Unterraum / Erzeugendensystem < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:34 Mo 18.05.2009 | | Autor: | marcello |
| Aufgabe | Im linearen Raum V = [mm] \IR^{4} [/mm] über [mm] \IR [/mm] seien die folgenden zwei linearen Unterräume gegeben:
[mm] U_{1} [/mm] = [mm] \{ \vec{x} \in \IR^{4} | \pmat{ 1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -1} \vec{x} = \vec{0} \}
[/mm]
[mm] U_{2} [/mm] = [mm] [\vec{a}, \vec{b}] [/mm] mit [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] (1,1,2,2)^{T}, \vec{b} [/mm] = [mm] (1,1,0,0)^{T}
[/mm]
(a) Geben Sie ein Erzeugendensystem M von [mm] U_{1} [/mm] an.
(b) Geben Sie [mm] dim(U_{1}) [/mm] und [mm] dim(U_{2}) [/mm] an.
(c) Bestimmen Sie U = [mm] U_{1} \cap U_{2} [/mm] . Ist U ein linearer Unterraum von V? Falls ja, gebe man ein Erzeugendensystem von U sowie dim(U) an.
(d) Begründen Sie, warum der Durchschnitt von linearen Unterräumen stets ein linearer Unterraum ist. Gilt dies auch für die Vereinigung?
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Hallo!
Ich habe ein paar Probleme mit der Aufgabe oben. Ich schreibe einfach mal meine Vorgehensweise zu den einzelnen Teilaufgaben:
zu (a)
Ein Erzeugendensystem ist doch nichts anderes als die Vektoren in einer Linearkombination des Vektorraum [mm] U_{1}.
[/mm]
Bsp.: [mm] [\Vec{a},\Vec{b}] [/mm] = [mm] \alpha*\Vec{a}+\beta*\Vec{b} [/mm]
--> Mein Erzeugendensystem wäre doch jetzt [mm] \{\Vec{a},\Vec{b}\}
[/mm]
Dazu noch eine Frage, die Vektoren in meinem Erzeugendensystem müssen dann nicht zwingend linear unabhängig sein, oder? Dasselbe würde dann ja auch für die Linearkombination gelten...
Demnach würde ich (a) dann so lösen:
LGS aufstellen: [mm] 1*x_{1}+2*x_{2}+1*x_{3}-1*x_{4} [/mm] = 0 und [mm] 0*x_{1}+1*x_{1}+1*x_{3}-1*x_{4} [/mm] = 0
Mit Gauß-Verfahren lösen:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -1} [/mm] | [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
--> [mm] \pmat{ 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1} [/mm] | [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
--> nach [mm] x_{1}, x_{2} [/mm] umstellen; [mm] x_{3} [/mm] = s und [mm] x_{4} [/mm] = t sind freie Variablen
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{3} [/mm] - [mm] x_{4} [/mm] = s - t
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] -x_{3} [/mm] + [mm] x_{4} [/mm] = -s + t
--> Lösungsmenge : L = [mm] \{ \Vec{x} = \vektor{s-t \\ -s+t \\ s \\ t} \} [/mm] = [mm] \{ \Vec{x} = s*\vektor{1 \\ -1 \\ 1 \\ 0} + t*\vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 1} \}
[/mm]
Ergebnis: M = [mm] \{ \vektor{1 \\ -1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 1} \}
[/mm]
Sind die beiden Vektoren aus M jetzt nicht auch automatisch eine Basis von [mm] U_{1}? [/mm] Beide sind ja linear unabhängig und bilden ein Erzeugendensystem von [mm] U_{1}.
[/mm]
zu (b)
Die Dimension von [mm] U_{1} [/mm] kann ich anhand des Gauß-Verfahrens ablesen: Da die Lösungsmatrix eine Stufenmatrix vom Typ(1,2) ist, also der rang = 2 ist, hat [mm] U_{1} [/mm] die Dimension 2. Denn es gilt nach Def. für die Dimension: dim(A) = rg(a).
Bei [mm] U_{2} [/mm] bin ich mir schon nicht mehr so sicher. Es gilt ja [mm] U_{2} [/mm] = [mm] \[\vec{a}, \vec{b}], [/mm] d.h. alle Vektoren des Vektorraumes [mm] U_{2} [/mm] können durch die Linearkombination von [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] erzeugt werden. Damit wären die beiden Vektoren ja ein Erzeugendensystem von [mm] U_{2} [/mm] und somit ist auch [mm] dim(U_{2}) [/mm] = 2.
zu (c)
Ich habe leider überhaupt keine Idee wie man einen Vektorraum U erzeugen soll, in dem nur die gemeinsamen Vektoren aus [mm] U_{1} [/mm] und [mm] U_{2} [/mm] liegen.
Um zu zeigen, dass U in V liegt, muss ich die Unterraumaxiome beweisen:
(1) Nullvektor liegt in U.
(2) Die Summe zweier Vektoren aus U und V liegt auch wieder in U.
(3) Ein Vektor aus U und V multipliziert mir einer skalaren Größe x liegt auch wieder in U.
zu (d)
Wenn man den Durchschnitt von zwei linearen Unterräumen bildet, dann entsteht ja ein kleinerer, neuer Unterraum für den dieselben Unterraumaxiome gelten: Er hat noch den Nullvektor (kommt ja in den beiden anderen Unterräumen vor) und die Summe bzw. Multiplikation mit einer skalaren Größe erzeugt auch wieder einen Vektor der in den beiden alten Unterräumen und im neuen liegt.
Bei der Vereinigung entsteht ja eigentlich kein Unterraum, sondern eine neuer "Überraum", oder?
Danke für Eure Hilfe! Hoffentlich ist die Aufgabe nicht zu viel... ;)
Grüße,
marcello
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> Im linearen Raum V = [mm]\IR^{4}[/mm] über [mm]\IR[/mm] seien die folgenden
> zwei linearen Unterräume gegeben:
> [mm]U_{1}[/mm] = [mm]\{ \vec{x} \in \IR^{4} | \pmat{ 1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -1} \vec{x} = \vec{0} \}[/mm]
>
> [mm]U_{2}[/mm] = [mm][\vec{a}, \vec{b}][/mm] mit [mm]\vec{a}[/mm] = [mm](1,1,2,2)^{T}, \vec{b}[/mm]
> = [mm](1,1,0,0)^{T}[/mm]
>
> (a) Geben Sie ein Erzeugendensystem M von [mm]U_{1}[/mm] an.
> (b) Geben Sie [mm]dim(U_{1})[/mm] und [mm]dim(U_{2})[/mm] an.
> (c) Bestimmen Sie U = [mm]U_{1} \cap U_{2}[/mm] . Ist U ein
> linearer Unterraum von V? Falls ja, gebe man ein
> Erzeugendensystem von U sowie dim(U) an.
> (d) Begründen Sie, warum der Durchschnitt von linearen
> Unterräumen stets ein linearer Unterraum ist. Gilt dies
> auch für die Vereinigung?
>
> Hallo!
>
> Ich habe ein paar Probleme mit der Aufgabe oben. Ich
> schreibe einfach mal meine Vorgehensweise zu den einzelnen
> Teilaufgaben:
>
> zu (a)
Hallo,
Du hast das richtig gemacht. Es ist hier der Kern der Matrix zu bestimmen.
> Ergebnis: M = [mm]\{ \vektor{1 \\ -1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 1} \}[/mm]
>
> Sind die beiden Vektoren aus M jetzt nicht auch automatisch
> eine Basis von [mm]U_{1}?[/mm] Beide sind ja linear unabhängig und
> bilden ein Erzeugendensystem von [mm]U_{1}.[/mm]
Genau.
>
> zu (b)
>
> Die Dimension von [mm]U_{1}[/mm] kann ich anhand des Gauß-Verfahrens
> ablesen: Da die Lösungsmatrix eine Stufenmatrix vom
> Typ(1,2) ist, also der rang = 2 ist, hat [mm]U_{1}[/mm] die
> Dimension 2. Denn es gilt nach Def. für die Dimension:
> dim(A) = rg(a).
Es kommt darauf an, daß der Kern der Matrix die Dimension 2 hat.
>
> Bei [mm]U_{2}[/mm] bin ich mir schon nicht mehr so sicher. Es gilt
> ja [mm]U_{2}[/mm] = [mm]\[\vec{a}, \vec{b}],[/mm] d.h. alle Vektoren des
> Vektorraumes [mm]U_{2}[/mm] können durch die Linearkombination von
> [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] erzeugt werden. Damit wären die beiden
> Vektoren ja ein Erzeugendensystem von [mm]U_{2}[/mm] und somit ist
> auch [mm]dim(U_{2})[/mm] = 2.
Sie erzeugen und sie sind linear unabhängig, daher dim [mm] U_2=2.
[/mm]
>
> zu (c)
> Ich habe leider überhaupt keine Idee wie man einen
> Vektorraum U erzeugen soll, in dem nur die gemeinsamen
> Vektoren aus [mm]U_{1}[/mm] und [mm]U_{2}[/mm] liegen.
Bedenke: doie Vektoren aus [mm] U_1 [/mm] sind Linearkombinationen seiner Basisvektoren, bei [mm] U_2 [/mm] ebenso.
Nun setze diese Linearkombinationen gleich und Löse das System.
(Das ist wie in der Schule beim Bestimmen von Ebenenschnitten.)
> zu (d)
> Wenn man den Durchschnitt von zwei linearen Unterräumen
> bildet, dann entsteht ja ein kleinerer, neuer Unterraum für
> den dieselben Unterraumaxiome gelten: Er hat noch den
> Nullvektor (kommt ja in den beiden anderen Unterräumen vor)
> und die Summe bzw. Multiplikation mit einer skalaren Größe
> erzeugt auch wieder einen Vektor der in den beiden alten
> Unterräumen und im neuen liegt.
Die gedanken sind richtig.
Formalisiere das noch.
So: [mm] u\in U_1\cap U_2 [/mm] ==> [mm] u\in U_1 [/mm] und [mm] u\in U_2 [/mm] usw.
> Bei der Vereinigung entsteht ja eigentlich kein Unterraum,
> sondern eine neuer "Überraum", oder?
Wenn man Glück hätte. Aber im allgemeinen entsteht gar kein VR, und warum das so ist, solltst Du Dir überlegen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Mo 18.05.2009 | | Autor: | marcello |
> > zu (c)
> > Ich habe leider überhaupt keine Idee wie man einen
> > Vektorraum U erzeugen soll, in dem nur die gemeinsamen
> > Vektoren aus [mm]U_{1}[/mm] und [mm]U_{2}[/mm] liegen.
>
> Bedenke: doie Vektoren aus [mm]U_1[/mm] sind Linearkombinationen
> seiner Basisvektoren, bei [mm]U_2[/mm] ebenso.
>
> Nun setze diese Linearkombinationen gleich und Löse das
> System.
Also, ich habe die Linearkombinationen jetzt gleich gesetzt und das LGS gelöst:
--> zur Kontrolle: [mm] x_{1}*\vektor{1\\-1\\1\\0} [/mm] + [mm] x_{2}*\vektor{-1\\1\\0\\1} [/mm] = [mm] x_{3}*\vektor{1\\1\\2\\2} [/mm] + [mm] x_{4}*\vektor{1\\1\\0\\0} [/mm]
==> [mm] x_{1}*\vektor{1\\-1\\1\\0} [/mm] + [mm] x_{2}*\vektor{-1\\1\\0\\1} [/mm] - [mm] x_{3}*\vektor{1\\1\\2\\2} [/mm] - [mm] x_{4}*\vektor{1\\1\\0\\0} [/mm] = 0
als Lsg. des LGS habe ich dann: L = [mm] {\vec{x} \in \IR | \Vec{x} = s*\vektor{-2\\-2\\-1\\0} }
[/mm]
D.h. doch dann U = [mm] [\vektor{-2\\-2\\-1\\0}]. [/mm] Wenn ich die Lösung interpretieren müsste, dann würde ich sagen, dass U alle Vektoren beschreibt die in [mm] U_{1} \cap U_{2} [/mm] liegen, weil ich ja die Linearkombinationen am Anfang erst gleich gesetzt und dann nach null umgestellt habe. Durch das nach null umstellen beschreibe ich ja automatisch nur die Vektoren die subtrahiert null ergeben. [mm] [U_{1}] [/mm] - [mm] [U_{2}] [/mm] = 0 <=> [mm] u_{1} \in U_{1}, u_{2} \in U_{1} [/mm] | [mm] u_{1} [/mm] - [mm] u_{2} [/mm] = 0 <=> [mm] u_{1} [/mm] = [mm] u_{2}
[/mm]
> > zu (d)
> > Wenn man den Durchschnitt von zwei linearen Unterräumen
> > bildet, dann entsteht ja ein kleinerer, neuer Unterraum für
> > den dieselben Unterraumaxiome gelten: Er hat noch den
> > Nullvektor (kommt ja in den beiden anderen Unterräumen vor)
> > und die Summe bzw. Multiplikation mit einer skalaren Größe
> > erzeugt auch wieder einen Vektor der in den beiden alten
> > Unterräumen und im neuen liegt.
>
> Die gedanken sind richtig.
> Formalisiere das noch.
>
> So: [mm]u\in U_1\cap U_2[/mm] ==> [mm]u\in U_1[/mm] und [mm]u\in U_2[/mm] usw.
Unterraumaxiome:
es gilt: u,v [mm] \in [/mm] U = [mm] U_1 \cap U_2 \gdw [/mm] u,v [mm] \in U_1 \wedge [/mm] u,v [mm] \in U_2 [/mm] ; [mm] \alpha \in \IR
[/mm]
(1) [mm] \vec{0} \in U_1 \cap U_2 \gdw \vec{0} \in U_1 \wedge \vec{0} \in U_2 [/mm]
(2) u + v [mm] \in [/mm] U [mm] \gdw [/mm] u+v [mm] \in U_1 \wedge [/mm] u+v [mm] \in U_2
[/mm]
(3) [mm] \alpha*u \in [/mm] U [mm] \gdw \alpha*u \in U_1 \wedge \alpha*u \in U_2
[/mm]
> > Bei der Vereinigung entsteht ja eigentlich kein Unterraum,
> > sondern eine neuer "Überraum", oder?
>
> Wenn man Glück hätte. Aber im allgemeinen entsteht gar kein
> VR, und warum das so ist, solltst Du Dir überlegen.
Wenn ich 2 VR vereinige dann habe ich, unter der Vorraussetzung, dass beide unterschiedlich sind, immer einen Teil in der Vereinigung, den nur ein Vekorraum von beiden beschreiben kann. Das wiederum würde heißen, dass für diesen Teil auch nur die Unterraumaxiome von einem VR zu treffen würden, was es unmöglich macht, dass die Vereinigung beider einen neuen Vektorraum aufspannt. Stimmt die Richtung meiner Gedanken?
> Gruß v. Angela
>
Danke für die Hilfe!
Grüße,
marcello
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Mo 18.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dass die Vereinigung i.A. kein UVR ist machst du am besten mit nem einfachen beispiel etwa in [mm] \IR^2, [/mm] nimm die 2 einfachten 1d UR, und zeige dass die summe von 2 Vektoren nicht in der vereinigung liegt. Das ist einfacher, als das allgemein zu schreiben. Ein Gegenbeispiel reicht immer, um eine Vermutung als falsch zu zeigen.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:19 Di 19.05.2009 | | Autor: | marcello |
> Dass die Vereinigung i.A. kein UVR ist machst du am besten
> mit nem einfachen beispiel etwa in [mm]\IR^2,[/mm] nimm die 2
> einfachten 1d UR, und zeige dass die summe von 2 Vektoren
> nicht in der vereinigung liegt.
Also:
es gilt:
[mm] B_1 [/mm] = [mm] \vektor{1\\0}, B_2 [/mm] = [mm] \vektor{0\\1}, [/mm] V = [mm] B_1 \cup B_2
[/mm]
(1) [mm] \vec{0} \in [/mm] V [mm] \gdw \vec{0} \in B_1 \wedge \vec{0} \in B_2
[/mm]
(2) s,t [mm] \in [/mm] V [mm] \rightarrow [/mm] s + t [mm] \in [/mm] V [mm] \rightarrow [/mm] falsch, denn es würde bedeuten, dass [mm] \vektor{1\\0} [/mm] + [mm] \vektor{0\\1} [/mm] = [mm] \vektor{1\\1} [/mm] in V liegt, was aber nicht möglich ist, da die Unterräume eindimensional sind!
Also ist V = [mm] B_1 \cup B_2 [/mm] kein Vektorraum.
Ist die Lösung so ok?
Danke für die Hilfe!
gruß,
marcello
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> > Dass die Vereinigung i.A. kein UVR ist machst du am besten
> > mit nem einfachen beispiel etwa in [mm]\IR^2,[/mm] nimm die 2
> > einfachten 1d UR, und zeige dass die summe von 2 Vektoren
> > nicht in der vereinigung liegt.
>
> Also:
>
> es gilt:
> [mm]B_1[/mm] = [mm] \red{<}[/mm] [mm]\vektor{1\\0} \red{>}, B_2[/mm] = [mm] \red{<}[/mm] [mm]\vektor{0\\1} \red{>},[/mm] V = [mm]B_1 \cup B_2[/mm]
>
Hallo,
zum Widerlegen kommt es auf (2) an, und Du scheinst es verstanden zu haben.
> (2) s,t [mm]\in[/mm] V [mm]\rightarrow[/mm] s + t [mm]\in[/mm] V [mm]\rightarrow[/mm] falsch,
> denn es würde bedeuten, dass [mm]\vektor{1\\0}[/mm] + [mm]\vektor{0\\1}[/mm]
> = [mm]\vektor{1\\1}[/mm] in V liegt, was aber nicht möglich ist, da
> die Unterräume eindimensional sind!
Begründe hier lieber anders: [mm] \vektor{1\\1}\not\in B_1 [/mm] und [mm] \vektor{1\\1}\not\in B_2, [/mm] also nicht in V.
"Eindimensional" ist die falsche Begründung:
[mm] B_3:=<\vektor{-4711\\-4711}> [/mm] ist auch eindimensional, aber [mm] \vektor{1\\1} [/mm] ist sehr wohl da drin.
> Also ist V = [mm]B_1 \cup B_2[/mm] kein Vektorraum.
Genau.
Gruß v. Angela
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