Unterraumkriterium < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Mi 19.11.2008 | | Autor: | Dash |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die 1. Bedingung des Unterraumkriteriums ersetzt werden kann durch die Bedingung: U ist nicht leer. |
Hallo,
Die erste Bedingung des Unterraumkriteriums lautet ja [mm] 0_V \in [/mm] U (Nullelement). Wie kann ich dieses mit der AUfgabenstellung zusammenbringen, so dass es ein exakter Beweis wird?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:24 Mi 19.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie, dass die 1. Bedingung des Unterraumkriteriums
> ersetzt werden kann durch die Bedingung: U ist nicht leer.
> Hallo,
>
> Die erste Bedingung des Unterraumkriteriums lautet ja [mm]0_V \in[/mm]
> U (Nullelement).
nennen wir das mal [mm] $(U1)\,.$
[/mm]
> Wie kann ich dieses mit der
> AUfgabenstellung zusammenbringen, so dass es ein exakter
> Beweis wird?
Sei $U [mm] \subset [/mm] V$ mit einem Vektorraum [mm] $\,V\,$ [/mm] und es gelten die anderen beiden Unterraumaxiome für [mm] $\,U\,$ [/mm] (s.u.). Jetzt zeige:
Dann gilt [mm] $$0_V \in [/mm] U [mm] \gdw [/mm] U [mm] \not=\emptyset\,.$$
[/mm]
Dabei ist [mm] $\Rightarrow$ [/mm] eine triviale Folgerung. Bei der Folgerung [mm] $\Leftarrow$ [/mm] musst Du (irgend)ein $v [mm] \in [/mm] U [mm] \subset [/mm] V$ hernehmen (deswegen brauchst Du $U [mm] \not=\emptyset$) [/mm] und dann damit die [mm] $0_V$ [/mm] darstellen. Dabei musst Du die anderen beiden Axiome (oder nur eines der anderen beiden, je nachdem, wie Du vorgehst!) (wohl die "Abgeschlossenheit" der Addition (das nenne ich mal [mm] $\,(U2)\,$) [/mm] bzw. die "Abgeschlossenheit" der Multiplikation mit einem Skalaren (das nenne ich mal [mm] $\,(U3)\,$)) [/mm] verwenden.
P.S.:
Genaugenommen bedeutet die Aussage nichts anderes als:
Sei [mm] $\,V\,$ [/mm] ein Vektorraum und $U [mm] \subset V\,.$ [/mm] Dann ist zu zeigen
[mm] $\,U\,$ [/mm] ist genau dann ein Unterraum (d.h. [mm] $\,U\,$ [/mm] erfüllt [mm] $(U1),\,(U2)$ [/mm] und [mm] $\,(U3)\,$), [/mm] wenn $U [mm] \not=\emptyset$ [/mm] und [mm] $\,U\,$ [/mm] die Axiome [mm] $\,(U2)\,$ [/mm] und [mm] $\,(U3)\,$ [/mm] erfüllt.
Deswegen habe ich oben gesagt:
Zeige einfach unter den Universalvoraussetzungen, dass [mm] $\,V\,$ [/mm] ein Vektorraum ist mit $U [mm] \subset [/mm] V$, so dass [mm] $\,U\,$ [/mm] die Axiome [mm] $\,(U2)\,$ [/mm] und [mm] $\,(U3)\,$ [/mm] erfüllt:
[mm] $$0_V \in [/mm] U [mm] \gdw [/mm] U [mm] \not=\emptyset\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Mi 19.11.2008 | | Autor: | Dash |
Ginge das so?
Beweis: [mm] 0_v \in [/mm] U [mm] \gdw [/mm] U [mm] \not= \emptyset
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] ist trivial
[mm] \Leftarrow [/mm] Ich nehme irgendein v [mm] \in [/mm] U [mm] \subset [/mm] V := [mm] 0_v
[/mm]
v ( [mm] v_1 [/mm] , [mm] v_2 [/mm] )
UV2: Es seien w = ( [mm] w_1 [/mm] , [mm] w_2 [/mm] ) und z = ( [mm] z_1 [/mm] , [mm] z_2 [/mm] ) [mm] \in [/mm] U .
Also w + z + v = ( [mm] w_1 [/mm] + [mm] z_1 [/mm] + [mm] v_1 [/mm] , [mm] w_2 [/mm] + [mm] z_2 [/mm] + [mm] v_2 [/mm] ) [mm] \in [/mm] U
Das gleiche dann noch mit UV3...
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Hallo Dash,
> Ginge das so?
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> Beweis: [mm]0_v \in[/mm] U [mm]\gdw[/mm] U [mm]\not= \emptyset[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] ist trivial
>
> [mm]\Leftarrow[/mm] Ich nehme irgendein v [mm]\in[/mm] U [mm]\subset[/mm] V := [mm]0_v[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ???
Das ist doch Humbuck! V soll der Nullvektor sein? Wieso das?
>
> v ( [mm]v_1[/mm] , [mm]v_2[/mm] )
>
> UV2: Es seien w = ( [mm]w_1[/mm] , [mm]w_2[/mm] ) und z = ( [mm]z_1[/mm] , [mm]z_2[/mm] ) [mm]\in[/mm]
> U .
Wieso spezialisierst du hier [mm] $U=\IK^2$?
[/mm]
Das solltest du nicht tun!
Nimm dir für die Richtung [mm] $[\Leftarrow]$ [/mm] doch einfach ein [mm] $u\in [/mm] U$ her
Zu zeigen ist: [mm] $0\in [/mm] U$
Mit [mm] $u\in [/mm] U$ und (U2) ist auch [mm] $-u\in [/mm] U$ (wegen (U3) [mm] $\lambda=-1\Rightarrow \lambda\cdot{}u=-1\cdot{}u=-1\in [/mm] U$), also mit (U2) dann [mm] $u+(-u)=0\in [/mm] U$
fertig 
LG
schachuzipus
> Also w + z + v = ( [mm]w_1[/mm] + [mm]z_1[/mm] + [mm]v_1[/mm] , [mm]w_2[/mm] + [mm]z_2[/mm] +
> [mm]v_2[/mm] ) [mm]\in[/mm] U
>
> Das gleiche dann noch mit UV3...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:54 Mi 19.11.2008 | | Autor: | Dash |
Ich habe Nachholbedarf. Ich bemüh mich!
In deinem Beitrag ist das Zeichen $ hinter dem U, soll das dahin oder ist das ein Editierungsfehler?
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Hallöo nochmal,
> Ich habe Nachholbedarf. Ich bemüh mich!
>
> In deinem Beitrag ist das Zeichen $ hinter dem U, soll das
> dahin oder ist das ein Editierungsfehler?
Das ist ein Fehler, ich packe Formeln immer zwischen zwei Dollarzeichen, irgendwo ist eines zuviel oder zu wenig, ich such's gleich mal und verbessere es
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:19 Do 20.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ginge das so?
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> Beweis: [mm]0_v \in[/mm] U [mm]\gdw[/mm] U [mm]\not= \emptyset[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] ist trivial
ist Dir auch klar, warum? Wenn [mm] $0_V \in U\,,$ [/mm] so ist ja insbesondere $U [mm] \not=\emptyset\,.$
[/mm]
> [mm]\Leftarrow[/mm] Ich nehme irgendein v [mm]\in[/mm] U [mm]\subset[/mm] V := [mm]0_v[/mm]
>
> v ( [mm]v_1[/mm] , [mm]v_2[/mm] )
>
> UV2: Es seien w = ( [mm]w_1[/mm] , [mm]w_2[/mm] ) und z = ( [mm]z_1[/mm] , [mm]z_2[/mm] ) [mm]\in[/mm]
> U .
> Also w + z + v = ( [mm]w_1[/mm] + [mm]z_1[/mm] + [mm]v_1[/mm] , [mm]w_2[/mm] + [mm]z_2[/mm] +
> [mm]v_2[/mm] ) [mm]\in[/mm] U
>
> Das gleiche dann noch mit UV3...
Also Schachuzipus hatte ja schon bei der Beweisrichtung [mm] $\Leftarrow$ [/mm] was dazu gesagt. Ich hatte es oben schon angedeutet, dass es auch einfacher geht:
Wir wählen ein $v [mm] \in [/mm] U$ (das geht hier, weil nach Voraussetzung $U [mm] \not=\emptyset$). [/mm] Dann gilt $v [mm] \in [/mm] V$ wegen $U [mm] \subset V\,.$ [/mm] Dann ist aber [mm] $0_K*v=0_V\,,$ [/mm] wobei [mm] $0_K$ [/mm] das Nullelement des Körpers $K$ sei (genauer sollte da oben sogar stehen, dass [mm] $\,V\,$ [/mm] ein $K$-Vektorraum ist). Wegen [mm] $\,(U3)\,$ [/mm] gilt aber [mm] $0_K*v \in U\,,$ [/mm] also [mm] $0_V \in U\,.$
[/mm]
Wichitig ist halt:
Ich benutze nur, dass jeder Körper ein Nullelement hat und dann [mm] $\,(U3)\,$. [/mm]
Schachuzipus benutzt (hoffe ich, ich habe es mir nicht so genau angeguckt), dass jeder Körper ein Einselement und dieses ein zugehöriges Inverses hat. Und dann rechnet er sowohl mit [mm] $\,(U2)\,$ [/mm] als auch [mm] $\,(U3)\,$ [/mm] weiter.
Beide Wege führen zum Ziel, und keiner von beiden ist wirklich einfacher (meiner vll. etwas kürzer, aber bei so kleinen Aufgaben ist das irrelevant...)...
Gruß,
Marcel
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