Unterraum zeigen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:03 Fr 11.11.2005 | | Autor: | heine789 |
Hallo zusammen.
Ich bins schon wieder 
Hab eine glaub ganz einfache Aufgabe, aber ich steig einfach nicht durch.
Zeigen Sie, daß die Menge aller Linearkombinationen eines festen Systems von endlich vielen Vektoren eines Vektorraumes einen Unterraum dieses Vektorraumes bildet.
Mein Ansatz:
< [mm] v_{1}, v_{2},..., v_{n}> [/mm] := { [mm] k_{1} v_{1},..., k_{n} v_{n} [/mm] | [mm] k_{i} \in [/mm] K }
Also <...> soll Unterraum von V bilden.
Aber wie zeig ich das?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:31 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Wie wäre es mal mit eigenen Ansätzen?
Naja, wegen
$0 = 0 [mm] \cdot v_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + 0 [mm] \cdot v_n$
[/mm]
ist der Nullvektor in [mm] $\langle v_1,\ldots,v_n \rangle$ [/mm] enthalten.
Sind weiterhin
[mm] $k_1v_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] k_nv_n$
[/mm]
und
[mm] $l_1v_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] l_nv_n$
[/mm]
aus [mm] $\langle v_1,\ldots,v_n \rangle$ [/mm] beliebig gewählt und weiterhin [mm] $\lambda,\mu \in [/mm] K$ beliebig, dann gilt auch
[mm] $\lambda \cdot (k_1v_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] k_n v_n) [/mm] + [mm] \mu \cdot (l_1 v_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] l_nv_n) [/mm] = [mm] \underbrace{(\lambda k_1 + \mu l_1)}_{\in K} v_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \underbrace{(\lambda k_n + \mu l_n)}_{\in K} v_n \in \langle v_1,v_2, \ldots, v_n \rangle$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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