Unterraum und Basis < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Mo 16.03.2009 | | Autor: | Yami |
Hallo, leute
sooo da die Prüfung schon bald vor der tür steht wollte ich nochmal um eure hilfe bitten.
Ich habe hier paar Aufgaben gelöst und wollte wissen ob das alles so stimmt was ich gezaubert habe
edit: da ich selber gemerkt habe das das vielleicht zu viel für nen post ist teile ich das besser mal auf
Fangen wir mal an:
Aufgabe 2.
a) Sei M_22 der Raum aller 2 X 2 - Matrizen. Sei mit W ein Raum W [mm] \subset [/mm] M_22 gegeben, der erzeugt wird durch:
[mm] {\pmat{ 1 & -5 \\ -4 & 2 },\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 5 },\pmat{ 2 & -4 \\ -5 & 7 },\pmat{ 1 & -7 \\ -5 & 1 }}
[/mm]
i) Zeigen Sie, daß W ein Unterraum von M_22 ist.
ii) Ermitteln Sie explizit eine Basis von W
so zum Unterraum
x,y [mm] \in [/mm] W
mit
x = [mm] \lambda_1 [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & -5 \\ -4 & 2 } [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 5 } [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] * [mm] \pmat{ 2 & -4 \\ -5 & 7 } [/mm] + [mm] \lambda_4 [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & -7 \\ -5 & 1 }
[/mm]
y = [mm] \mu_1 [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & -5 \\ -4 & 2 } [/mm] + [mm] \mu_2 [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 5 } [/mm] + [mm] \mu_3 [/mm] * [mm] \pmat{ 2 & -4 \\ -5 & 7 } [/mm] + [mm] \mu_4 [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & -7 \\ -5 & 1 }
[/mm]
zeigen x+ y [mm] \in [/mm] W
x + y = [mm] (\lambda_1 [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & -5 \\ -4 & 2 } [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 5 } [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] * [mm] \pmat{ 2 & -4 \\ -5 & 7 } [/mm] + [mm] \lambda_4 [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & -7 \\ -5 & 1 }) [/mm] + [mm] (\mu_1 [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & -5 \\ -4 & 2 } [/mm] + [mm] \mu_2 [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 5 } [/mm] + [mm] \mu_3 [/mm] * [mm] \pmat{ 2 & -4 \\ -5 & 7 } [/mm] + [mm] \mu_4 [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & -7 \\ -5 & 1 })
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] (\lambda_1 [/mm] + [mm] \mu_1) [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & -5 \\ -4 & 2 } [/mm] + [mm] (\lambda_2 [/mm] + [mm] \mu_2) [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 5 } [/mm] + [mm] (\lambda_3 [/mm] + [mm] \mu_3) [/mm] * [mm] \pmat{ 2 & -4 \\ -5 & 7 } [/mm] + [mm] (\lambda_4 [/mm] + [mm] \mu_4) [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & -7 \\ -5 & 1 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] abgeschloßen auf addition
nun x [mm] \in [/mm] W und [mm] \alpha \in \IR
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] * x = [mm] \alpha [/mm] * [mm] (\lambda_1 [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & -5 \\ -4 & 2 } [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 5 } [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] * [mm] \pmat{ 2 & -4 \\ -5 & 7 } [/mm] + [mm] \lambda_4 [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & -7 \\ -5 & 1 })
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \alpha *\lambda_1 [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & -5 \\ -4 & 2 } [/mm] + [mm] \alpha [/mm] * [mm] \lambda_2 [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 5 } [/mm] + [mm] \alpha [/mm] * [mm] \lambda_3 [/mm] * [mm] \pmat{ 2 & -4 \\ -5 & 7 } [/mm] + [mm] \alpha [/mm] * [mm] \lambda_4 [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & -7 \\ -5 & 1 }
[/mm]
somit Unterraum von M_22
nun zu b) da die Menge Erzeugendensystem ist muss nur noch geprüft werden ob sie linear unabhängig ist
[mm] \lambda_1 [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & -5 \\ -4 & 2 } [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 5 } [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] * [mm] \pmat{ 2 & -4 \\ -5 & 7 } [/mm] + [mm] \lambda_4 [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & -7 \\ -5 & 1 } [/mm] = 0
dazu kann ich sagen wenn die determinanten ungleich 0 sind folgt lineare unabhängigkeit. Da alle ungleich 0 sind folgt lineare unabhängigkeit....
danke
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:46 Di 17.03.2009 | | Autor: | Rhapsod |
Hi Yami,
also ich habe es nur überflogen, deswegen auch keine vollständige Antwort hier.
Zu i) sei gesagt, dass es soweit richtig aussieht (also abgeschlossenheit bzgl. der Multiplikation und Addition)
Zu ii) wollte ich eigentlich eine Bemerkung machen. Du hast Recht mit der Aussage, dass wenn du Determinante ungleich null ist, dass eine lineare unabhängigkeit folgt, aber nicht in dem Sinne, dass alle Matrizen zueinander linear unabhängig sind, sondern, dass die Vektoren in der Matrize linear unabhängig sind.
Folgendes Bsp:
[mm] \lambda_{1} \pmat{ 1 & 4 \\ 3 & 2 } [/mm] + [mm] \lambda_{2} \pmat{ 2 & 3 \\ 1 & 1} [/mm] + [mm] \lambda_{3} \pmat{ 3 & 7 \\ 4 & 3 } [/mm] = 0
Wie du schnell feststellen wirst sind die Determinanten ungleich 0, aber für [mm] \lambda_{1} [/mm] = [mm] \lambda_{2} [/mm] = 1 und [mm] \lambda_{3} [/mm] = -1 ist die Gleichung null. Also gilt hier nicht nur die Triviale Lösung.
Musst also bei ii) nochmal ran.
Ansonsten viel Erfolg bei der Klausur.
|
|
|
|
