Unterraum, Dimension < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 Sa 11.07.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Sei [mm] A\in M(n,\mathbb{R}) [/mm] symmetrisch, [mm] f(x)=x^{t}Ax, x\in \mathbb{R}^n.
[/mm]
Beweise: Die Menge Z(f)={ [mm] z\in \mathbb{R}^n [/mm] |f(x)=f(x+z) [mm] \forall x\in \mathbb{R}^n [/mm] } ist ein linearer Unterraum des [mm] \mathbb{R}^n.
[/mm]
Berechne seine Dimension in Abhängigkeit vom Rang der Matrix A. |
Hallo,
erstmal ist ein linearer Unterraum doch nichts anderes als ein Untervektorraum, demnach sollte ich überprüfen:
[mm] 0\in [/mm] Z(f), [mm] y,z\in Z(f)\Rightarrow y+z\in [/mm] Z(f) und [mm] \lambda \in \mathbb{R}, z\in Z(f)\Rightarrow \lambda z\in [/mm] Z(f).
Die 0 ist drin, da f(x)=f(x+0).
Seien nun [mm] y,z\in [/mm] Z(f), dann gilt f(x)=f(x+z) und f(x)=f(x+y).
Ich weiß jetzt allerdings nicht so recht, wie ich das mit der Abgeschlossenheit der Addition weiter überprüfen soll?
Wie ich dir Dimension in Abhängigkeit vom Rang bestimme, weiß ich ebenso nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:16 Sa 11.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wieso nicht einfach z1,z2 aus Z und zeigen, dass dann auch z1+z2 aus Z?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:08 So 12.07.2009 | | Autor: | Unk |
> Hallo
> Wieso nicht einfach z1,z2 aus Z und zeigen, dass dann auch
> z1+z2 aus Z?
> Gruss leduart
Soweit war ich doch schon. Die Frage ist doch, wie?
Ich muss offensichtlich dann zeigen, dass gilt [mm] f(x)=f(x+z_1+z_2),
[/mm]
aber wie mache ich das mit [mm] f(x)=x^{t}Ax [/mm] und [mm] f(x)=f(x+z_1) [/mm] und [mm] f(x)=f(x+z_2)?
[/mm]
Und wie komme ich vor allem an die Dimension in Abhängigkeit vom Rang?
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> > Hallo
> > Wieso nicht einfach z1,z2 aus Z und zeigen, dass dann
> auch
> > z1+z2 aus Z?
> > Gruss leduart
>
> Soweit war ich doch schon. Die Frage ist doch, wie?
> Ich muss offensichtlich dann zeigen, dass gilt
> [mm]f(x)=f(x+z_1+z_2),[/mm]
Hallo,
genau. Und zwar für alle x.
Seine [mm] z_1, z_2\in [/mm] Z(f).
Dann gilt für alls x: [mm] f(x)=f(x+z_1) [/mm] und [mm] f(x)=f(x+z_2).
[/mm]
Es ist [mm] f(x+(z_1+z_2))= f((x+z_1)+z_2)=f(x+z_2) [/mm] --- wenn Du diesen Schritt verstanden hast, dann bist Du nahezu fertig.
> Und wie komme ich vor allem an die Dimension in
> Abhängigkeit vom Rang?
Was hast Du Dir denn bisher überlegt?
Ich habe keinen fertigen Plan, aber ich selbst, sofern ich die Aufgabe lösen wollte, würde mal in Richtung "symmetrisch" und den damit verbundenen Eigenschaften denken.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 So 12.07.2009 | | Autor: | Unk |
> Hallo,
>
> genau. Und zwar für alle x.
>
> Seine [mm]z_1, z_2\in[/mm] Z(f).
>
> Dann gilt für alls x: [mm]f(x)=f(x+z_1)[/mm] und [mm]f(x)=f(x+z_2).[/mm]
>
> Es ist [mm]f(x+(z_1+z_2))= f((x+z_1)+z_2)=f(x+z_2)[/mm] --- wenn Du
> diesen Schritt verstanden hast, dann bist Du nahezu
> fertig.
>
Und [mm] f(x+z_2)=f(x), [/mm] also gilt die Abgeschlossenheit bzgl Add. Bloß kann man so einfach [mm] f((x+z_1)+z_2)=f(x+z_2) [/mm] machen? [mm] f(x+z_1) [/mm] ist zwar auch =f(x), aber müsste ich das dann nicht vorher auch wieder auseinanderziehen, also die nicht vorhandene Linearität ausnutzen, um das so zu schreiben?
Und vor allem beim Fall der Skalarmultiplikation geht das dann nicht mehr so schön, für [mm] \lambda \in \mathbb{R}, z\in [/mm] Z(f): zu zeigen: [mm] f(x+\lambda [/mm] z)=f(x). Ich weiß, dass f(x)=f(x+z).
>
> > Und wie komme ich vor allem an die Dimension in
> > Abhängigkeit vom Rang?
>
> Was hast Du Dir denn bisher überlegt?
> Ich habe keinen fertigen Plan, aber ich selbst, sofern ich
> die Aufgabe lösen wollte, würde mal in Richtung
> "symmetrisch" und den damit verbundenen Eigenschaften
> denken.
Gut ich muss also etwas über die Anzahl der linear unabhängigen Elemente in Z(f) rausfinden.
Ich weiß, dass [mm] A=A^t [/mm] ist.
Also ist [mm] f(x)=x^{t}Ax=x^{t}A^{t}x.
[/mm]
Ich weiß zwar nicht, ob mir das weiterhilft, aber es stimmt zumindest.
>
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> > Hallo,
> >
> > genau. Und zwar für alle x.
> >
> > Seine [mm]z_1, z_2\in[/mm] Z(f).
> >
> > Dann gilt für alle x: [mm]f(x)=f(x+z_1)[/mm] und [mm]f(x)=f(x+z_2).[/mm]
> >
> > Es ist [mm]f(x+(z_1+z_2))= f((x+z_1)+z_2)=f(x+z_2)[/mm] --- wenn Du
> > diesen Schritt verstanden hast, dann bist Du nahezu
> > fertig.
> >
> Und [mm]f(x+z_2)=f(x),[/mm] also gilt die Abgeschlossenheit bzgl
> Add. Bloß kann man so einfach [mm]f((x+z_1)+z_2)=f(x+z_2)[/mm]
> machen?
Hallo,
genau das ist der Schritt, den Du überlegen solltest.
Ich habe oben die entscheidende Passage fett gedruckt.
> Und vor allem beim Fall der Skalarmultiplikation geht das
> dann nicht mehr so schön, für [mm]\lambda \in \mathbb{R}, z\in[/mm]
> Z(f): zu zeigen: [mm]f(x+\lambda[/mm] z)=f(x). Ich weiß, dass
> f(x)=f(x+z).
Tja, da muß man sich was einfallen lassen.
Vielleicht findest Du erstmal heraus, was [mm] f(\lambda [/mm] x) mit f(x) zu tun hat.
Danach:
[mm] f(x+\lambda z)=f(\lambda (\bruch{x}{\lambda}+z)= [/mm] ???
> >
> > > Und wie komme ich vor allem an die Dimension in
> > > Abhängigkeit vom Rang?
> >
> > Was hast Du Dir denn bisher überlegt?
> > Ich habe keinen fertigen Plan, aber ich selbst, sofern
> ich
> > die Aufgabe lösen wollte, würde mal in Richtung
> > "symmetrisch" und den damit verbundenen Eigenschaften
> > denken.
>
> Gut ich muss also etwas über die Anzahl der linear
> unabhängigen Elemente in Z(f) rausfinden.
> Ich weiß, dass [mm]A=A^t[/mm] ist.
> Also ist [mm]f(x)=x^{t}Ax=x^{t}A^{t}x.[/mm]
>
> Ich weiß zwar nicht, ob mir das weiterhilft, aber es
> stimmt zumindest.
Ja, richtig kommt's mir schon vor. Ich dachte allerdings eher an etwas in Richtung Diagonalisierung. Vielleicht kommt man damit weiter.
Gruß v. Angela
>
>
> >
> >
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 So 12.07.2009 | | Autor: | Unk |
> > > Hallo,
> > >
> > > genau. Und zwar für alle x.
> > >
> > > Seine [mm]z_1, z_2\in[/mm] Z(f).
> > >
> > > Dann gilt für alle x: [mm]f(x)=f(x+z_1)[/mm] und [mm]f(x)=f(x+z_2).[/mm]
> > >
> > > Es ist [mm]f(x+(z_1+z_2))= f((x+z_1)+z_2)=f(x+z_2)[/mm] --- wenn Du
> > > diesen Schritt verstanden hast, dann bist Du nahezu
> > > fertig.
> > >
> > Und [mm]f(x+z_2)=f(x),[/mm] also gilt die Abgeschlossenheit bzgl
> > Add. Bloß kann man so einfach [mm]f((x+z_1)+z_2)=f(x+z_2)[/mm]
> > machen?
>
> Hallo,
>
> genau das ist der Schritt, den Du überlegen solltest.
> Ich habe oben die entscheidende Passage fett gedruckt.
Ok, das gilt also für jedes x. Aber ich komme damit trotzdem noch nicht so recht klar, es ist doch dann nicht [mm] x=x+z_1.
[/mm]
> > Und vor allem beim Fall der Skalarmultiplikation geht das
> > dann nicht mehr so schön, für [mm]\lambda \in \mathbb{R}, z\in[/mm]
> > Z(f): zu zeigen: [mm]f(x+\lambda[/mm] z)=f(x). Ich weiß, dass
> > f(x)=f(x+z).
>
> Tja, da muß man sich was einfallen lassen.
>
> Vielleicht findest Du erstmal heraus, was [mm]f(\lambda[/mm] x) mit
> f(x) zu tun hat.
Ja ich weiß mitlerweile auch hier, wie ich es rechnen muss, aber zugeben muss ich, dass ich es trotzdem noch nicht recht verstanden habe. Dieses f(x)=f(x+z) macht mir Probleme irgendwie.
> > >
> > > > Und wie komme ich vor allem an die Dimension in
> > > > Abhängigkeit vom Rang?
> > >
> > > Was hast Du Dir denn bisher überlegt?
> > > Ich habe keinen fertigen Plan, aber ich selbst,
> sofern
> > ich
> > > die Aufgabe lösen wollte, würde mal in Richtung
> > > "symmetrisch" und den damit verbundenen Eigenschaften
> > > denken.
> >
> > Gut ich muss also etwas über die Anzahl der linear
> > unabhängigen Elemente in Z(f) rausfinden.
> > Ich weiß, dass [mm]A=A^t[/mm] ist.
> > Also ist [mm]f(x)=x^{t}Ax=x^{t}A^{t}x.[/mm]
> >
> > Ich weiß zwar nicht, ob mir das weiterhilft, aber es
> > stimmt zumindest.
>
> Ja, richtig kommt's mir schon vor. Ich dachte allerdings
> eher an etwas in Richtung Diagonalisierung. Vielleicht
> kommt man damit weiter.
A besitzt ja eine ONB aus Eigenvektoren, d.h. ich kann A immer auf Diagonalform mithilfe einer orthogonalen Matrix bringen.
Dann würde mir [mm] f(x)=x^{t}Ax [/mm] irgendein homogenes, quadratisches Polynom liefern. Das könnte ich auf Hauptachsenform bringen. Je nachdem wie der Rang von A ist, erhalte ich eine unterschiedliche Anzahl von Variablen in meinem quadratischen Polynom.
Kommt man mit diesen Gedanken schonmal etwas näher an die Lösung?
Aber für welche Elemente aus [mm] \mathbb{R}^n [/mm] gilt dann überhaupt f(x)=f(x+z), ich kanns mir nur schwer vorstellen.
>
> Gruß v. Angela
> >
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> > >
> > >
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> > > > Seine [mm]z_1, z_2\in[/mm] Z(f).
> > > >
> > > > Dann gilt für alle x: [mm]f(x)=f(x+z_1)[/mm] und [mm]f(x)=f(x+z_2).[/mm]
> > > >
> > > > Es ist [mm]f(x+(z_1+z_2))= f((x+z_1)+z_2)=f(x+z_2)[/mm] --- wenn Du
> > > > diesen Schritt verstanden hast, dann bist Du nahezu
> > > > fertig.
> > > >
> > > Und [mm]f(x+z_2)=f(x),[/mm] also gilt die Abgeschlossenheit bzgl
> > > Add. Bloß kann man so einfach [mm]f((x+z_1)+z_2)=f(x+z_2)[/mm]
> > > machen?
> >
> > Hallo,
> >
> > genau das ist der Schritt, den Du überlegen solltest.
> > Ich habe oben die entscheidende Passage fett gedruckt.
>
> Ok, das gilt also für jedes x. Aber ich komme damit
> trotzdem noch nicht so recht klar, es ist doch dann nicht
> [mm]x=x+z_1.[/mm]
Hallo,
Namen sind Schall und Rauch...
Es ist [mm] z_2\in [/mm] Z(f). Also gilt für jedes [mm] x\in \IR^n [/mm] : [mm] f(x)=f(x+z_2).
[/mm]
Es ist aber doch [mm] x':=x+z_1 [/mm] auch ein Element aus [mm] \IR^n.
[/mm]
Und somit ist [mm] f(x'+z_2)= [/mm] ???
> > Vielleicht findest Du erstmal heraus, was [mm]f(\lambda[/mm] x) mit
> > f(x) zu tun hat.
>
> Ja ich weiß mitlerweile auch hier, wie ich es rechnen
> muss, aber zugeben muss ich, dass ich es trotzdem noch
> nicht recht verstanden habe. Dieses f(x)=f(x+z) macht mir
> Probleme irgendwie.
Spätestens jetzt sollte es klarer sein. Sonst krieg' ich nämlich graue Haare!
> > > > > Und wie komme ich vor allem an die Dimension in
> > > > > Abhängigkeit vom Rang?
> A besitzt ja eine ONB aus Eigenvektoren, d.h. ich kann A
> immer auf Diagonalform mithilfe einer orthogonalen Matrix
> bringen.
Ja.
Und um jetzt mal auf den Rang zu sprechen zu kommen: wenn Rang A=k ist, dann sind ist ja die 0 ein n-k-facher Eigenwert, zu welchem dann n
> Dann würde mir [mm]f(x)=x^{t}Ax[/mm] irgendein homogenes, -k linear unabhängige Eigenvektoren gehören.
> Kommt man mit diesen Gedanken schonmal etwas näher an die
> Lösung?
Ich glaube: ja.
>
> Aber für welche Elemente aus [mm]\mathbb{R}^n[/mm] gilt dann
> überhaupt f(x)=f(x+z), ich kanns mir nur schwer
> vorstellen.
Ja, mich strengt das auch an, weil ich nämlich quadratische Formen und Bilinearformen generell anstrengend finde.
Aber wenn ich mal meine Fühler zittern lasse, dann würd' ich sagen: die Eigenvektoren zum EW 0 sind drin...
Das kannst Du ja mal zeigen. Sollte funktionieren.
Und danach mußt Du überlegen, ob#s noch andere Vektoren in Z(f) geben kann.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 So 12.07.2009 | | Autor: | Unk |
> Aber wenn ich mal meine Fühler zittern lasse, dann würd'
> ich sagen: die Eigenvektoren zum EW 0 sind drin...
> Das kannst Du ja mal zeigen. Sollte funktionieren.
> Und danach mußt Du überlegen, ob#s noch andere Vektoren
> in Z(f) geben kann.
Es wird keine anderen Vektoren geben, als jene im Eigenraum zum EW 0,
aber sei z ein Eigenvektor zum EW 0, dann:
[mm] f(x+z)=(x+z)^{t}A(x+z)=(x+z)^{t}(Ax+Az)=(x+z)^{t}Ax=x^{t}Ax+z^{t}Ax\neq [/mm] f(x)
Entweder ist die Rechnung also falsch, oder die These, dass alle Eigenvektoren zum EW 0 in Z(f) liegen.
>
> Gruß v. Angela
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> > Aber wenn ich mal meine Fühler zittern lasse, dann würd'
> > ich sagen: die Eigenvektoren zum EW 0 sind drin...
> > Das kannst Du ja mal zeigen. Sollte funktionieren.
> > Und danach mußt Du überlegen, ob#s noch andere
> Vektoren
> > in Z(f) geben kann.
>
> Es wird keine anderen Vektoren geben, als jene im Eigenraum
> zum EW 0,
> aber sei z ein Eigenvektor zum EW 0, dann:
>
> [mm]f(x+z)=(x+z)^{t}A(x+z)=(x+z)^{t}(Ax+Az)=(x+z)^{t}Ax=x^{t}Ax+z^{t}Ax\neq[/mm] f(x)
Och Mönsch!
Wie kommst Du denn eigentlich darauf, daß das [mm] \not= [/mm] f(x) ist?
Woher nimmst Du die Gewißheit, daß i.a. [mm] z^{t}Ax \not=0 [/mm] ?
Machmal reicht's nicht, sich mit geöffnetem Mund hinzusetzen. Man muß ihn auch in die richtige Richtung drehen.
Bearbeite [mm] z^{t}Ax [/mm] noch ein bißchen. Alles notwendige weißt Du.
Gruß v. Angela
> Entweder ist die Rechnung also falsch, oder die These, dass
> alle Eigenvektoren zum EW 0 in Z(f) liegen.
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 02:17 Mo 13.07.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie nun Z(f) für die isometrischen Normalformen quadratischer Formen f in 3 Variablen (nur die homogenen). |
So den größten Teil habe ich geschafft.
Für diesen Teil muss ich ja nur noch die Matrix A bestimmen und die Eigenvektoren zum EW 0 ausrechnen.
Meine Frage ist nur, welche Formen f muss ich nun betrachten?
Wäre sowas [mm] aX^2-Y^2 [/mm] (oder eben als Polynom: [mm] c_1+T_{1} ^{2}-T_{2}^{2} [/mm] ) schon eine in 3 Variablen? Oder sind mit den Variablen nur die X bzw Y gemeint?
In meinem Beispiel wäre rg(A)=2 also Z(f) würde nur 0 enthalten.
Aber welche Formen muss ich nun alle betrachten?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:20 Mi 15.07.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:27 So 12.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Abbildung ist linear!
f(x+z1)=f(x)=f(x+z2)
f(x+z2 +x+z2)=f(x+z2)+f(x+z2)=f(2x+z1+z2) fuer alle x !
die Darstellung brauchst du nur fuer die dim.
gruss leduart
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> Hallo
> Die Abbildung ist linear!
Hallo,
die Abbildung f ist doch eine quadratische Form. Die ist nicht linear.
Gruß v. Angela
> f(x+z1)=f(x)=f(x+z2)
> f(x+z2 +x+z2)=f(x+z2)+f(x+z2)=f(2x+z1+z2) fuer alle x !
> die Darstellung brauchst du nur fuer die dim.
> gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:13 So 12.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Danke fuers aufpassen angela
Gruss leduat
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