] g)(n+1)$
$=(f(n)+g(n))+(f(n+1)+g(n+1))$ (Definition [mm] $\boxplus$)
[/mm]
$=(f(n)+f(n+1))+(g(n)+g(n+1))$ (Assoziativität, Kommutativität Addition K)
$=f(n+2)+g(n+2)$ [mm] ($f\in [/mm] U$ und [mm] $g\in [/mm] U$)
[mm] $=(f\boxplus [/mm] g)(n+2)$ (Definition [mm] $\boxplus$).
[/mm]
3. überlasse ich mal dir zur Übung! 
Viele Grüße
Tobias
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Eins habe ich noch nicht verstanden:
Wie kommt man auf: f(n)+f(n+1)=f(n+2) ?
>
> [mm]=(f(n)+g(n))+(f(n+1)+g(n+1))[/mm] (Definition [mm]\boxplus[/mm])
> [mm]=(f(n)+f(n+1))+(g(n)+g(n+1))[/mm] (Assoziativität, Kommutativität Addition K)
> [mm]=f(n+2)+g(n+2)[/mm] ([mm]f\in U[/mm] und [mm]g\in U[/mm])
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 Sa 27.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Eins habe ich noch nicht verstanden:
>
> Wie kommt man auf: f(n)+f(n+1)=f(n+2) ?
Wir waren mit [mm] $f,g\in [/mm] U$ gestartet und wollten [mm] $f\boxplus g\in [/mm] U$ zeigen.
[mm] $f,g\in [/mm] U$ bedeutet wegen [mm] $U=\{ f \in K^{\IN} \;|\; f(n) + f(n+1) = f(n+2)\text{ für alle }n \in \IN \} [/mm] $ gerade:
[mm] $f,g\in K^\IN$ [/mm] mit $f(n)+f(n+1)=f(n+2)$ bzw. $g(n)+g(n+1)=g(n+2)$ für alle [mm] $n\in\IN$.
[/mm]
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