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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 Fr 28.01.2011 | | Autor: | Bilmem |
| Aufgabe | Es seien [mm] a_0 [/mm] , [mm] a_1 [/mm] , ....., [mm] a_k \in \IR [/mm] , [mm] a_k \not= [/mm] 0 gegeben, und es sei V die Menge aller Folgen [mm] \{ x_n \}_n_\in_\IN [/mm] mit [mm] x_n \in \IR [/mm] , deren Glieder die Differenzengleichung
[mm] \summe_{j=0}^{k} a_j x_n_+_j [/mm] = 0
für alle n [mm] \in \IN [/mm] erfüllen.
1. Zeige, dass V bzgl. der gliedweisen Addition [mm] \{ x_n \}_n_\in_\IN [/mm] : = [mm] \{ x_n + y_n \}_n_\in_\IN [/mm] und Multiplikation mit Skalaren [mm] \lambda \{ x_n \}_n_\in_\IN [/mm] : = [mm] \{ \lambda x_n \}_n_\in_\IN [/mm] ein Unterraum des Vektorraumes aller reellen Folgen ist.
2. Welche Dimension besitzt der Raum V?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt. |
Wie gehe ich hier vor?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:09 Fr 28.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was musst du denn zeigen, damit es ein VR ist?
das einfach nachrechnen.
2. überleg erst mal für k=2 oder 3
Du bist doch nicht ganz neu, und weisst, dass du uns erstmal deine Ideen vortragen sollst!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Di 01.02.2011 | | Autor: | Bilmem |
1. Ich muss doch folgendes zeigen:
U [mm] \not= \{ \emptyset \}
[/mm]
u +v [mm] \in [/mm] U [mm] \forall [/mm] u,v [mm] \in [/mm] U
[mm] \lambda [/mm] * u [mm] \in [/mm] U [mm] \forall \lambda \in [/mm] K [mm] \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] U
Wie soll ich das denn ausrechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 Di 01.02.2011 | | Autor: | meili |
Hallo Bilmem,
> 1. Ich muss doch folgendes zeigen:
>
> U [mm]\not= \{ \emptyset \}[/mm]
Ja. Am besten eine konkrete Folge angeben, die in V ist.
> u +v [mm]\in[/mm] U [mm]\forall[/mm] u,v [mm]\in[/mm]
> U
Ja.
Also Du gehst von u, v [mm] $\in$ [/mm] V aus, d.h. u = $ [mm] \{ u_n \}_n_\in_\IN [/mm] $ und v = $ [mm] \{ v_n \}_n_\in_\IN [/mm] $ erfüllen die
Bedingung (*) $ [mm] \summe_{j=0}^{k} a_j u_n_+_j [/mm] $ = 0
für alle n $ [mm] \in \IN [/mm] $ für gegebene $ [mm] a_0 [/mm] $ , $ [mm] a_1 [/mm] $ , ....., $ [mm] a_k \in \IR [/mm] $ , $ [mm] a_k \not= [/mm] $ 0
bzw. das gleiche mit [mm] $v_n_+_j$ [/mm]
Wie u und v addiert werden, ist unter 1. definiert.
Nun musst Du zeigen, dass die Summe u+v Bedingung (*) erfüllt.
> [mm]\lambda[/mm] * u [mm]\in[/mm] U [mm]\forall \lambda \in[/mm] K [mm]\forall[/mm]
> u [mm]\in[/mm] U
Geht ähnlich wie bei der Addition, eben mit [mm] $\lambda \in \IR$ [/mm] und der bei 1. definierten Multiplikation.
>
>
> Wie soll ich das denn ausrechnen?
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Di 01.02.2011 | | Autor: | Bilmem |
Upps, ich möchte die Aufgabe nicht mit u un v lösen, bleiben wir bei x und y.
Also habe ich das jetzt so richtig verstanden? :
[mm] \{x_n\}_n_\in_\IN [/mm] + [mm] \{y_n\}_n_\in_\IN [/mm] = [mm] \summe_{j=0}^{k} ajx_n_+_j
[/mm]
??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 Di 01.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
nein das ist falsch, links vom = steht ne summe von 2 Folgen, rechts eine summe aus zahlen.
du musst zeigen wenn für [mm] {x_n}, {y_n} [/mm] gilt $ [mm] \summe_{j=0}^{k} a_j x_n_+_j [/mm] $ = 0 und [mm] \summe_{j=0}^{k} a_j y_n_+_j [/mm] $ = 0
für alle n $ [mm] \in \IN [/mm] $ erfüllen.
und [mm] {z_n}={x_n}+{y_n} [/mm] dann gilt auch für [mm] {z_n} [/mm] $ [mm] \summe_{j=0}^{k} a_j x_n_+_j [/mm] =0$ für alle n $ [mm] \in \IN [/mm] $.
du musst also zeigen dass die Summe der folgen wieder die eigenschaft hat. entsprechend die anderen Eigenschaften. eine UVR
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Di 01.02.2011 | | Autor: | Bilmem |
[mm] \{x_n\}_n_\in_\IN [/mm] + [mm] \{y_n\}_n_\in_\IN [/mm] = [mm] \summe_{j=0}^{k} ajx_n_+_j [/mm] + [mm] \summe_{j=0}^{k} ajy_n_+_j
[/mm]
[mm] \{x_n+y_n\}_n_\in_\IN [/mm] = [mm] \summe_{j=0}^{k} (x_n_+_j [/mm] + [mm] y_n_+_j)* a_j
[/mm]
Ist das der richtige Weg?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:21 Mi 02.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
der gleiche Fehler wie in deinem vorigen post! rechts ne zahl, nämlich 0 linkks ne Folge.
nochmal: $ [mm] \summe_{j=0}^{k} ajx_n_+_j [/mm] =0$ für alle n ist eine Bedingung für die Folge und doch nicht die Folgenimm mal a1=1a2=-2,a3=1
dann er füllt die Folge [mm] x_n=1 [/mm] für alle n die Bedingun, die folge [mm] y_n=\pi [/mm] für alle n auch.
die folge [mm] {x_n}+{y_n}=1+\pi,1+\pi,1+\pi.1+\pi,.....,1+\pi,....
[/mm]
ist die summe der 2 Folgen. gehört sie dazu? (bei diesen [mm] a_k
[/mm]
aber das ist nur ein primitives Beispiel mit k=3 .
also versuch die posts zu verstehen, oder zu sagen, was du nicht verstehst!
Gruss leduart
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