Unterraum und Komplement < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:29 Mo 16.11.2009 | | Autor: | Pause |
| Aufgabe | Im [mm] \IR-Vektorraum\ \IR^2 [/mm] betrachten wir den Unterraum U [mm] =\{(x,y) \in \IR^2 | 3x + 7y = 0\} [/mm] und nennen W ein Komplement zu U in [mm] \IR^2 [/mm] , falls [mm] U+W=\IR^2\ [/mm] und [mm] {U}\cap{W} [/mm] = [mm] \{0\} [/mm] ist.
(a) Stellen Sie U in der Zeichenebene dar.
(b) Finden Sie zwei verschiedene Komplemente zu U in [mm] \IR^2 [/mm] , und stellen Sie diese ebenfalls in der Zeichenebene dar.
(c) Bestimmen Sie alle Komplemente zu U in [mm] \IR^2 [/mm] . |
zu (a): Habe ich im Grunde gelöst, wär nur schön, wenn ihr mir bestätigen könnt, obs richtig ist. Ich hab einfach eine Lineare Funktion in einem Koordiantensystem mit x-achse und y-Achse gemalt mit der Steigung [mm] \bruch{-3}{7}.
[/mm]
zu (b): Habe ich als Beispiele [mm] W_{1} =\{(x,y) \in \IR^2 | x-y = 0\} [/mm] und [mm] W_{2}=\{(x,y) \in \IR^2 | 4x-y = 0\}... [/mm] stimmt das? Im Prinzip heißt doch Komplement in meinem Fall nur, dass eine andere Lineare Funktion irgendeiner Form sich mit U im Ursprung schneiden muss... oder wie ist das zu verstehen?
zu (c): ja da hab ich nicht wirklich nen Plan... aber so wie ich das Wort Komplement auffasse müsste ich eine Funktion finden, die die gesammte Zeichenebene abdeckt, außer eben U/{0}? Stimmt das? und wenn ja, kann ich dann sagen [mm] W_{m,n}=\{(x,y)\in \IR^2|mx+ny=0\} \forall m\in \IR/{3} [/mm] und [mm] \forall n\in \IR/{7}
[/mm]
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> Im [mm]\IR-Vektorraum\ \IR^2[/mm] betrachten wir den Unterraum U
> [mm]=\{(x,y) \in \IR^2 | 3x + 7y = 0\}[/mm] und nennen W ein
> Komplement zu U in [mm]\IR^2[/mm] , falls [mm]U+W=\IR^2\[/mm] und [mm]{U}\cap{W}[/mm]
> = [mm]\{0\}[/mm] ist.
>
> (a) Stellen Sie U in der Zeichenebene dar.
> (b) Finden Sie zwei verschiedene Komplemente zu U in [mm]\IR^2[/mm]
> , und stellen Sie diese ebenfalls in der Zeichenebene dar.
> (c) Bestimmen Sie alle Komplemente zu U in [mm]\IR^2[/mm] .
> zu (a): Habe ich im Grunde gelöst, wär nur schön, wenn
> ihr mir bestätigen könnt, obs richtig ist. Ich hab
> einfach eine Lineare Funktion in einem Koordiantensystem
> mit x-achse und y-Achse gemalt mit der Steigung
> [mm]\bruch{-3}{7}.[/mm]
Hallo,
ja, das ist richtig.
Spätestens an dieser Stelle siehst Du, daß Du U auch schreiben kannst als [mm] U=<\vektor{-7\\3}>. [/mm] (Die spitzen Klammern stehen für lineare Hülle.)
>
> zu (b): Habe ich als Beispiele [mm]W_{1} =\{(x,y) \in \IR^2 | x-y = 0\}[/mm]
> und [mm]W_{2}=\{(x,y) \in \IR^2 | 4x-y = 0\}...[/mm] stimmt das?
Ja, das sind die Räume, die von [mm] \vektor{1\\1} [/mm] bzw. [mm] \vektor{1\\4} [/mm] aufgespannt werden.
> Im
> Prinzip heißt doch Komplement in meinem Fall nur, dass
> eine andere Lineare Funktion irgendeiner Form sich mit U im
> Ursprung schneiden muss... oder wie ist das zu verstehen?
Du hast richtig herausgefunden, daß jeder 1-dimensionale Unterraum des [mm] \IR^2, [/mm] die von U verschieden ist, ein Komplement zu U ist.
>
> zu (c): ja da hab ich nicht wirklich nen Plan...
Im Prinzip hast Du es zuvor schon herausgefunden...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 Mo 16.11.2009 | | Autor: | Pause |
Ok, schon ma sau vielen Dank für die Antwort, ich war nämlich überrascht, das (a) und (b) so einfach gehen...
aber wenn ich (c) im prinzip schon hatte... dann bin ich zu blind es zu sehen...
also jeder 1-dimensionale unterraum von [mm] \IR [/mm] der von U verschieden ist, ist dann ein Komplement...aber wie bestimme ich dann in allgemeinerform ALLE Komplemente... ich kann ja nun schlecht aufschreiben, das die Lösung [mm] \vektor{x \\ -y} [/mm] für [mm] x\not=7*n [/mm] und [mm] y\not=3*m\ \forall\ n,m\in \IN\ [/mm] sei, oder?
also für mich klingt das irgendwie nach einem lösungsansatz... aber der is nich eindeutig bewiesen oder so, sondern einfach aus den haarengezogen...glaub ich zumindest...
sry, aber ich brauch nochma jemandem der mir auf die sprünge hilft...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:44 Mo 16.11.2009 | | Autor: | DesterX |
Hallo Matthias,
du stehst ja quasi schon kurz vor dem Durchbruch.
Angela hat dir ja schon eine Idee mit auf den Weg gegeben. Schauen wir doch mal, ob wir $U [mm] =\{(x,y) \in \IR^2 | 3x + 7y = 0\} [/mm] $ noch in eine andere Gestalt bringen können.
$ 3x + 7y = 0 [mm] \gdw y=-\bruch{3}{7}x.$
[/mm]
Ein Punkt dieser Gerade wäre $P(-7/3)$. Also können wir U darstellen als [mm] $U=\{r*\vektor{-7 \\ 3} | r \in \IR \}$.
[/mm]
Das heißt: Alle Spannvektoren eines 1-dim. Unterraums, die nun Vielfache von [mm] $\vektor{-7 \\ 3}$ [/mm] sind, spannen einen und den selben Unterraum auf.
Hast du nun eine Idee?
Gruß, Dester
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:27 Di 17.11.2009 | | Autor: | Pause |
ach das ist alles mist... ich weiß ganz genau wie es sein soll und was du meinst, aber ich kann es nicht formulieren.... wenn ich alle Komplemente zu U in [mm] \IR^2\ [/mm] bestimmen soll, dann bedeutet das doch [mm] W=(\{(x_{r},y_{r}) \in \IR | ax_{r}+by_{r}\}\ U)\cup\{0\} \forall [/mm] a,b,r [mm] \in \IR
[/mm]
... oder??? helft mir... im oder gebt mir nen lösungsweg und ich versuch ihn zu verstehen.... hät ich doch nie mathe gewählt:D
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> ach das ist alles mist... ich weiß ganz genau wie es sein
> soll und was du meinst, aber ich kann es nicht
> formulieren.... wenn ich alle Komplemente zu U in [mm]\IR^2\[/mm]
> bestimmen soll, dann bedeutet das doch [mm]W=(\{(x_{r},y_{r}) \in \IR | ax_{r}+by_{r}\}\ U)\cup\{0\} \forall[/mm]
> a,b,r [mm]\in \IR[/mm]
>
Hallo,
hatten wir nicht schon festgestellt, daß jede von U verschiedene Gerade durch den Ursprung ein Komplement von U ist?
Dann könntest Du doch schreiben:
W ist Komplement von U <==> [mm] W=<\vektor{a\\b}> [/mm] mit [mm] \vektor{a\\b}\not=k\vektor{-7\\3}, k\in \IR
[/mm]
oder
W ist Komplement von U <==> [mm] W=\{(x,y)\in \IR^2| -ax+by=0\} [/mm] mit [mm] (a,b)\in \IR^2, (a,b)\not=(0,0), \bruch{a}{b}\not=\bruch{3}{7}
[/mm]
(Sowas in der Art meinst Du wohl oben.)
oder
W ist Komplement von U <==> W ist von U verschiedene Gerade durch den Ursprung.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:05 Di 17.11.2009 | | Autor: | Pause |
Ja wie genial!!! Das is genau das was ich sagen wollte, nur nicht richtig artikuliert bekam!!! DANKE, ihr seit genial!!! ihr habt mir den tag gerettet:D
man, da hab ichs die ganze zeit im kopf, bin nur zu blöd es aufzuschreiben
danke nochmal an euch, ihr seit die besten!!!
mfg
matthias
ps: muss ich noch sowas schreiben wie frage beantwortet?!?
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> ps: muss ich noch sowas schreiben wie frage beantwortet?!?
Hallo,
nein, Du mußt nichts mehr tun.
Gruß v. Angela
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